Quand on connaît la fonction Beta, on peut aussi penser au changement de variable un peu moins naturel x = sin^2 θ ou x = cos^2 θ. Ça fonctionne aussi bien, quoique c’est plus facile avec le cosinus qu’avec le sinus. Un facteur 1/4 qui apparaît. Ensuite avec l’expension en série on a du 1/(k + 1/2)^2, et là on fout le 1/4 dedans pour retrouver du 1/(2k + 1)^2. Les deux méthodes marchent mais le changement de variable x = cos θ est plus naturel que cos^2 θ. Quelle que soit la méthode choisie, l’important est de ne pas oublier un facteur -1 qui fait que l’intégrale a bien un résultat négatif comme prévu ;) Belle intégrale
@@humhum3987 oui ici c'est clairement la dérivee partielle de beta par rapport en y évaluée en x= 0 et y=1/2. Mais cette méthode est pas super esthétique et n'entraîne pas l'intuition. C'est comme ça pour beaucoup d'intégrales classique en prépa
@@Hasard2mathsd’autant que la fonction Beta n’est pas enseignée et est assez peu connue (je pense qu’à la fin de la deuxième année, deux tiers des L2 et un tiers des prépa ne connaissent même pas la fonction). Si un étudiant avait sorti un I = 1/4 (del Beta(a,b)/(del b) avec a -> 0+, b = 1/2, même en justifiant bien l’étude de limite, il n’aurait pas eu de point. Malgré ça, connaître la fonction beta peut nous mettre sur la voie donc mieux vaut la connaître même si on n’a pas le droit de l’utiliser (et puis ça peut faire marrer le correcteur qui comprend pas pourquoi l’étudiant sort un x = cos^2 θ au lieu d’un x = Cos θ comme tout le monde
Merci pour cette friandise mathématique ! J'ai trouvé (un peu) plus simple comme méthode de calcul : Après le premier changement de variable u = cos(\theta), on peut développer en série entière le 1/(1-u^2), puis intervertir série et intégrale (hypothèses de Beppo Levi bien vérifiées). On tombe sur une série d'intégrales de ln(u)*u^(2n). Par intégration par partie, on peut calculer la nième intégrale qui vaut -1/(2n+1)^2. C'est déjà presque fini car la série des 1/(2n+1)^2 c'est la série des inverses des carrés des nombres impaires qu'on peut réécrire : Sigma de 1/(2n+1)^2 = Sigma de 1/n² - Sigma de 1/(2n)². Ce qui vaut 3/4*(Sigma de 1/n²). Or Sigma de 1/n² c'est la célèbre série d'Euler (problème de Bâle) qui vaut pi²/6. Notre intégrale vaut donc -3/4 * pi²/6 = -pi²/8.
@@fabienleguen salut, merci pour ce partage ! En fait c'est équivalent à faire ces 2 chagmt de variable et de prouver par récurrence que l'intégrale de t^n exp(-t) sur R+ est égale a n! . Ça évite de devoir refaire le dev en série quand tu connais la formule reliant zeta et gamma ;)
@@Hasard2maths Intéressant ! J’ai tenté le changement de variable exp(t)=u après avoir fait u=cos(\theta) pour tomber sur la formule reliant zêta et gamma mais j’ai un terme au numérateur qui ne colle pas. C’est quoi le changement de variable gagnant qui fait tomber sur la formule reliant gamma et zêta ? Encore une preuve qu’il faut connaître par cœur toutes les propriétés des fonctions usuelles snif, je rouille.
