Какой способ понравился больше, школьный или нормальный? Записаться на курс по Высшей Математике для Абитуриентов можно в моем тг канале в закрепленном посте: t.me/profimatika_highmath
Когда я увидел выражение ab + bc*sqrt(3) подумал о сложении векторного произведения двух векторов. Наверное из-за корня из трёх. ab/2 + bc * sqrt(3)/2 = Max/2. ab*sin(pi/6) + bc*sin(pi/3) = Max/2.
Переходим в сферические координаты, b соотносим с вертикальной осью. Для искомого выражения получается произведение двух синусов разных углов, откуда нетрудно найти возможные углы и максимум.
Задача элементарно решается без особой высшей математики, если ввести в пространстве переменных а,b,c сферическую систему координат: a = r sin(theta)cos(phi), b = r cos(theta), c = r sin(theta) cos(phi). из первого условия очевидно вытекает, что радиус r =1. Неизвестная величина представляется в виде произведения двух функций с разными аргументами (theta и phi). Произведение очевидно будет максимальным, если каждый из независимых сомножителей максимален.
Да: a = sin θ cos φ c = sin θ sin φ b = cos θ φ ∈ [0;π/2], θ ∈ [0;π/2] (т.е. a, b, c > 0) ab+bc√3 = (a+c√3)b = (cos φ + sin φ √3) sin θ cos θ / Синус двойного угла / = (cos φ + sin φ √3)*1/2 sin 2θ / cos π/3 = 1/2, sin π/3 = √3/2, косинус разности / = cos(φ - π/3) sin 2θ Легко показать (оценка cos(φ - π/3) sin 2θ ≤ 1 плюс пример), что максимум = 1 достигается при φ=π/3 и θ=π/4 a = √2/4, b = √2/2, c = √6/4 как и у автора. Спасибо за видео.
Будь ты проклят! Я сам хотел такое написать. Как только видишь корень из трех, сразу хочется поделить пополам, как только видишь уравнение сферы, сразу хочется перейти в сферические координаты. Скринсейвер у меня включается через пять минут и включиться он не успел :)
15 числа пишу дви, готовился к этим типо параметрам и очень-очень тяжко идут, теперь вдохновился и хочу попробовать лагранжа уже на самом дви, надо завтра попрактиковаться и дальше видно будет
Через функцию Лагранжа вроде как локальный максимум нашли. Помимо проверки достаточного условия, надо бы еще доказать, что локальный максимум есть максимальное значение.
можно и более "традиционным" пойти методом: a = sqrt(1-b^2-c^2), тогда анализируем функцию Z(b,c) = sqrt(1-b^2-c^2)*b +b*c*sqrt(3), найдем производные и приравняем к нулю dZ/db = 0, dZ/dс = 0, учитывая что a,b,c>0, получаем b0 = sqrt(2)/2, c0 = sqrt(6)/4, a0 = sqrt(2)/4. Единственное надо еще производные A = d2Z/db2, C = d2Z/dс2, B = d2Z/dbdc, и найти AC - B^2 в точке (b0,c0), A=-140 - значит (b0,c0) - максимум
Вот всегда так. Частные производные находил со скоростью пулемёта, а как только дело дошло до "элементарных алгебраических преобразований" - сразу подсел :)))) Прям как я :))))
И теперь сравните, как бы мы мучались без Лагранжа: 1. Нужно привести искомое выражение к каноническому виду, для чего перейти в новый ортогональный базис x = (a + √3c) / 2 y = (-√3a + c) / 2 z = b, в результате чего искомая форма примет вид 2xz = m (гиперболический цилиндр), а сфера так и останется сферой. Самый канонический вид, конечно, получится, если оси еще довернуть на 45°, но и так, в принципе, достаточно. Задача сводится к двумерной: найти максимальное m, при котором окружность x² + z² = 1 и гипербола 2хz = m имеют общие точки. Очевидно, что при m = 1, это и есть ответ. И это была очень простая квадратичная форма!
Блин. Решил эту задачу буквально минут 30 назад). Потратил около 20 минут. Сейчас можно хоть решение сравнить). От себя советую решить с помощью тригонометрической замены.
А я в начале видео уже было подумал, что напишешь параметрическое уравнение сферы и полезешь в тригонометрию. Там по моему всё очень просто получается.
на 10:40 не понятные цыганские фокусы происходят, по какому праву мы просто заменили y на y/4. Понятно что мы можем так сделать но я бы заменил ее другой буквой, а так выглядит как ошибка, так как левая часть неравенства у нас не изменилась а правая поменялась
это что троллинг или я чего то не понял? Нужно найти максимум y(x+sqrt(3)z) , пусть x^2+z^2 =r^2, -> y = sqrt(1-r^2); y(x+sqrt(3)z) = 2y(x/2 +sqrt(3) z/2) выражение в скобках это скал произведения вектора (x,z) на единичный вектор , максимум его это r те 2r sqrt(1-r^2) нужно максимизировать - вот и все?
Можно перейти в сферические координаты там тоже в две строчки всё получается. Но в данном случае видимо человек показывает как решать способами в которых легко запутаться, допустить ошибку и освободить место в вузе для тех кто не выпендривается, а решает простые задачи простыми способами.
а нельзя разве сказать что второе уравнение преобразуется в b(a + c*sqrt(3)) при увеличении c второй член растет быстрее чем при увеличении а, значит можно решить уравнение (приняв а := 0) b^2 + c^2 = 1 найти bc*sqrt(3) ну а эта штука намного проще решается
Преподаю математику 30 лет в Нюрнберге! Все что у вас хорошее - это видно ! Но плохое - ваша речь содержит много мусора ! И скорость изложения материала- неверная !!
a²+b²+c²=1 max ab+bc√3 - ? a=(a; b; c)=>|a|=1 b=(b; c√3; 0) Согласно неравенству КБШ, a•b≤|a||b|=|b| (a•b)=ab+bc√3+c•0≤ |a||b|=1•√(b²+3c²+0²) ab+bc√3≤√(b²+3c²) Что-то у меня не сходится
На практике в некоторых вузах программа той же физики может опережать программу вышмата на семестр, а то и на два. Разобраться во всем самому будет трудновато, но возможно, а курсы лишь облегчат процесс вхождения в ритм
Я даже больше скажу, без желания научиться тебя никто ничему не научит. Если у человека было желание, ему курсы не нужны. А если не было - то и не будет, ему такой вуз не нужен.
Ну, если ты не чистый математик или около того, то обучение на курсах поможет не вылететь на первых курсах, пока вышмат будет. Всего-то. Это ведь база, за которую после окончания вуза платить не будут. А профильные предметы пойдут позже. То просто чтобы легче пережить начало обучения.
