ERRATUM : Aux environs de 14:40 j'ai oublié de traiter le cas litigieux b=0. Quand b=0 on se retrouve avec m/n = a, et on connaît un antécédent de a par f en vertu de l'identité binaire dressée en 1], il vous suffit de prendre 2^{a-1}. On peut alors supposer dans la suite que b est supérieur ou égal à 1. C'est primordial d'évincer 0 sur le raisonnement qui suit dans le sens où n-b/b n'a PAS DE SENS quand b=0. Rajoutez donc une petite ligne supplémentaire sur votre copie ! Si la théorie des ensembles vous plaît je pourrais faire au choix : - Une vidéo d'introduction pour voir les beaux résultats du type pourquoi R n'est pas dénombrable, pourquoi il existe une infinité d'infinis, comment les comparer précisément, à quoi ça sert, etc - Une vidéo plus vulgarisée (quand bien même on en parle pas mal dans la vidéo concernant les mathématiciens du XIXème siècle qui ont côtoyé la folie en redéfinissant toutes les maths) qui ciblera des paradoxes célèbres histoire de mindfuck les gens en soirée Merci à vous de votre soutien inconditionnel, n'hésitez pas à faire remonter des remarques pour que les prochaines vidéos s'améliorent.
@@Staklihen honnêtement, je trouve que c’est super, ça nous apprend des automatismes et une façon de raisonner avancée. Pour ma part par contre, malheureusement ou non, on m’a toujours poussé à faire CPGE puis grande école type l’X car j’ai toujours été brillant en maths physique. Mais entendre ces mots de la part de tous mes profs m’a un peu «dégoûté » de ce cheminement et je ne voulais pas être forcé malgré mes compétences. Je suis donc allé étudier à Polytechnique Montréal où le niveau en mathématiques est beaucoup plus bas. Mais mes compétences acquises au Maroc m’ont permis de majorer en première année, d’obtenir des bourses et d’accéder au programme le plus difficile d’accès donc j’en suis bien fier et content. Je recommande la scolarité au Maroc à tout adepte des mathématiques et qui aime vraiment cela. Il suffit juste de trouver un bon prof, et pour cela je pense que lydex est parfait
@@Axel_Arno Merci à toi de faire ces vidéos, les maths avancées me manquent un peu car je me suis tourné vers l’ingénierie biomédicale et au Canada (ou le niveau des mathématiques n’est pas le meilleur pour ne pas utiliser d’autre adjectif). Tes vidéos sont un plaisir et j’adore ta façon d’expliquer. Tu feras un excellent professeur !
estomaqué par cette approche de la surjectivité à l'aide des fractions continues, c'était vraiment joli ! j'avais utilisé une approche bien plus laide et infame à rédiger: partir du résultat en utilisant une suite qui a pour premier terme un rationnel donné et qui effectue les opérations inverses de la fonction f. Je m'interessais ensuite à la suite des des dénominateurs de cette suite u_n pour montrer qu'elle était une suite décroissante d'entiers naturels et qu'elle convergeait nécessairement vers 1, ce qui signifiait qu'à partir d un certain entier N, un terme de la suite u_n etait entier et donc atteint par f. Par construction, on en déduisait alors par le chemin inverse qu'il existait un entier N pour lequel mon rationnel initial est atteint. Je trouvais que c'était intéressant comme méthode d'utiliser le principe de descente infinie de Fermat pour résoudre cet exercice, mais très difficile à rédiger correctement !
Je regarde cette vidéo sans même être passionné par les maths ni sans même comprendre la plupart des questions mais juste parce que la manière dont tu en parles est passionnante. D'ailleurs l'approche par le python est vraiment une bonne idée, ça parait moins compliqué à comprendre...
Très marrant comme sujet, mon prof de maths en terminale nous avait fait la démo pour "s'amuser" ca me rappelle des souvenirs. Malheureusement il a pris sa retraite depuis, j'espère que d'autres professeurs continuent de partager leur passion mais si ca va des fois au delà du programme.
j'aimerais vouer un culte pour toi Axel. je suis en BTS et je suis... j'étais en froid total avec les math ( je les détestes ), mais grâce à toi ou t'es vidéo j'ai repris de l'envie et je reprend le programme de seconde pour me remettre à niveau et ( pour m'amuser ) avoir un bon niveau ! bref... merci ! continue t'es vidéo elles sont à chaque fois attendue avec impatience de ma part !
