On peut remarquer que le terme au numérateur est le premier terme de la série entière du logarithme en 1, en l'étendant d'avantage on peut obtenir une suite d'intégrales du rapport de cette série sur le log. Puisqu'on intègre dans le disque de convergence, cette suite devrait tendre vers l'intégrale de la fonction constante 1, et donc vaudra 1 ! On peut donc conclure que la valeur moyenne du rapport entre cette série d'ordre 1 et le log est ln(2) sur cette partie du disque de convergence. Je n'ai pas réussit sans utiliser votre technique à calculer la valeur de cette intégrale, mais avec un logiciel de calcul formel, j'ai poussé le développement en série du numérateur assez loin pour observer comment les différentes valeurs de l'intégrale évoluent. A ma grande surprise, pour un ordre donné du développement en série au numérateur, le résultat de l'intégrale semble être une combinaison linéaire à coefficients dans le corps des rationnels des logarithmes de nombres premiers ! Je n'ai pas poussé plus loin mais je trouve cela intrigant, les nombres premiers ont-ils un lien avec cette intégrale ? Pour visualiser de quoi je parle, je vous invite à utiliser le logiciel WolframAlpha utilisable sur le web gratuitement comme geogebra, et d'entrer la commande ci-dessous : Integral from 0 to 1 of (t-1-((t-1)^2)/2+((t-1)^3)/3-((t-1)^4)/4+((t-1)^5)/5-((t-1)^6)/6+((t-1)^7)/7-((t-1)^8)/8+((t-1)^9)/9)-((t-1)^10)/10))/ln(t) WolframAlpha : www.wolframalpha.com Le résultat obtenu est assez fascinant, je n'écarte pas l'hypothèse qu'il s'agisse d'un choix de programmation dû au logiciel qui expose les logs de nombres premiers. Mais s'il ne s'agissait-là que de "prestidigitation" de la part de ce dernier, alors de tels logarithmes auraient dû être simplifiés quelque part, ce qui n'est pas le cas dans le résultat... Qu'en pensez-vous ?
