ABMD - равнобедренная трапеция, если обозначить угол C через альфа, то ADM = альфа. ADN тоже = альфа. AMD + AND = 180 градусов (вписанные углы и их дуги). По т. синусов AD / sin AMD = AM / sin альфа, AD / sin AND = AN / sin ADN. Левые части равны, значит, равны и правые. Откуда AM = AN.
@@victornovik4025 можно как в видео (параллельные прямые вырезают равные дуги, равным дугам соответствуют равные хорды). А я делал: ADM = альфа, ABM = 180 - альфа, опираются на дополняющие дуги. DMC и ADM - накрест лежащие. DMC и BMD - смежные. Имеем два равных угла в трапеции.
@@user-xp6fw9gz8k понятно, спасибо. Т.е. вы использовали тот факт, что два вписанных угла ADM и ABM, опирающихся на одну хорду АМ, но лежащих по разные стороны от нее, вместе составляют 180. Я просто хочу решить эту задачу без доказательства равнобедренности трапеции, но не хватает мелочи и решение чуть-чуть ускользает. Кстати, равенство AN = AM я вывожу из подобия треугольников △MAN ~ △CDM (у них два угла равны). Отсюда AN/MD = AM/CD. Если MD = CD, то AN = AM.
а) Соединяем M и N, M и D. E - точка пересечения AD и MN. ∠AMN = ∠ADN (оба опираются на дугу AN), Кроме того ∠ADN = ∠BCD = ∠C = ∠A. ⇒ ∠AMN = ∠C = ∠A. С другой стороны: ∠ANM = ∠ADM (оба опираются на дугу AM) и ∠ADM = ∠A (каждый равен 90° минус угол с касательной; а углы MD и AB c своей касательной равны, поскольку те равны половине дуг, равной длины). Значит ∠ANM = ∠ADM = ∠A = ∠C. Таким образом ∆AMN - равнобедренный, и его катеты AM = AN.
@@victornovik4025 Это очевидно. Два луча у этих углов, ВС и AD - параллельны, а два другие - CD и BN - лежат на одной прямой. Значит углы ∠ADN = ∠BCD равны. ∠C - это другое обозначение ∠BCD. ∠C = ∠A - как противоположные углы параллелограмма. Кроме того ∠ADN и угол ∠AMN вписанные в окружность и опираются на одну дугу AN, а значит равны.
Если AD диаметр, то ABDN параллелограм, а не трапеция - независимо то косинуса угла BAD). Если центр окружности ниже AD, то тогда да, трапеция. Если выше, то чертёж вообще неправильный). Задачка похитрее, чем кажется.@@awrRoman25
Точки A, B, M, D лежат на окрестности, значит сумма углов ADM и ABM равна 180 градусов. Но так как BM и AD параллельны, то сумма углов ABM и BAD тоже равна 180. Получается что углы ADM и BAD равны. Так как точка N лежит на продолжении прямой CD, которая параллельна AB, то угол ADN равен BAD (как накрест лежащие). Получается что углы ADN и ADM равны (так как каждый из них равен BAD). Далее просто, в окружности напротив равных углов лежат равные хорды.