On peut prouver le point 4 de manière algorithmique : Supposons qu'on veuille calculer l'antécédent de a/b avec b > 0. - si a = 0, l'antécédent vaut 0. - sinon, si a > b, alors la fraction est > 1 ; nécessairement, l'antécédent est pair de la forme 2p et il reste à calculer l'antécédent p de (a - b) / b. - enfin, si 0 < a
C'est aussi comme ça que j'ai procédé. En fait en faisant ça on reproduit le procédé de l'algorithme d'Euclide de recherche du PGCD de a et b. C'est même comme ça que j'ai répondu à la question de la surjectivité, mais c'est assez lourd à formaliser.
Mdr je rentre en prépa intégrée en Septembre et juste la démonstration de e**x >= 1+x vient de me foutre une claque ! C'est un raisonnement tellement simple mais qui ne m'est malheureusement pas instinctif ! Sinon super vidéo , continu comme ca
Salut Axel je suis un élève de terminale c en côte d'Ivoire et je tenais à te dire que tes vidéos son une véritable source de curiosité et de motivation continu surtout
Bac sciences maths en 1988. Lycée Al Mansour Dahbi à Sidi Kacem. Puis hx et xm au lycée Moulay Youssef à Rabat. Vos vidéos me replongent dans mes études. Merci❤❤❤
Moi qui regarde chacune de tes vidéos comme si j'étais fan de maths, au final c'est le raisonnement et la procédure derrière qui m'intéresse et aussi ta personnalité, tu vulgarises et j'adore ce moment de détente. Merci Axel
La fonction est assez jolie en elle même, le résultat est pour le coup assez trivial, si on veut injecter Q dans N, il suffit d'injecter N^2 (ça c'est très facile) et ensuite de considérer f : p/q -> (p,q)
Le problème est magnifique. Le plan de travail et les explications sont clairs, pas d'outils ésotériques... cela montre d'autant mieux les qualités attendues chez les élèves. Respect total pour l'école mathématique marocaine !
Jolie démonstration Une construction classique de Q est un tableau à double entrée avec le numérateur en x et le dénominateur en y, et de parcourir le tableau selon les diagonales (p+q=cste) en numérotant chaque case.
Mon intuition est qu'à partir de l'écriture binaire d'un entier (exemple 76 = 1001100) et en le découpant par groupes à chaque "1" ( donc 100, 1 et 100); on obtient les écritures unaires des nombres de la fraction continue dans l'ordre inverse (unaire = en comptant le nombre de chiffres dans chaque groupe). En réalité il faut ajouter un au premier groupe et enlever 1 au dernier (la formule à 17:31 distingue ces deux cas). Pour terminer l'exemple : "100" contient 3 chiffres, on ajoute 1 car c'est le premier groupe et on trouve 4 (c'est bien le dernier nombre de la fraction continue); on trouve ensuite "1" qui contient un chiffre puis "100" qui en contient 3, mais on enlève 1 car c'est le dernier groupe, donc 2. On a donc bien [4, 1, 2] qui est le renversé de la fraction continue de 14/5 = f(76) 😉 Avec le même raisonnement, 33565709 = 10000000000010110000001101 en base 2 = {100000000000, 10, 1,1000000,1,10,1} qui sont de tailles {12, 2, 1, 7, 1, 2, 1} ce qui correspond à la fraction continue [0, 2, 1, 7, 1, 2, 13] = 347/1001
Bonjour, est-ce que tu peux faire la correction de l’exercice d’arithmétique des examens nationaux marocains (rattrapage 2007, normal 2022, normal 2023) et aussi la correction de l’exercice des nombres complexes ( 2006 normal et 2023-2022 normal)
MAIS LET'S GO IL ENCHAÎNE Ça fait un moment que je me dis "putain je suis en manque de vidéos d'axel arno" (oui, j'ai vraiment eu le temps de consciemment me dire ça) Je suis rassasié
pour les vacances j'ai acheter un petit livre de maths dans lequel il est dit (page 40) "Théorème 9 (Cantor, Shröder, Bernstein). S'il existe une injection de E dans F et une injection de F dans E alors E et F sont équipotents.", c'est de ca dont tu parles a 21:04 ?
Super vidéo, comme d'hab ! Et en parlant de sujets aberrants en terme de difficulté venant du maroc Axel, t'as déjà jetté un coup d'œil au Concours Général de cette année en maths au Maroc ? C'est une boucherie le truc...
