Daß Fakultät kleiner ist, war sehr schnell ersichtlich. Auf den schönen mathematischen Beweis über die binomische Formel wäre ich aber nicht gekommen. Bitte viel mehr solcher eleganten Beweisführungen! Absolut cooler Kontent!
@@karimrajab6819 wenn Du nach dem gleichen Prinzip x! mit y^x vergleichst, wobei x=2*y-1 (x ist Element der natürlichen Zahlen) ist, dann nein! Der Beweis gilt ja für beliebig große Vergleichspaare. Edit: um das verständlich zu machen: Du darfst nicht 999! Mit 50^999 vergleichen, sondern musst dann mit 500^999 vergleichen, weil dann 500 genau in der Mitte der 999 zahlen liegt.
Warum ist das "schnell ersichtlich"? Ich dachte zuerst das Gegenteil. Inzwischen habe ich vollständige Induktion für beide Thesen probiert, beide Male hat es nicht hingehauen, da sich die Größenverhältnisse an einer bestimmten Stelle umzukehren scheinen. Müßte man mal mit dem Computer genauer untersuchen. Irgendwie kommt mir das wie in den Mathe-Vorlesungen vor, wo die Erstsemester vom Professor in seinem Skript mit dem schlichten Wort "Klar" erschlagen werden, wenn etwas für sie überhaupt nicht klar ist und sie völlig überfordert sind.
Bis zur Pärchenbildungen hätte ich es auch so gemacht. Dann hätte ich aber kurz 51*49 als größtes Pärchen ausgerechnet und gezeigt, dass es kleiner ist als 50^2. Und damit 50^99 zu größeren Zahl erklärt.
Habe ich auch so gemacht. Ist aber mathematisch noch kein Beweis, daß nicht etwa 1*99 oder 25*75 größer sein könnten. Imgrunde müßte man dann alle Pärchen durchrechnen; es könnte sich ja theoretisch eine merkwürdige Kurve ergeben.
@@depression_isnt_real Logisches denken. Wenn du jeweils 2 Produkte aus 2 Zahlen hast deren Addition das selbe Ergebnis haben ist die Zahl am höchsten, derern beiden Faktoren am nächsten beieinander liegen. Kann man ganz gut bei 20 (D.h. man nimmt alle Faktoren, deren Addition 20 ergibt (auf ganze Zahlen bezogen)) zeigen. 1×19=19 2×18=36 3×17=51 4×16=64 5×15=75 6×14=84 7×13=91 8×12=96 9×11=99 10×10=100 Ob das als Beweis in eine Prüfung etc. Gelten würde weiß ich nicht, für mich ist das aber einer
Diese Mathe-VIdeos sind schon recht erstaunlich. Die Auswahl von spannenden Mathe-Aufgaben und -Rätseln ist wirklich exquisit. Verschiedene Schwierigkeitsstufen sind auch dabei. Auch einfach gut vorgetragen, mit einem gewissen “etwas”, sodass ein Spaß-Funike überspringt, der immer wieder motiviert, sich an der nächsten Aufgabe zu probieren. Vielen Dank für all die Arbeit, von der so viele profitieren!
Dem kann ich nur zustimmen. Wünsche mir manchmal, daß es nicht so ausführlich ist, weil mir es schon klar ist, aber genau dafür ist der Kanal ja da, dass es möglichst alle verstehen.
Herzlichen Dank auch für diese Aufgabe. Ich genieße immer wieder Deine klaren Herleitungen und Schritt-Beschreibungen. Hier eine andere Herangehensweise: In diesem Fall ist auch ohne Berechnung sofort zu sehen, dass 99 x 1 auf jeden Fall kleiner ist als 50². Es reicht, 51 x 49 auszurechnen, was um 1 kleiner ist als 50², nämlich 2499 (gegenüber 2500). Somit ist sofort klar, dass jedes Päckchen kleiner ist als 2500 (und die Differenz zunimmt, je mehr wir uns 99 x 1 nähern). Ohne binomische Formel, dafür mit schnellem Überblick und einmal das größte Päckchen ausrechnen, ist also auch ein gangbarer Weg.
Wiedermal unglaublich. Macht mir immer wieder Spaß, Dir beim Erklären zuzusehen. Die Aufgabe wäre etwas Schönes für eine Abiturprüfung, wobei es mich beim Gedanken daran doch schaudert...
Herrlich, - bei Mathema Trick erinnert man sich wieder an vieles, was man vor 45-50 Jahren in der Schule gelernt hat - und erinnert sich wieder an längst vergessene Begriffe der Mathematik wie z.B. Fakultät (!).