L’intégrande est négative (sin positif sur [0, pi/2] et le cos est entre 0 et 1, donc le numérateur est négatif). Pourtant le resultat a la fin est positif ! Il me semble que l’erreur se situe lors du changement de variable à 5:11, où du = - e^v dv. C’est le - qui manque, et qui se compense avec le - devant v. Le résultat est donc -pi^2/8
Est ce que tu pourrais indiquer en début de vidéo le niveau qu’il faut avoir pour faire l’intégrale parce que la je vais passer en spé et j’ai passé 30min bloqué après le changement de variable parce qu’il faut passer par des sommes intervertir etc… ce que je n’ai pas vu donc ce serait cool que tu nous dises un peu en début de vidéo qui est capable de la calculer
@@fatwitch_zeytsuu1567 ok je vais essayer de mettre des étoiles en début de vidéo ;). Après le problème c'est que ça dépend de la manière de résoudre l'intégrale. Le calcul intégrale est riche donc tu peux avoir des techniques simples comme d'autres élaborées. Aussi, ça dépend d'à quel niveau on se place: si c'est pour des lycéens, je devrais mettre 4 étoiles sur celle-ci ? Mais si c'est pour des L3, seulement 2 ? En tout cas merci pour cette précision j'essaierai.
non pas forcement besoin. Pour les espaces vectoriels, t'as tjr un loi de composition externe avec un corps K. Par exemple, tu prends K=R (les réels) et E=K[X] (l'ensemble des polynomes), t'as bien une LCE
j'ai pas pu m’empêcher 🙂 (MDR) j'ai mis un commentaire sur la vidéo d'axel arno lui disant: Axel tu as noué toi même la corde à ton cou !!! hasard 2 maths s'est fait un plaisir de calculer ton intégrale très difficile... ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-_7KO_e3LZ00.html je propose donc de nommer, pour la postérité, la valeur de cette intégrale (que tu n'as pas calculé) la constante d'Axel Arno .
@@Hasard2maths j'avais discuté une fois avec lui sur insta (avant qu'il ne devienne trop célèbre). il n'est pas si fort, il n'avait pas trouvé l'intégrale de 0 à l'infini de sinc(x) à la puissance m.
@@erictrefeu5041 Vous respectez la mémoire de ce mathématicien en lui rendant hommage en nommant la constante de Catalan avec le nom qu'il lui a donné, c'est-à-dire G. Plutôt que C qui est aussi la première lettre du mot constante.
@@richardheiville937 tu me saoules avec tes remarques sans intérêt! on insulte pas la mémoire de Catalan puisque qu'il est bien dit que c'est la constante de catalan (même si elle est notée C qui est un terme générique).
@@richardheiville937 je suis pas agressif du tout. je trouve tes commentaires pointilleux et sans intérêt. et je te suggère de faire une vidéo toi même sur la constante de Catalan si elle te passionne tant.
Parce que vous ne faites pas de "concession" quand vous utilisez la lettre de l'alphabet grec pour parler du nombre Pi ou quand vous utilisez la notation ln(2)?
Il est moins élégant d'utiliser des constantes moins générales que pi ou ln 2, qu'on retrouve partout, donc oui je trouve que au bout d'un moment, le calcul intégral devient inutile et infâme si c'est pour se retrouver avec des variables précises, qu'on a limite inventé juste pour ça. Voir par exemple mathematics MI, qui calcul des Intégrales pour à la fin se retrouver avec des résultats à rallonge utilisant les dérivées je ne sais combien ième de gamma et beta, ce qui perd toute élégance et tout intérêt. Je ne fais pas d'intégrales pour me retrouver avec ce genre de calculs bien trop obscurs et vides de sens, tout la beauté est de retrouver des constantes qu'on retrouve souvent et dans pleins d'autres domaines, comme pi et ln 2
@@Hasard2maths ....ou alors encore plus simple: on appelle l'intégrale de départ J et on dit que J est la constante "Hasard 2 maths" et le problème est résolu. ;-) ou la constante d'axel arno puisqu'il l'avait laissé en suspens. 🙂
Pardon, mais la fonction définie sur [0,1] (ou sur [0,infini[) par x->atan(x)^2/x^2 a bien une primitive (elle a une infinité non dénombrable de primitives). Il ne faut pas confondre "avoir une primitive" et "cette primitive est dans une liste donnée de fonctions ".
