Une autre façon d'obtenir les valeurs de Zeta est de passer par un calcul de limite. En effet, en utilisant la définition de Zeta sous sa forme intégrale et les premiers termes du DL de 1/(exp(t)-1) - 1/t , il est possible de définir Zeta(s), pour s> -3, comme la limite, quand n tend vers l'infini, de la somme de k=1 à k=n des puissances de 1/k^s + 1/(s-1).n^(s-1) - 1/2.n^s + s/12.n^(s+1). Ces termes complémentaires (nuls à l'infini pour s>1) ne contredisent aucunement la définition traditionnelle de Zeta (donnée pour s>1) et permettent de trouver facilement Zeta(0)=-1/2, Zeta(-1)=-1/12, Zeta(-2)=0. ce calcul de limite est valable pour les valeurs non entières, par exemple, Zeta (1/2) est la limite, qd n tend vers l'infini, de la somme pour k=1 à k=n des 1/racine(k) - 2.racine(n). Et si s est un zéro non trivial de Zeta, la limite, quand n tend vers l'infini, de la somme de k=1 à k=n des puissances de 1/k^s + 1/(s-1).n^(s-1) vaut zéro (et idem pour 1-s connaissant l'équation fonctionnelle de Zeta).
Très sympa d’introduire les fonctions holomorphes pour essayer de prolonger la fonction zêta sur le plan complexe. Ayant fait de l’analyse complexe cette année, la vidéo est assez bien faite, l’analyse complexe c’est vraiment jolie^^
Salut, oui je trouve ca aussi sympa d'introduire zeta et de prolonger. Cependant, je ne connaissais pas ce moyen de prolonger zeta mais plutot la classique équation fonctionnelle. J'ai hate de finir la prépa pour étudier toute l'analyse complexe et etendre mes connaissances qui se limitent aux rudiments d'analyse complexe (jsuis en sup mdrr)
Tu verras c’est sympa, parfois dur mais ça va. L’essence du truc c’est d’intégrer sur des chemins, et d’arriver à comprendre ce qu’est une singularité et utiliser le fameux théorème des résidus pour calculer des intégrales non triviales de prime abord. C’est vraiment une théorie intéressante, quand tu parles d’estimées de Cauchy, de formule de Cauchy sur le disque… ou de formule de Cauchy sur une 1-chaîne fermée. C’est surtout la rigidité de l’analyse complexe par rapport à l’analyse réelle qui est bluffante, le premier théorème qui me vient à l’esprit pour illustrer le propos c’est le théorème de liouville (ça se prouve en 2 lignes avec les estimées de Cauchy).
Ouais j'avais déja regardé un peu les series de Laurent, résidu, th des residus etc. Sinon, cette "rigidité" est, comme tu dis, vraiment impressionante
Sans vouloir dénigrer quoi que ce soit, je n'arrive pas à savoir si vous cherchez à nous démontrer le résultat encadré en rouge dans votre slide "Conclusion", ou si vous présentez quelque chose que vous considérez comme faux. Je ne vous ait peut-être pas bien écouté, mais il me semble que vous avez démontré en début d'oral que la somme des entiers diverge. A la fin de l'exposé, la dernière égalité semble évidemment fausse, puisque vous avez démontré le contraire en introduction. La fonction zeta de Riemann reste égale à la somme des 1/n^s pour n >= 1 pour Re(s) > 1. Cependant, ceci devient faux lorsqu'on regarde son prolongement holomorphe (sur la partie de C que vous étudiez). Si on définit zeta comme étant ce même prolongement, une conséquence est qu'elle vaut la série des 1/n^s pour n >= 1, quand Re(s) > 1. Elle n'est pas égale à cette même somme partout là où elle est prolongée. Je trouve simplement qu'écrire "1+2+3+... = -1/12" est faux. d'ailleurs, la preuve fausse que vous montrez en fin de présentation est fausse car elle berne le lecteur via des notations abusives. Ecrire les séries avec les notations de limite et de signe somme est bien plus avantageux et moins risqué que d'écrire "a_0 + a_1 + a_2 + ...". Avec les notations usuelles, qui découlent de la définition d'une série numérique, on sait déjà quelles opérations nous avons le droit de faire sur ces séries. Les séries convergentes sont très libres à ce sujet, or les séries divergentes sont instables via ce genre d'opérations, car on additionne des limites qui créent des formes indéterminées. En tout cas bien joué à vous, je ressens beaucoup de respect à votre égard, surtout pour avoir eu l'audace de se lancer dans un travail si audacieux dont les éléments se rapportent au programme des années de L3. Je vous souhaite d'avoir eu les résultats que vous souhaitiez pour vos examens de fin d'année ! Je vous souhaite un bon été, merci encore pour votre contenu qui a toujours piqué ma curiosité.
Salut, dans un sens, le resultat de la fin est effectivement faux mais le but était de montrer un résulat mettant en avant l'exposé (donc attrire l'oeil). Concernant la démo de la fin, on la retrouve sur plusieurs vidéos cherchant à montrer ce resulat evidemment faux. On voulait juste montrer qu'il était facile de montrer n'importe quoi avec quelques arnaques. Ceci dit, merci pour la fin de ton message ;)