Sehr schön erklärt. Ich hatte immer Dudley und Onkel Vernon im Ohr: - Und wie viele (Päckchen) sollen das sein? - 36, hab sie selbst gezählt. - Aber letztes Jahr, war es eins mehr. - Aber einige (Päckchen) sind viel größer. - Mir egal, wie groß sie sind...
So hätte ich mir das zu meiner Schulzeit gewünscht. Das Fach Mathe wäre für den ein oder andere sicher verständlicher gewesen mit so einer guten Lehrerin.
Schöne Aufgabe! Ich weiß ja dass viele Abiturienten heutzutage einen Taschenrechner haben, der diese Frage sehrwohl beantworten kann: z.B. TI Nspire oder Classpad 50^99 = 1.57772·10^168 99! = 9.33262·10^155 Bei noch höheren Potenzen/Fakultäten wird's dann aber schwierig ;) Aber die Herleitung zeigt sehr schön, wie man hier ohne den Taschenrechner argumentieren kann! Well done!
Mein Rechner im iPhone hatte 99! noch ausrechnen können, aber bei 50^99 kam Fehler. Kleiner Funfact, mein iPhone 4 kann 50^97 ausrechnen, mein iPhone12 kann nur 50^94, dafür kann das iPhone12 10^160, aber das iPhone4 nur 10^127 - die Logik dahinter soll mir mal jemand erklären.
Bis zur Aufstellung der sortierten Multiplikation gehe ich mit, dann: 49*51 < 50*50 48*52 < 49*51 Die Produkte der Paarungen werden immer kleiner während 50*50 immer gleich groß bleibt. Ergo ist 50^99 größer. Braucht man keine binomische Formel, ist aber auch ein schöner Ansatz, nur komplizierter.
@@_b0h4z4rd7 Eigentlich nicht. Quadratzahlen sind immer größer als die Multiplikation von modifizierten Seiten. Sieht man doch, wenn man den Umfang von Rechtecken mit deren Flächeninhalt vergleicht. Das Quadrat hat bei gleichem Umfang die größte Fläche.
@@strenter mit sieht man doch ist ein mathematischer Beweis gerade in Hinblick auf Ungleichungen nicht getan. Der Einsatz der binomischen Formeln zeigt sehr eindeutig, warum die Quadratzahlen immer größer, darauf muss nur halt auch erstmal kommen.
Cool aber um das Rechnen zu vermeiden müssten man auch kurz zeigen das (a-1)*(b+1) < a*b ist für b > a+1. Beweis: (a-1)*(b+1) = a*b + a - b + 1 = a*b - ( b - (a+1) ) und weil (a+1) kleiner b ist ziehen wir mit der äusseren Klammer immer etwas ab was grösser 0 ist, so dass dieser Ausdruck immer kleiner a*b ist was zu beweisen gewäsen wäre ;)
@@markslowhand4214 ohne Witz Digga andere korrigieren aber scheiße labern.. hier steht in beiden Fällen 50 in der Klammer und nicht zwei verschiedene Zahlen wie du es hier mit a und b darstellst. Dass b^2 immer größer ist als b^2 minus irgendeine Zahl ins Quadrat ist die Folge wenn man mit der binomischen umformt, nicht das, was du da verzapfst. Ohne Witz krieg kotze bei Leuten die nicht einfach normal Fehler hinweisen können, aber erst recht bei Leuten die so abgehoben sind, aber es selber noch nicht mal verstanden haben.
Coole Aufgabe, genial erklärt, wir immer. -- Wenn du Mathe-Lehrerin würdest, müsste dein Unterricht im Fußballstadion stattfinden. Ein Klassenraum wäre viiiiel zu klein für die vielen, die daran teilnehmen wollten :-)
Faktorensotierung war klar, der Trick mit der dritten binomischen Formel war richtig schön, ich hätte an der Stelle die ersten beiden und die letzten beiden Paare multipliziert und daraus abgeleitet, dass alle Faktoren kleiner sind, aber mit der binomischen Formel ist es deutlich eleganter und vor allem rigoroser. Hat mir gefallen.
Auf die Paarungen 50*50 mit (50-i)*(50+i) sind wie man den Kommentaren entnimmt, einige gekommen. Bevor du etwas rigoros beweist, ist es manchmal sinnvoll, die Aussage (in diesem Fall 50*50 > (50-i)*(50+i)) geometrisch zu interpretieren und dadurch zu plausibilisieren: Beide Seiten der Ungleichung sind Flächeninhalte von Rechtecken mit Umfang 200. Und welches Recheck mit Umfang 200 hat den größten Flächeninhalt? Richtig,, das Quadrat. Und dann ist der Schritt, das zu beweisen, nicht mehr so groß.