Une solution alternative car j'ai l'impression que c'est un peu tordu et confus. Supposons qu'il existe x dans G tel que <x> soit infini alors <x> est isomorphe à Z car <x> est monogène infini (via l'application f : Z -> G : k |-> x^k ) Or ceci engendre une infinité de sous groupe pour G car Z possède une infinité de sous groupe (les nZ). Ainsi tout les <x> sont fini et sont en quantité fini par hypothèse et on a G = U <x> d'où G est fini.
Sa preuve se résume à ce sous résultat : >> Un groupe monogène qui possède au moins trois générateurs est fini. Maintenant, supposons qu'il existe un groupe G infini mais avec seulement un nombre fini de sous-groupes. On a une application F : G -> {ssg de G} définie par F(g) = <g> et les hypothèses sur G assurent qu'il existe un sous-groupe H tel que F^{-1}(H) soit infini. H est alors un groupe monogène qui possède une infinité de générateurs, ce qui n'est pas possible d'après le résultat précédent.
@@yannld9524La faute dans ton raisonnement est que tu affirme que si G est infini alors il existe x dans G tel que <x> soit infini. Je te laisse considérer le groupe donné par l'union des n dans N des U_n (les racines n ème de l'unité) qui est un groupe Infini dont tout élément est d'ordre fini, en particulier pour tout x dans G <x> est fini qui donne te donne un contre exemple.
@@jeanpalazuelo3285 Il n'y a pas de faute dans ce raisonnement (qui n'est pas le mien, j'aurais fait une preuve plus directe). Je peux détailler si tu veux. F est une application qui va d'un ensemble infini vers un ensemble fini, donc il existe au moins un élément dans l'image qui a une infinité d'antécédents. C'est le principe des tiroirs ou quelque chose comme ça. On peut rédiger ça autrement mais c'est la même chose : G est infini et recouvert par les sous-groupes monogènes qui sont en nombre fini, donc au moins un sous-groupe monogène est infini.
@@jeanpalazuelo3285 Le "contre exemple" que tu donnes possède une infinité de sous-groupes monogènes... C'est une preuve par l'absurde, tu risques d'avoir du mal à trouver un contre exemple pertinent puisque justement ça n'existe pas un groupe infini avec un nombre fini de sous-groupes.
Tout se passe à la limite. A la place de 0 vous mettez epsilon et vous faites l'IPP et après vous faites tendre epsilon vers 0. Tout se passe bien car arctan(x)/x tend vers une limite finie quand x tend vers 0.
Non cela ne viendra pas, cette constante est certainement un nombre transcendant. J'imagine que vous ne trouvez pas frustrant d'utiliser une lettre grec pour désigner le nombre connu comme Pi ou la notation ln(2) pour désigner un nombre transcendant particulier.
@@richardheiville937 pessimiste va !!! avec un type comme hasard 2 maths, on n'est pas à l'abri d'un éclair de génie....... savez vous que cette constante vaut aussi le produit étendu à tous les premiers impairs des 1/(1-1/p²) si p=4n+1 et des 1/(1+1/p²) si p=4n-1 ?
@@erictrefeu5041 Je connais bien cette constante je peux vous en donner à la pelle des formules où cette constante apparaît. Une formule classique mais qu'un taupin ne connaît pas: intégrale de log(tan(x)),x=0,Pi/12 est égale à -2G/3
@@erictrefeu5041 La seule chose qui compte aujourd'hui est de trouver une preuve de l'irrationalité de cette constante et, c'est sans doute encore plus difficile, une preuve de sa transcendance.
@@richardheiville937 et ça c'est une formule de taupin ptet ? : G= le produit étendu à tous les premiers impairs des 1/(1-1/p²) si p=4n+1 et des 1/(1+1/p²) si p=4n-1 ?
moi je t'avais préparé celle là: ru-vid.come1k2Jvzcm6k pour ton retour... (en plus elle est en lien avec les valeurs paires négatives de Zeta....et t'es un pro sur la question...)
on va essayer d'en faire une. Si tu veux discuter avec nous (par ex, tu est en term et tu vas en prepa l'année pro), fait nous signe, on te donnera nos contacts ou alors par mail dans la bio de la chaine.