Pour l'injectivité, il me semble que l'on peut observer que si f(p) = f(q), alors p et q ont la même parité. C'est plus laborieux que celle que tu as utilisé mais je trouve que ça prémâche la rechercher des deux questions d'avant. Super exo en tout cas !
Une fois qu'on a observé que p et q ont la même parité, c'est presque fini : ça veut dire qu'on peut trouver p' et q' qui sont plus petits et qui marchent aussi, et si on itère on voit bien que ça va finir par bloquer. J'ai rédigé un commentaire où je formalise un peu plus les choses, mais l'idée de départ est bien celle là.
Pour ceux qui se posent la question de la valeur de n pour 347/1001 ça se fait en seulement 12 étapes pour obtenir n = 33 565 709. Il est assez fascinant de constater à quel point faire l'inverse permet de diminuer très vite les valeurs en questions. C'est en effet similaire ( en terme de décroissance ) au calcul du PGCD de 2 nombres via l'algorithme d'Euclide.
La correction est sympa, par contre la définition de la surjectivité autour de 12:05 "toute image admet au moins un antécédent" est une horreur sans nom qui vaudra tout les châtiments du monde... A changer par exemple par "Tout élément de l'ensemble d'arrivée est une image/admet un antécédent par f"
Je suis ravi de changer d'opinion sur 'ce axel arno' . Dorénavant, tu as tous mes respects les plus plats. En effet, c'est la 1ère vidéo où je te vois parler des maths avec autant de maîtrise et de sérieux.
Terminale français ici et je suis jaloux : le sujet est extraordinaire! Pour la dernière question, j'ai montré la surjectivité en utilisant une récurrence forte avec la proposition P_n : "Pour tout entiers naturels a et b (b≠0) tels que a+b=n, il existe un antécédent k tel que f(k)=a/b" C'est un peu farfelu mais ça fonctionne. L'intuition vient quand on remarque que lorsque qu'on faisait marche arrière pour trouver l'antécédent de 14/5, la somme du dénominateur et du numérateur diminuait (traduisant l'impression que ces nombres devenaient "plus petits")
En effet, le Lydex est une l'établissement d'excellence qui sort des élèves bien préparés pour les écoles d'ingénieurs les plus prestigieuses de France comm l'X. Cet établissement est une fierté pour tous les Marocains. Pour l'exercice donné c'est en effet un paradoxe qui peut contredir les idées sur les cardinaux de N et Q et meme R.
Pour résoudre l'équation f(n) = 14/5 j'ai procédé comme ceci, qui en soit est une manière algorithmique pour trouver n'importe quoi je pense. Comme 14/5>1 alors n = 2k avec un k un entier. Ainsi f(n) = f(k)+1=14/5 f(k) = 9/5 Ensuite 9/5>1 donc k = 2k' f(k) = f(k')+1= 9/5 f(k')=4/5 4/5
Si tu prends f : x--->3x+1, elle est injective (f(X)=Y=>X=(Y-1)/3 qui est unique) et pourtant "ker(f)" est différent de 0 (c'est {-1/3}) Si tu prends g : x-->x^2, "ker(g)"= {0} mais pourtant elle n'est pas objective (1 a 2 antécédents {-1,1} Ker n'est défini que pour les applications linéaires (au moins jusqu'en Spé)
Excellent as usual. Cependant ca passe bien vite aux démonstrations rédigées et rigoureuses, et ca peut faire peur a certain qui croieraient que "c'est ca qu'il aurait fallu que je trouve et je suis loin du compte". Il faut les rassurer: Même pour toi, la phase "trouver l'idée d'un chemin vers la solution" a clairement précèdé la phase "le rédiger proprement". Ici pour la surjectivité elle a pu consister à juste sentir qu'une récurence est à faire et qu'en manipulant f(2n) et f(2n+1) " à l'envers", on arrivera bien à 0 ou a 1. Et APRES on rédige.
Bonjour tout le monde, Je suis un homme perdu. Je fut accépté à l'insa haut de france, et j'aime assez l'école au point que je suis satisfait d'y passer le reste de mon éducation. Néanmoins, l'option prépa ici au maroc me tente du point de vue du coût ( c'est gratuit ), et j'ai une chance d'intégrer de meilleurs écoles plus tard. Si quelqu'un a des conseils ce serait sympa ! Merci :D
Bonjour Axel, j’aime beaucoup les vidéos que tu réalises. Mais concernant celle ci, je suis en terminale et j’ai été intrigué par ce « aleph 0 » et de comment est ce possible de dénombrer un ensemble infini, ça attise vraiment ma curiosité et je voulais savoir sil ya des ressources qui explicite ce sujet ? Les informations de Wikipedia n’ont pas été suffisantes 🤷♂️ Merci !