Consider 99x1, 98x2 etc. Largest will be the square, 51x49, which is smaller than 50x50. Since every pair is smaller than 50x50 it follows that 50^99 is larger than 99!
Wenn ich an die alten Kommisköppe zurückdenke, die vor vielen Jahrzehnten versuchten uns Mathe beizubringen und bei Verständnisfragen schon mal darauf vertrösteten, dass man das ja bei der Korrektur der Klassenarbeit sehen werde, sehe ich mich in einer ganz anderen Welt. Solche Lehrer*innen braucht das Land! SUPER.
Hatte mir im Bett mal Gedanken darüber gemacht welche Zahl größer ist wenn man beispielsweise 5*5 nimmt und das mit 4*6 vergleicht. Ist ja im Prinzip ähnlich und kam dann auch darauf dass das Produkt von den beiden unterschiedlichen Zahlen genau um den Abstand zur mittelzahl zum Quadrat kleiner ist als das die mittelzahl zum Quadrat. Schon irgendwie cool diesen Gedankengang weitergeführt in so einem Video wiederzufinden. Danke dafür :))
Genau, das ist auch der Grund wieso eine quadratische Fläche immer die größte ist wenn die Seitenlängen gegeben sind. Tatsächlich mal was was man ab und zu im Alltag braucht.
Gut (mit viel Geduld) erklärt. Dies war mein ZWEITER Lösungsweg. Erster Lösungsweg: Was macht man bei großen Fakultäten? Stirlingformel! Dann: 99/e < 50, und zwar deutlich genug, dass man sich um die √198π nicht weiter kümmern muss. (Um den ganzen Rest natürlich erst recht nicht). Fertig!
Ich liebe diese Quadrat-Rechteck-Methode - so nenne ich es mal. In diesem Video hat man also genau den Beweis, dass Quadrate bei gleichem Umfang (ist ganz wichtig!) immer eine größere Fläche als Rechtecke haben. Sehr schön, ich habe nämlich auch den weg über die dritte binomische Formel gewählt :)
ja funktioniert toll. Geometrisch ergibt das auch Sinn, denn der Kreis hat von allen 2D Formen das beste Fläche pro Umfang Verhältnis und ein Quadrat ist das Rechteck, dass dem Kreis am ähnlichsten ist. Entsprechend sind auch alle anderen symmetrischen Varianten am besten, egal wie viele Kanten.
Susanne Du bist sicher die beste Mathematik-Lehrerin, weil Du nichts auslaesst bzw ueberspringst ! Du waerest ja auch extrem gut in Physik, sogar fuer die Erklaerung der Relativitaets-Theorie(n). Nur weiter so !
Hi Susanne. Der Erklärungsabschitt mit der blauen Farbe, dem Umsortieren und der Binomischen Formel hätte man sich komplett sparen können. [Die 'Grüne 50', die auf beiden Seiten als Zusatzfaktor auftaucht, lasse ich hier mal weg, weil die nichts an der Relation ändert.] Man braucht nur die grünen 'Päckchen' (die grünen Klammern) anschauen unter dem Größenaspekt: Das 1. grüne Päckchen berechnet sich mit 99x1 = 99, das 2. mit 98x2 =196, das 3. mit 97x3 =291. Die Größe der Päckchen steigt also kontinuierlich an. Somit lässt sich schreiben: (1.Päckchen) < (2.Päckchen) < (3.Päckchen)
Hi Susannele: ...tolles Beispiel für deine mathematischen Erklärungen, die immer sehr detailverliebt sind... ...ich habe mir einfach gedacht, dass, wenn man die Vielfachen vergleicht, am Ende der Term, der die Potenz ist, gewinnen muss, weil die Zahl allein nach den Nullen vor dem Komma größer sein muss als der fakultätische Term... ...ohne Zweifel schneller, aber mathematischer und < sheldonesker > ist dein Erklärungsansatz... Le p'tit Daniel, und noch einen schönen Tag Dir
Das schönste an Deinen Rätseln ist, dass man die Aufgabe sieht bevor man sich das Video anschaut. So kann man knobeln, bevor man das Video anklickt. Dieses Mal brauchte ich länger als sonst. Gut, mit Taschenrechner wäre es in Sekunden erledigt: 50^99 =1,5777x10^168 und 99! = 9,3326x10^155. Die Ähnlichkeit zur "Gauß-Aufgabe" ist offensichtlich, also hatte ich auch die Päckchen gebildet und die 3 Binomische Formel verwendet. Bis zur Mitte des Videos dachte ich noch, ich könnte mit einer alternativen Lösung glänzen. Dann aber hatte ich doch nur die Lösung aus dem Video gefunden.
Vielen Dank für das wirklich schöne Rätsel! Bei der Ansicht der RU-vid-Inhalte habe ich die Lösung noch nicht gesehen. Als du die erste Zeile allerdings komplett hingeschrieben hattest, fiel mir die 3. binomische Formel ein. Man vergisst leicht, wenn man nicht mehr ständig im Stoff ist. Aber auch Wiederentdecken macht Spaß.
Ich habe es mit einem vereinfachten Beispiel probiert. 4! vs .2 hoch 4 ► (1/2) n hoch n ist größer als n!. Da 50 sogar etwas mehr als die Hälfte von 99 ist, sollte das da erst recht gelten. Der allererste Eindruck was per Bauchgefühl, die intuitive Vorstellung, dass die Verkleinerung der Werte bei der Fakultät letztlich mehr ausmacht, als immer mit dem gleichen Durchschittwert (n/2) zu multiplizieren. Das ist natürlich weit weg von jeder mathematischen-exakten Beweisführung. Aber schließlich bin ich kein Mathematiker, auch nicht als Hobby, und Abi war vor 47 Jahren, habe also sehr viel vergessen.
Das geht zum Schluss aber einfacher: wenn der letzte Produktfaktor (50x50) größer ist als der andere letzte Faktor (51x49) und dieser letzte Faktor der größte ist, dann muss die Fakultät kleiner sein.
Genau so bin ich da auch ran gegangen. Dafür muss man aber wissen bzw. zweigen, dass sich zwischen dem ersten und letzten Faktor kein anderer größerer Faktor versteckt. Das "wissen" wir intuitiv, oder leiten das aus der Geometrie ab, ein Beweis ist das aber noch nicht.
Vielen Dank! 🌟 Da wäre ich nicht drauf gekommen, wie man das beweist. Ich hätte es so gemacht, dass ich einfach kleinere Zahlen nehme, wo ich es ausrechnen kann und gleich vergleichen kann, zum Beispiel 3^6 versus 6! Da wird es schneller deutlich.
Hab’s genauso gemacht. Vorher habe ich aber versucht das Problem zu „verkleinern“ auf 5 hoch 9 versus 9 ! Die 5 in der Mitte fällt weg und 4x6 ist schon mal kleiner als 5x5. Also war es klar.
Wow! Eine ähnliche Aufgabe gab es Ende der 90er bei einer Matheolypiade (ich glaube zur Feier des Millenniums war es hier die 2000 statt 99) und ich habe mich seitdem immer gefragt, wie man das löst. Super!
Beide Zahlen sind die Volumina von Quadern im IR^99 mit selbem Umfang (50*99=100*99/2). Der Würfel (99 mal Kantenlänge 50) maximiert unter allen Quadern festen Umfangs das Volumen,also ist 50^99 größer. Rigoroser: (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 < a^2 f.a. b>0, d.h. b=0 (also 2x selbe Kantenlänge statt ungleich aufteilen) maximiert das Binom. Induktiv und mit a=50 gilt dasselbe auch für Potenz 98, bzw 49 solcher Binome. Also a=50, b=0 mit 50^99 maximal.
Das war viel spannender als jede Serie die ich mir vorstellen könnte zu gucken, während des Essens XD. Danke. Ich bin auch sicher das es mir im kommenden Bewerbungsgespröch hilft ^^
Schade - ich zu früh oder du spät. Geboren. Mit dir als Lehrerin hätte ich Mathe besser verstanden. Echt toll wie du das erklärst. 50 Jahre nach dem Abi fang ich an das alles zu verstehen. Danke schön.
Hätte man Herrn Gauß die Frage gestellt, wäre er wohl weniger über sie irritiert gewesen als über die Zusatzinformation, ein Taschenrechner würde eine 'ERROR'-Meldung zeigen. @Susanne: sehr ansprechend präsentiert! 😉
Ja danke für den kommentar, jetzt häng ich seit 30 minuten im gauss wiki.. ;) Als ich das Vorschaubild gesehen hab dachte ich das sieht doch n blinder mit nem Krückstock, dann war ich 10 minuten sehr verwirrt von dem rechenweg hier .. gibts da nicht noch nen einfacheren weg ? .. schon so lange her
Man kann es etwas eingängiger (weiß nicht, ob auch einfacher) geometrisch lösen, indem man jedes 'Päckchen' als Rechteck und das Produkt als dessen Fläche betrachtet. Dann lässt sich leicht sehen, dass jedes Rechteck kleiner ist als das Quadrat (also die 50*50). Das ganze ist auch bekannt als Extremwertaufgabe mit der maximalen Fläche bei gleichbleibendem Umfang.
Ich hätte es mir so überlegt: 50^99 und 99! sind beide ein Produkt aus 99 Faktoren. bei 99! ist die eine Hälfte großer als 50, die andere kleiner. Aber 1*99, 2*98,...49*51 sind alle kleiner als 50*50. Darum wäre ich auch zu dem schluss gekommen, dass 50^99 > 99! ist.
ich bin durch ein Gedankenexperiment darauf gekommen: 1 * 99 = 99, 2 * 98 = 196; Errechnung Δ: 196 - 99 = 97 -> 99 - 97 = 2. In der Problemstellung 99! wird die 50 nie quadriert (und stellt auch bei 50^99 einmal das neutrale Element dar, das im Vergleich auch ohne rechnerische Berücksichtigung bleiben kann). Das Δ kann man dazu benutzen, es solange zu iterieren, bis 49*51 - das letzte Zahlenpaar in dieser Aufgabe - erreicht wird (99 + 97 + 95...). In keinem Produkt dieser Zahlenpaare wird 2500 auch nur annähernd erreicht - sehr wohl aber in 50^99. Ergo ist Letzteres größer q. e. d.
Hab das Mal in meinen Taschenrechner eingetippt und habe keinen Fehler rausbekommen. Ich kann damit bestätigen, dass 50^99 in der Tat größer ist als 99!
Ich hatte tatsächlich denselben Ansatz und dann argumentiert, dass ein Quadrat immer den größeren Flächeninhalt im Vergleich zu jedem sonstigen Rechteck mit dem identischen Umfang hat. Dass so natürlich noch mit den binomischen Formeln genau aufzuzeigen ist aber der mathematisch elgantere Weg.
@@detliskenvondematkos sie hat die dritte binomische Formel aber auch nicht bewiesen. Dass ein Quadrat den größeren Flacheninhalt hat kann man analog vielleicht auch als "Trivialität" gelten lassen.
Danke! Hey Susanne, ich bin zur Zeit auf Weinhachtsbesuch bei Verwandten in der Hocheifel, also am A***h der Welt.Trotz Funkloch konne ich Dein Video per Smartphone super empfangen, ging prima. Du bist ein Genie. Ich wünsche meiner absoluten Mathe-Favoritin nochmals frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr. Bis dahin! Liebe Güße! René Hallo Susanne, Deinetwegen werde ich noch tausend Jahre alt, um Deine excelenten Mathe.Videos zu verfolgen. Du bringst das so verständlich herüber, wie keine Andere. Großes Lob! René
Es erinnert stark an die Aufgabe, die ganzen Zahlen von 1 bis 100 zu addieren, wie es der kleine Carl Gauss in der Schule gemacht hat, in 50 Paaren zu je 101. Wenn man solche Beispiele im Kopf hat, ist es nicht schwierig.
Genial erklärt! Natürlich können heutige emulierte Taschenrechner oder z. B. WolframAlpha das direkt, aber es ginge zur Not auch mit einem "normalen" TR. Außerdem wäre das ja nicht der Sinn der Übung. 50^99 kann man zu 5^99*10^99 zerlegen. 5^99 = 1,5777 * 10^69 und (auf dem Papier bzw. im Kopf!) multipliziert mit 10^99 ergibt sich 1,5777 * 10^168. 99! lässt sich mit hier ausreichender Genauigkeit näherungsweise mit der Stirlingformel berechnen. Dabei reichen schon die ersten beiden Glieder der Stirling-Reihe: ln (99!) = 99*ln(99) - 99 = 355,92. Daraus exp(355,92) als Zehnerpotenz zu berechnen, ist unproblematisch.
Hallo Susanne, ich denke mir, daß die binomische Formel nicht mehr erforderlich ist, um zu beweisen, daß 50^99 > 99! ist. Geht ganz einfach: Im ersten (roten) Term haben wir 49x die 50^2, was jedes Mal 2500 ergibt. Die letztmalige Multiplikation mit 50 vernachlässigen wir, weil die bei dem grünen Term ebenso vorkommt, sich also beide gegenseitig aufheben. Dann schauen wir uns nur noch den grünen Term rechts an: Der beginnt mit 99x1=99 und wächst in insgesamt 48 weiteren Schritten (zusammen also 49 Stufen) bis zu 51x49=2499. Die 47 dazwischen liegenden Stufen liegen alle dazwischen, also keine ist größer als die letzte mit 2499. Wenn also von den 49 Zwischenprodukten des grünen Terms JEDES EINZELNE kleiner ist als die einheitliche 2500 beim roten Term für ebenfalls 49 Zwischenprodukte, dann ist auch der rote Term insgesamt numerisch größer als der grüne. Damit ist der rechnerische Beweis für die Richtigkeit der o.e. Ungleichung erbracht. Gruß von Franz
Dafür müsstest du allerdings erstmal zeigen, dass die "Stufen" auch wirklich alle zwischen den von dir genannten Werten liegen. Dafür gibt es sicher verschiedene Methoden. In einem anderen Kommentar wurde z.B. geometrisch argumentiert.