Une autre façon d'obtenir les valeurs de Zeta est de passer par un calcul de limite. En effet, en utilisant la définition de Zeta sous sa forme intégrale et les premiers termes du DL de 1/(exp(t)-1) - 1/t , il est possible de définir Zeta(s), pour s> -3, comme la limite, quand n tend vers l'infini, de la somme de k=1 à k=n des puissances de 1/k^s + 1/(s-1).n^(s-1) - 1/2.n^s + s/12.n^(s+1). Ces termes complémentaires (nuls à l'infini pour s>1) ne contredisent aucunement la définition traditionnelle de Zeta (donnée pour s>1) et permettent de trouver facilement Zeta(0)=-1/2, Zeta(-1)=-1/12, Zeta(-2)=0. ce calcul de limite est valable pour les valeurs non entières, par exemple, Zeta (1/2) est la limite, qd n tend vers l'infini, de la somme pour k=1 à k=n des 1/racine(k) - 2.racine(n). Et si s est un zéro non trivial de Zeta, la limite, quand n tend vers l'infini, de la somme de k=1 à k=n des puissances de 1/k^s + 1/(s-1).n^(s-1) vaut zéro (et idem pour 1-s connaissant l'équation fonctionnelle de Zeta).
salut pour l'exo ça peut marcher d'écrire la définition de la limite pour f'(x) avec les inégalités au lieu de la valeur absolue et ensuite de l'intégrer pour retrouver f et finalement diviser par t? ou bien c'est un peu frauduleux surtout au niveau du segment où on intègre sinon bonne idée cette série de vidéos
pour l'intégration, on n'a pas l'hypothese C1 mais seulement dérivable donc pas le droit d'intégrer (du moins niveau prepa). Je crois qu'on a le droit de le faire mais que la construction de l'intégrale en prépa ne comprend pas ce cas donc on utilise d'autres solutions.
Très sympa d’introduire les fonctions holomorphes pour essayer de prolonger la fonction zêta sur le plan complexe. Ayant fait de l’analyse complexe cette année, la vidéo est assez bien faite, l’analyse complexe c’est vraiment jolie^^
Salut, oui je trouve ca aussi sympa d'introduire zeta et de prolonger. Cependant, je ne connaissais pas ce moyen de prolonger zeta mais plutot la classique équation fonctionnelle. J'ai hate de finir la prépa pour étudier toute l'analyse complexe et etendre mes connaissances qui se limitent aux rudiments d'analyse complexe (jsuis en sup mdrr)
Tu verras c’est sympa, parfois dur mais ça va. L’essence du truc c’est d’intégrer sur des chemins, et d’arriver à comprendre ce qu’est une singularité et utiliser le fameux théorème des résidus pour calculer des intégrales non triviales de prime abord. C’est vraiment une théorie intéressante, quand tu parles d’estimées de Cauchy, de formule de Cauchy sur le disque… ou de formule de Cauchy sur une 1-chaîne fermée. C’est surtout la rigidité de l’analyse complexe par rapport à l’analyse réelle qui est bluffante, le premier théorème qui me vient à l’esprit pour illustrer le propos c’est le théorème de liouville (ça se prouve en 2 lignes avec les estimées de Cauchy).
