Задача из вступительного теста по математике в Оксфорд 

По-моему гораздо проще помнить теорему о том, что если многочлен любой степени имеет корни, то они могут находиться среди делителей свободного члена. Раскладываем 2961 на простые множители получаем 2961=3*3*7*47. Дальше обычной прикидкой понимаем, что 47 слишком много, а 3 и 7 слишком мало, значит корень может быть среди комбинации троек и 7. Берём самое очевидное 21 и подставляя получаем подтверждение, что 21 является корнем. Ну, а дальше по теореме Безу раскладываем многочлен на множители и получаем квадратное уравнение, у которого дискриминант меньше нуля и оно не имеет решения в действительных числах, а значит остаётся один корень 21

3:50: ну давайте попытаемся с вами тут что-то поподбирать немножечко… Вот настоящая наука пошла, это я понимаю!

странным образом выяснилось что самые простые (в том числе для понимания) решения оказались не в видео а комментариях 🙂

Задачка решается за 2 минуты в уме: множитель 300 говорит о том, что при вычитании из куба две последние цифры должны быть 61. Только числа, оканчивающиеся на 1 дают в кубе единицу в конце. Начинаем подбирать - 1, 11, 21

Благодаря тому, что относительно быстро считаю в уме, решил за минуту простым подбором. Думал, что есть какое-то решение алгебраическое. Потерял час пытаясь решить, проклял всё, посмотрел видео до конца, проклял всё ещё раз, и с горя пошёл спать...

Спасибо! Задача понравилась. Решив ее самостоятельно поднялся в собственных глазах до уровня Оксворда. Хотя мы такие задачи решали в 8 классе в сельской общеобразоватедьной школе расположенной в пгт Смышляеака Волжского района Куйбышевской области еще в далеком 1977 году.

В обе части уравнения прибавить 6300. Это позволит вынести за скобки (x-21). Отдельно решить x-21=0 и показать, что квадратное уравнение x²+21x+141=0 не имеет корней среди действительных чисел, так как дискриминант меньше нуля

Спасибо, с удовольствием вспомнил студенческие годы. Приятно восстановить какие-то знания в памяти.

Два столпа математики: "заметим, что" и "давайте что-нибудь подберем".... ÷)

Графически определить количество корней, оставив влево- х в кубе, а вправо все остальное. Получается в одной точке пересекается прямая кубическая парабола, а затем,разложив 2961 на простые множители найти 21!👍

Хоть и был лучшим в классе по математике сначала понял, что спустя 15 лет полностью сдеградировал. Но увидев способ решения, я понял что себя всё-таки надо любить! 🤣

я помню эту задачу,в 1988 году попалась в дополнительном вопросе при поступлении в ВУЗ на Робототехнику, 1 может в куб давать только число с 1, 11 мало, 31 много, вспомнил про парадоксы математики =просто взял первую и последнюю цифру суммы соединил и получил правильный ответ 21

Можно и без производной. x³-300x-2961=0 если есть целый корень, то он среди делителей 2961. 300х заканчивается 00, значит x³ заканчивается на 61, то есть у Х последняя цифра 1, проверяем 11,21,31..., уже вторая попытка 21 подходит. Делим на (х-21), разложение (х-21)(x²+21х+141)=0 где D=-123

Методом подбора решить задачу это конечно сильно, поспорить нельзя. Интересно, что было бы если число не было целым, мы бы перебирали сотые?)

Довольно легко решается. 1 шаг. Разложить на простые множители число 2961. 2 шаг. Прикинуть и увидеть, что х1=21 3 шаг. Представить в виде произведения: (х-21)×(х^2+21х+141)=0 4 шаг. Ищим х2 и х3 Для этого вычисляем дискриминант. Он меньше 0. Стало быть х2 и х3 комплексные числа. И на этом останавливаемся. 😇

Добрый день! Решение подбором не выглядит полноценным решением. Даже с учетом уменьшения диапазона подбора. Такое могут не зачесть. На мой взгляд нужно использовать преобразования: x^3 - 300x = 2961 -300x = -441x + 141x (в связи с тем, что 141*21 = 2961; -441 есть остаток, что получается при возведении, непосредственно, самого 21 как его квадрат, а именно: 21^2 = 441; x^3 -441x + 141x - 2961 = 0 x(x-21)(x+21) + 141(x-21) = 0 (x-21)(x(x+21) + 141) = 0 x-21 = 0 x^2 + 21x + 141 = 0 (что решается, очевидно, в комплексных корнях(это нас сейчас не интересует)) