La propriété du roi est un changement de variable. Peu de gens donnent un nom a ce changement de variable d'ailleurs, j'avais jamais entendu ça avant la vidéo d'Axel Arno
Plutôt que de tout multiplier par exp(x)+1ou exp(-x)+1 on peut juste multiplier en haut et en bas soit par exp(x) ou exp(-x). Ça permet d’alléger un petit peu les calculs.
Comme c'est pas la première fois que je vois précisément ce genre d'intégrale-ci (avec du ^x au dénominateur, intégrale centrée en 0, fonction paire au numérateur...) j'en profite pour généraliser immédiatement le résultat : • Si a>0, f une fonction paire continue sur [-a,a], et b>0, • alors l'intégrale de -a à a de f(x)/(1+bˣ) vaut l'intégrale de 0 à a de f(x) La démonstration est facile à partir de ce qui est déjà fait par exemple dans cette vidéo (vous pouvez vous amuser à la refaire). Je précise quand même qu'à l'étape où on se retrouve avec du b^(-x) +1 au dénominateur il est bien plus facile et plus naturel [c'est le réflexe d'éviter les fractions au dénominateur] de multiplier par b^x directement, et qu'au moment d'ajouter ensemble les deux intégrales le numérateur se factorise par (1+bˣ) qui vient joliment se simplifier avec celui du dénominateur.
On me l'a déjà fait remarquer sur insta, et c'est très juste ! Je me suis renseigné sur ce corolaire, je le trouve marrant, mais très situationel ! Et multiplié par a^x simplifie énormément les calculs, je suis limite déçu de ne pas l'avoir vu.
Je te propose de résoudre l'intégrale de 0 à pi/4 de [xtan(x)/cos(x)^2]dx, elle peut être résolue sans passer par un changement de variable ou aucune méthode inaccessible à un terminal.