Ouais j'avais déja regardé un peu les series de Laurent, résidu, th des residus etc. Sinon, cette "rigidité" est, comme tu dis, vraiment impressionante
Sans vouloir dénigrer quoi que ce soit, je n'arrive pas à savoir si vous cherchez à nous démontrer le résultat encadré en rouge dans votre slide "Conclusion", ou si vous présentez quelque chose que vous considérez comme faux. Je ne vous ait peut-être pas bien écouté, mais il me semble que vous avez démontré en début d'oral que la somme des entiers diverge. A la fin de l'exposé, la dernière égalité semble évidemment fausse, puisque vous avez démontré le contraire en introduction. La fonction zeta de Riemann reste égale à la somme des 1/n^s pour n >= 1 pour Re(s) > 1. Cependant, ceci devient faux lorsqu'on regarde son prolongement holomorphe (sur la partie de C que vous étudiez). Si on définit zeta comme étant ce même prolongement, une conséquence est qu'elle vaut la série des 1/n^s pour n >= 1, quand Re(s) > 1. Elle n'est pas égale à cette même somme partout là où elle est prolongée. Je trouve simplement qu'écrire "1+2+3+... = -1/12" est faux. d'ailleurs, la preuve fausse que vous montrez en fin de présentation est fausse car elle berne le lecteur via des notations abusives. Ecrire les séries avec les notations de limite et de signe somme est bien plus avantageux et moins risqué que d'écrire "a_0 + a_1 + a_2 + ...". Avec les notations usuelles, qui découlent de la définition d'une série numérique, on sait déjà quelles opérations nous avons le droit de faire sur ces séries. Les séries convergentes sont très libres à ce sujet, or les séries divergentes sont instables via ce genre d'opérations, car on additionne des limites qui créent des formes indéterminées. En tout cas bien joué à vous, je ressens beaucoup de respect à votre égard, surtout pour avoir eu l'audace de se lancer dans un travail si audacieux dont les éléments se rapportent au programme des années de L3. Je vous souhaite d'avoir eu les résultats que vous souhaitiez pour vos examens de fin d'année ! Je vous souhaite un bon été, merci encore pour votre contenu qui a toujours piqué ma curiosité.
Salut, dans un sens, le resultat de la fin est effectivement faux mais le but était de montrer un résulat mettant en avant l'exposé (donc attrire l'oeil). Concernant la démo de la fin, on la retrouve sur plusieurs vidéos cherchant à montrer ce resulat evidemment faux. On voulait juste montrer qu'il était facile de montrer n'importe quoi avec quelques arnaques. Ceci dit, merci pour la fin de ton message ;)
Hé hasard2maths, t'es toujours vivant ou quoi ? pas de nouvelles depuis 4 semaines.... j'espère que je ne t'ai pas dégouté en te soumettant des problèmes trop difficiles 🙂
Peux-tu donner une source pour ta formule magique sur la transformée de Laplace ? Comment définis-tu la transformée de Laplace inverse ? Sur quel espace ?
Super ! Je ne connaissais pas cette généralisation. Je connais une méthode qui consiste à intégrer la série de fonction \sum_{n=1}^{+∞}\frac{\sin(nx)}{n} , on a aussi de beaux résultats en intégrant celle où on remplace le sinus par le cosinus !
y a encore plus simple en utilisant çà: ru-vid.comAF7jfhdjf_4 connaissant le développement en série de cos(x), tu multiplies les deux séries entre elles (de manière à avoir un produit égal à 1) et ça te donne (sans avoir à dériver) une relation entre les n premières sommes (puisque tous les coeff du produit des deux séries sont nuls sauf le premier qui vaut 1).
pour info cette somme, pour un exposant s > 0, s'écrit aussi comme un produit infini étendu à l'ensemble des nombres premiers impairs (un peu à la manière de Zeta) par le produit des 1/(1-1/p^s) si p=4n+1 et des 1/(1+1/p^s) si p=4n-1. En outre cette somme admet un prolongement analytique sur C qui s'annule pour les valeurs impaires négatives (tout comme le prolongement de Zeta qui s'annule pour les valeurs paires négatives).
Très intéressant ! Merci de nous partager des intégrales aussi ardues, c'est très agréable des défis pareils ! Laissez-moi vous en donner un : sauriez-vous calculer la somme de la série alternée des inverses des cubes des impairs naturels ? (/sum_{n=0}^{+∞}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3} )
il faut calculer l'intégrale magique en la scindant en deux: sur [0;1] en développant les puissances de t, puis sur [1;infini] en développant les puissances de 1/t. on obtient ainsi une somme de fractions rationnelles qui vaut bien π/n /sin(πm/n) car on obtient aussi cette même somme de fractions rationnelles à partir de l'expression du sin(x) en produit infini.
