На моменте 2:36 под заменой a+b на x имелся ввиду конечно не тот икс, что в исходном уравнении, я просто забыл английский алфавит. За такое на ДВИ расчленяют ;)
2-й способ решения: Из уравнения видно, что sin(x), cos(x) >= 0 Пусть: a = sqrt(sin x), b = sqrt(cos x), Тогда: a^2 + b^2 + ab = a + b И: a, b принадлежат [0; 1] Докажем, что a^2 + b^2 + ab >= a + b Сделаем замену: a = 1 + x (=> 0 >= x >= -1) b = 1 + y (=> 0 >= y >= -1) ab = (1 + x)(1 + y) = 1 + xy + x + y a + b = 1 + x + 1 + y = 2 + x + y Т.к 0 >= x, y => xy >= 0, тогда: ab >= 1 + x + y = a + b - 1 Докажем, что a^2 + b^2 >= 1 Доказательство: Сделаем обратную замену: sin x + cos x >= 1 sin x + cos x >= (sin x)^2 + (cos x)^2 sin x * (1 - sin x) + cos x * (1 - cos x) >= 0 - очевидно Получаем, что: a^2 + b^2 + ab >= a + b Равенство достигается, когда: 1. a = 0 и b = 1 2. a = 1 и b = 0 3. a = b = 1 4. a = b = 0 (Некоторые корни совпадут, так что конечный ответ совпадает)
Замена sin(a) = (sin(x))^0.5 ; sin(b) =(cos(x))^0.5 ; отсюда sin^2(a)cos^2(a) + sin^2(b)cos^2(b) + sin^2(a)sin^2(b) = 0 ; прописываем, что каждое слагаемое равно 0, и преобразуем систему совокупностей в совокупность систем, сводится к sin(x) = 0 или cos(x) = 0 (x в первой четверти)