@@kaanmarvinheimann3273 Meine Methode, dies zu beweisen war ganz simpel, nämlich rechnerisch als numerische Reihe. Von oben nach unten: 51x49=2499 => kleiner als 2500 52x48= 2496 => kleiner als 2500 und auch kleiner als 2499 53x47=2491 => kleiner als 2500 und auch kleiner als 2496 ... und so weiter abwärts mit stetig kleiner werdenden Ergebnissen und damit natürlich auch stets kleiner als 2500. Nun aus der Gegenrichtung, nämlich von unten nach oben: 99x1=99 => kleiner als 2500 98x2=196 => kleiner als 2500 aber größer als 99 97x3=291 => kleiner als 2500, aber größer als 196 ... und so weiter aufwärts mit stetig größer werdenden Ergebnissen, jedoch stets kleiner bleibend als 2500. Schließlich wird der Anschluss an die obige, abwärts gerichtete Reihe erreicht, aber nicht die 2500 (oder mehr) als Ergebnis. So einfach ist das!
Mein Taschenrechner kann nur bis 10^99, also habe ich die Summe von log(1) bis log(99) gebildet (155,97) und mit 99*log(50) verglichen (168,20) 🙂 Die Päckchenmethode ist natürlich vieeel jugendtauglicher, das hat mich begeistert.
Wenn ich so eine huebsche und geniale matheprofessora ģehabt haette ,waere mein leben wahrscheinlich anders verlaufen,bin 66 jahre ,kaepitan retired,vive in colombia und bin per zufall auf deinen kanal gestossen.mit deinem unterricht koennen die kidsys ŕuhig zuhause leiben ,mach weiter so🦌🐺🦊🐱🦁
Hallo, danke für die Videos die helfen mir viel die Themen zu verstehen, wenn du Videos zu Quadriken machen könntest wäre das für mich zb. sehr hilfreich. Ich wünsche eine freudige nächste paar Wochen 😊
Peter Volgnandt Die Sache mit der 3.Binomischen Formel ist echt klasse. Erinnert mich ein bisschen an die Aufgabe zähle alle Zahlen von 1 bis 100 zusammen. Ist ja bekannt.
Hallo Susanne, sauguad 🙂 ich hätte vom Bauchgefühl eher gedacht, dass die Fakultät größer ist. Top erklärt. Ganz lieben Dank. Liebe Grüße auch an Thomas, deine Mum und nach Kanada. Allen noch ein super Wochenende. LG aus dem Schwabenland.
Hallo Susanne, werde mich jetzt vor der Community blamieren, sage es dennoch. Instinktiv, 50⁹⁹ ist 5⁹⁹ mal 10⁹⁹, das bedeutet 99× die Null dazu. 99! multipliziert zwar,aber es geht abwärts, also immer weniger. Vielleicht zu kurz gedacht alles,weil ab jetzt wird es nicht mehr sauber mathematisch. Deine Erklärung ist großartig, wie immer alles spannend. Danke.
Tolles Video und toller Kanal🙃! Wie wäre es Mal mit einem Video über "die Überabzählbarkeit" und wie man diese mit Diagonalisierung löst? Wäre echt mega cool :)
die Fakultät-Reihe steigt am Anfang schneller (von 99 aus gesehen) als die Exponent-Reihe. Und zwar 99/50 =~2, abnehmend bis 50/50 in der Mitte. Am anderen Ende ist das Verhältnis aber nur noch 1/50=0,02. Also ist die Exponent-Reihe klar im Vorteil. Deine Erklärungen finde ich immer so toll ! Ich bekomme manchmal fast Gänsehaut über deine "positiv-pedantische" und nicht abgekürzte Rechenwege. Und immer wieder die Erinnerungen an Basiswissen. Einfach genial, ich genieße es !