L'assertion "Deux ensembles ont le même cardinal s'ils peuvent être mis en bijection" est-elle : 1) Une définition ? 2) Un axiome ? 3) Un théorème conséquence d'une (ou plusieurs) autres définition ou d'un (ou plusieurs) autres axiome ? Merci par avance pour toute réponse argumentée;
C'est une définition, une généralisation du concept de cardinal avec un nombre d'éléments finis. Les ensembles A={pêche,pomme,poire} et B={café,thé,chocolat} sont en bijection (avec une fonction pêche associe café, pomme associe thé, poire associe chocolat par exemple). En fait dans ce cas là, le cardinal est 3. Les deux ensembles ont évidemment 3 éléments chacun. Et on généralise ça par analogie en disant que deux ensembles ont le même cardinal si et seulement si ils peuvent être mis en bijection. N avec Q, R avec les parties de N.
@@leregretincurve8778 Merci pour votre réponse, je m'étais posé cette question car si c'est du bon sens pour les ensembles finis, ça l'est beaucoup moins pour les ensembles non finis. Cette généralisation m'a toujours posé des problèmes plutôt philosophiques que mathématiques. Car si on montre classiquement que ℚ est dense dans ℝ on peut, par une démo similaire montrer que ℝ est dense dans ℚ, ceci même si l'on ne peut pas trouver une bijection entre ℚ et ℝ de là à dire qu'ils ont un cardinal différent, ok si c'est une définition. Je me suis trouvé une autre définition "à moi" plus simple : deux ensembles non finis ont le même nombre d'éléments (je ne parle plus de cardinal) ainsi ℚ ,ℝ et ℕ ont le même nombre d'éléments
Vous faites des problèmes comme ça à quel âge en europe? J'ai 19 ans et je suis au québec et les problèmes de concours de maths ne sont même pas proche de ce niveau! Aussi, est-ce que l'école vous prépare à répondre à ce genre de problèmes? Au québec, si tu apprends les maths seulements selon les exigences de l'école, tu n'arriveras jamais à ce niveau. Les élèves ne sont pas non plus encouragé ou poussé à essayer d'apprendre plus, on apprend le strict minimum, et c'est asser décevant. En regardant les vidéos d'Axel j'ai l'impression que les études en europe sont beaucoup plus difficile haha!
@@LuluLaSaumure ouais c'est vrai 😂, mais en écrivant le comm je pensais au vidéo en général d'Axel où je trouve que le niveau est absurde. Mais c vrai que le Maroc c pas du tout en Europe!
Pour passer d'une application de N vers Q+ à N vers Q, je proposerais quelque chose d'assez bête. On fait d'abord une association de Z vers Q simplement en associant les nombres entiers négatifs au rationnel négatif qui est l'opposé de l'image de l'application précédente avec l'opposé de l'antécédent. On aurait f(-1) = -f(1), f(-2) = -f(2), f(-3) = f(3). Et pour passer la rendre comme une application de N vers Q, on utilise une bijection de N dans Z comme, ex: f(p) = p/2 pour p pair et f(p) = -(p+1)/2 pour p impair, ce qui ferait la suite 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, etc.
Le logiciel est Manim, librairie Python (pour pouvoir faire des animations de mathématiques (par la chaîne 3blue1brown)) qui utilise le langage LaTex pour écrire les symboles...
