Простая разность кубов ▶ №250 (Блок - интересные задачи) 

m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2). Так как m^2 + mn + n^2 > 2, то существует единственное разложение m - n = 1 и m^2 + mn + n^2 = 61. Так как m^2 + mn + n^2 = (m - n)^2 + 3mn, то mn = 20. Так как это произведение последовательных чисел, то ответ 4 и 5.

Числа m и n. Разность кубов это разность чисел,умноженная на неполный квадрат суммы. Разность равна 1. Т.е. m=n+1 Система m^2+m*n+n^2=61 m=n+1 m=5. n=4

Тут интересная проблема возникает,а для каких же разностей существуют решения,и когда оно одно(например,когда разность простое число),,а когда два.

m>n 61 -- простое и m-n=1 --> 61= n^2+n*m+m^2 --> 3*n*(n+1)=60 --> n*(n+1)=20 --> n^2+n-20=0 один полож. корень n=4 Ответ: m;n={5;4}

Начиная перебор, отметим, что по-скольку m и n отличаются друг от друга на 1, то m^2+mn+n^2 это 3 примерно одинаковых слагаемых. Делим 61 на 3, получаем 20.33333 Это число стоит между 16 и 25. Потому проверяем сразу числа 5 и 4. 5-4=1 5*5+5*4+4*4=61 Задача решена

5 и 4 Разница слишком мала Между 5 и 6 уже больше сотни Между 4 в кубе 64... Маловато учитывая разницу 61. Посчитал 4 и 5... Дело на 30 снкунд

(a-b)(a^2+ab+b^2)=61 61 простое число, вторая скобка не может быть равна единице, так что первая скобка 1, а вторая 61. Можно решить уравнение, но можно и сразу сказать что 61/3 будет чуть больше чем b^2. Тогда b=4, а=5. Проверяем - 125 - 64 = 61

Интересная система получилась - дает простые числа. Пусть и не последовательные. На сколько ее хватит?

Чудят комментаторы. Во-первых, по условию неизвестные числа натуральные. Значит, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... n, n+1, ... и никаких отрицательных. Во-вторых, куб растет очень быстро и разность кубов тоже растет нехило. Это заставляет подозревать, что если решение существует, то по заданной разности оно единственное и разность между неизвестными тоже очень невелика и равна 1. 5^3-4^3=125-64=61. Пара 4 и 5 подходит, а других не вижу. Не вижу также необходимости тащить в решение простоту чисел, разложение разности кубов на множители и т.п., за уши притянутые, соображения. Теперь посмотрим ролик, что думает сам автор о решении.

Не люблю переборы :-) Не аналитически как-то выглядит

0 1 8 27 64 125... 1 7 19 37 61 Можно заметить что кубы различаются на Е(1-х)*6+1 Где Е сумму всех чисел до х (вкл) где х номер куба Е(1-х)*6+1=61 Е(1-х)=10 Е(1-х)=Е(1-4) х=4 А лед 5

Ну до какой степени можно "разжёвывать" очевидные вещи! Не надо держать своих зрителей за дебилов! Генрих

В решении автора небольшой недочет. 61 можно еще разложить на -1 * -61 и -61 * -1. Понятно, что как и во втором случае они не подходят, но это надо было показать.