Ich sag mal so: Ab etwa 5:40 war ie Sache klar. Denn das 99 kleiner ist als 50x50 ist sofort ersichtlich. 49x 51 ist aber auch kleiner als 50x50. Die dazwischen liegenden sowieso. Die binomische Formel zeigt es zwar schön formal, aber wenns nur um die Frage geht "was ist grösser" (was ich am Anfang auch nicht wusste) ist ab 5:45 oder so das Thema durch. Thema und "Auflösung" fand ich interessant.
Da es hier nicht um das Ermitteln der Zahlen geht, sondern nur darum, zu entscheiden, welche Zahl größer ist, ist dieser Weg zwar mathematisch selbstverständlich der korrekte Weg bzw. generell der aufschluss- bzw. lehrreichste, aber man kann alternativ auch einfach anhand kleinerer Zahlen, die man als Beispiel verwendet, ermitteln welche der Zahlen größer ist und zwar indem man die höchste Zahl Ausrechnet bei der man das Ganze unumständlich rechnen kann. Man braucht nur das Verhältis der beiden Zahlen soweit wie möglich aufrechtzuerhalten, z.B. 20! und 10^20) Hierbei gilt: Je niedriger die Zahlen sind, umso eher ist das Ergebnis zu Gunsten von X! und je höher die Zahlen sind, umso eher ist es zu Gunsten von Y hoch X.
Bis 7:30 hatte ich es ähnlich, danach habe ich die "Päckchen" umgeschrieben als (100-x)*x=100x-x^2 mit x von 1 bis 49. 100x-x^2 ist eine nach unten geöffnete Parabel die ihr Maximum bei x=50 erreicht und somit ist jedes "Päckchen" in der Fakultät kleiner als 50^2.
Mein Windows Taschenrechner hat es ausrechnen können: 50^99 = 1,5777218104410903486690176890388e+168 und 99! = 9,3326215443944152681699238856267e+155 ergo 50^99 ist größer! Aber die Art wie Du das hier gelöst hast ist natürlich viel beeindruckender als es stupide in einen Taschenrechner zu hacken! LOL! Thanks for sharing! Love it!
Schöner Beweis! Auch falls niemand es gesagt hat, folgt diese Ungleichung am einfachsten aus der AM-GM Ungleichung. (1 + ... + n)/n >= (1*2 ... (n-1)n)^(1/n), also für jede n > 1, ((n+1)/2)^n > n!. Übrigens tut mir Leid wenn mein Deutsch nicht so gut ist.
Hi, ich habe mir das bis einschließlich zum Umsortieren genau so überlegt. Du als Mathematikerin hast das anschließend ganz geschickt gelöst, während ich (Ingenieur) folgendermaßen argumentiert habe: die einzelnen Produkte kann man sich ja auch als Flächen vorstellen; also z.B ein Rechteck mit den Seitenlängen 98 und 2; oder 50 und 50. wenn man voraussetzt, dass es bereits mathematisch bewiesen ist, dass die Fläche (also das Produkt) eines Rechtecks bei gleichen Seitengesamtlängen immer dann maximal ist, wenn die Seitenlängen gleich groß sind (hier: a und b Seite in Summe 100), dann ist damit auch klar dass 50 * 50 immer größer ist als jedes a * b (bei a + b =100). Wäre das auch ein mathematischer Beweis?
Hab nen coolen Trick gefunden, mein Handy kann das rechnen 😝 Aber finde es gut wie du immer wieder zeigst wie man Mathematik runterbrechen kann so, dass man keinen Taschenrechner braucht
Bin bis zur paarweisen Zuteilung gekommen, den Trick mit der binomischen Formel hatte ich aber nicht gesehen. Habe selbst geometrisch argumentiert. Faktor 1 jeweils auf der x-Achse, Faktor 2 auf der y-Achse, man startet mit dem Rechteck, das zwischen Ursprung und [1|99] aufgespannt ist und geht alle Paare durch bis zum Rechteck zwischen Ursprung und [49|51]. Da alle diese Quadrate dieselbe Seitenlängen haben (200 Einheiten), jedoch das Optimum für das Volumen bei einem Rechteck mit gegebener Seitenlänge erreicht ist, wenn beide Seitenlängen gleich werden (es also zum Quadrat wird mit Seitenlänge 50), kann keines der Paare ein größeres Volumen als 2500 Einheiten² haben und diese Zahl entspricht ja dem Produkt beider Zahlen. Entsprechend ist kein Zahlenpaar größer als das Pendant von 50*50.