La question 2 peut se faire en regardant le noyau de f il me semble ? La seule valeur qui annule f est 0 et on montre par récurrence que le reste des valeur donne une image strictement positive. Donc Ker(f)={0} et donc f est invective
GH copilot m'a proposé cette fonction, après que j'ai écrit ce comm (j'ai juste rajouté le _v1) : # calcule des "indices" de la fraction continue de p/q : def continued_fraction_v1(p, q): a = p // q r = p % q if r == 0: return [a] else: return [a] + continued_fraction_v1(q, r) ->Je trouve cela cool qu'il utilise la récursion pour calculer les indices de la fraction continue ^^
Mon f(n) que j'ai trouvé par moi même car GH copilot n'y arrivait pas (j'adore qu'une AI arrive à faire des maths) : def N_to_Q(n): if n == 0: return 0 elif n % 2 == 1: a = (n-1) / 2 return 1 / (N_to_Q(a) + 1) elif n % 2 == 0: a = n / 2 return N_to_Q(a) + 1
Slt je me suis attardé sur une fonction qui renvoie n pour toute fraction j en ai trouvé une qui marche enfin renvoie les bon nombre pour les fractions que j y mets comme 347 sur 1001 par exemple mais je sais pas comment prouver par les math que la fonction marche Comment est ce que je peux faire ou où puis je trouver le discord car les liens dans la descriptions ne marche pas 😢
Petite question qui m'est venue, pour la question 2 pourquoi est ce que lon ne peut pas juste dire que le Noyau de f est seulement le singleton 0 car pour tout n appartenant à N* f(n)>0 et le seul element pour lequel f(n) = 0 est piur n = 0 ?
C est un bon exo mais je trouve le coucous d accés à cpge abulcasis (zahrawi) est plus difficile que celui de lydex, J espère que tu traites ses sujets
A quand la 3ème vidéos des artangentes ? Sinon plutôt bien, on pourrait proposer la bijection , f : (p,q) --> 2^p(2q+1) de N^2 dans N, ce qui est équivalent à une bijection de Q+ dans N bien sûr
Je regarde ça juste comme ça.. Mais ce que renvoie la fonction ressemble beaucoup a un début de fraction continue ! Si on écrit n en binaire, le nombre de 0 entre chaque 1 donne précisément les coefficients d'une écriture en fraction continue... Au final f(N) donne l'ensemble des fractions continues à support fini, c'est a dire Q, surtout que comme on a unicité de cette écriture on a l'injectivité qu'arrive naturellement avec cette remarque (faut le démontrer par contre). La où c'est intéressant, c'est que si on munit N de la norme 2-adique et qu'on le complète, notre écriture en binaire n'a plus nécessité d'être finie, donc la fonction de l'exo se prolonge naturellement en une bijection entre les 2-adiques et les Réels positifs grâce à ladite unicité de l'écriture en fraction continue... En tout cas on dirait, les nombres p-adiques sont assez chelous pour qu'à l'arrivée ça pose pb, donc si qqn peut confirmer ou infirmer mon impression je suis preneur. Édit : j'avais écrit ça juste en regardant le sujet, sans même avoir avancé dans la vidéo mdr, faut croire que j'ai des intuitions pas trop mauvaises...
Considérons deux ensembles :( N = {1, 2, 3} )( Q = {a, b, c} )Maintenant, calculons la cardinalité de chaque ensemble :Pour ( N ), la cardinalité ( |N| ) est le nombre d'éléments dans ( N ), donc ( |N| = 3 ).Pour ( Q ), la cardinalité ( |Q| ) est le nombre d'éléments dans ( Q ), donc ( |Q| = 3 ).Maintenant, comparons les cardinalités :( |N| = 3 )( |Q| = 3 )Comme ( |N| = |Q| ), cela signifie que les ensembles ( N ) et ( Q ) ont la même cardinalité. Considérons l'équation quadratique générale :[ ax^2 + bx + c = 0 ]Supposons que nous ayons ( a = 1 ), ( b = 0 ), et ( c = -4 ). Remplaçons ces valeurs dans l'équation :[ x^2 + 0 \cdot x - 4 = 0 ]Simplifions cette équation :[ x^2 - 4 = 0 ]Maintenant, résolvons pour ( x ) :[ x^2 = 4 ][ x = \pm 2 ]Ainsi, les solutions de cette équation quadratique sont ( x = 2 ) et ( x = -2 ).Dans cet exemple, en utilisant ( b = 0 ), nous avons simplifié l'équation quadratique, ce qui a facilité la résolution pour trouver les racines ( x ).
Plus je progresse en maths, plus ça me passionne... malheureusement j'ai pas fait spé maths (g un gros cerveau c fou) et du coup je peux pas faire prépa... je suis dégoûté jsp trop quoi faire. Est ce que vous savez s'il existe des admissions parallèles entre écoles d'ingé ?
Le resultat de Q a la même taile que N, peut être démontrer par, la bijection de N ->N^2->Q. Avec du autre méthod. On fait la différence entre l'infinit des naturelles ou de l'ensemble Q et de Omega l'infinit des Réels. Et la question reste s'il existe un infinit plus grand.