Es gilt sogar n^(2n-1) > (2n-1)! für alle natürlichen Zahlen n > 1 (für n = 1 gilt Gleichheit). Der Beweis funktioniert für allgemeines n genauso wie für das konkrete Beispiel mit n = 50. Muss aber gestehen, dass ich auf den Trick mit der 3. binomischen Formel jetzt auch nicht gekommen wäre.
Im Prinzip kann man das auch über Geometrie lösen. Man braucht die binomischen Formeln gar nicht. Ein Quadrat mit Seitenlänge 50 hat immer einen größeren Flächeninhalt als ein Rechteck mit dem gleichen Umfang 99 x 1 bzw 51 x 49.
Hast recht! So etwas kann man nicht erfinden! Aber es gibt doch welche, die so etwas in Auftrag geben - die einfachen Gemüter halt. Immer frei nach dem Sprichwort:"Der Schelm denkt, wie er ist!" Schöne Weihnachten an alle
Mein Bauchgefühl hat mir direkt gesagt, die Potenzen müssten stärker sein. Hab das Beispiel dann mit 10 × 10 gegen 9 × 11 getestet. Wenn ich bei Vierecken eine Fläche maximieren möchte nehme ich auch das Quadrat und kein Rechteck 😄
Ich hätte gesagt, Quadrate haben eine größere Fläche als Rechtecke gleicher Kantenlängensumme, ohne den Beweis dafür zu kennen. Die 3. binomische Formel hatte ich da erst gar nicht gesehen. Aber geniale Idee! Das ist offenbar die Erklärung.
Es geht auch etwas schneller, wenn auch ungenauer. Bei den vergleichen der Paare kann man einfach das erste und letzte paar miteinanderj vergleichen. Also 99*1=99 und 49*51=2499. Da beide kleiner sind als 50^2 (2500) muss 99! Eben auch kleiner sein als 50^99. Denn wenn man die pärchen von 99! Künstlich zu ende denkt, also immer weiter die linke Seite verkleinert und die rechte Seite vergrößert so würde man am Ende bei 1*99 ankommen. Die größe der päckchen ist damit eine Parabel mit dem Minimum Bei 99 und einem Maximum bei 2499. Also immer kleiner als 50*50.
Bis dahin, wo die 50 als Mittelpunkt bei beiden Folgen festgelegt wurde, bin ich von selber auch drauf gekommen. Dann habe ich es mir aber einfach gemacht und einfach mal exemplarisch 49×51, 48×52, … 1×99 ausgerechnet und mit 50×50 verglichen und daran schon gesehen, dass 50^99 die größere Zahl ist. So schön systematisch war das natürlich nicht, aber immerhin bin ich selber auf die richtige Lösung gekommen. Ich hoff, das zählt auch ein bisschen.
Der gute alte Ti-89 kann es ausreichend. Sind beides riesige Zahlen. Bei Eingabe von 50^99>99! bekomme ich die eindeutige Antwort true. Sehr gute Erklärung im Video.
Ich hab mal nur jede 10te Zahl gerechnet, das hat dann immerhin mein Taschenrechner geschafft. ;) Also 1. 50^9,9 = 6,6*10^16 und 2. 99*89*79...*9 = 2,685*10^16 Ich hatte vermutet, die Ergebnisse könnten im gleichen Verhältnis zueinander stehen, wie die der ursprünglichen Ausdrücke. Ob das tatsächlich so ist, kann ich allerdings weder beweisen noch überprüfen.
Toller Lösungsweg, wäre ich niemals drauf gekommen. Ich hätte einfach 99 Taschenrechner nebeneinandergelegt, damit das Display breit genug für eine Darstellung wird.
Geniales Rätsel! Ich habs anders gelöst: Bin auch davon ausgegangen, daß es leicht zu lösen wäre, wenn auf einer Seite alle entweder größer oder kleiner als auf der anderen Seite wären. Paarbildung hab ich auch gemacht, weils einfach zu rechnen ist (pure Faulheit bei mir). Also hab ich den Versuch mit 99*1 gegen 50*50 und 49*51 gegen 50*50 gemacht und so wars dann relativ schnell klar. Deine Lösung ist aber weitaus eleganter.
Ich habe die Stirling Formel verwendet, dann kam ungefähr raus 25*36^99 was ich dann zu ungefähr (naja...) 36^100 zusammengefasst, was auf jeden fall kleiner ist, als 50^99 (und daher war auch egal, dass der Wert eigentlich eh schon zu groß war weil 25*36^99 < 36^100)
Die Summe der Multiplikatoren ist immer 100 also ist 50² immer größer als jedes andere Produkt. Ist quasi wie die Aufgabe welche Maße ein Rechteck braucht um bei vorgegebenen Umgang die größte Fläche zu bekommen
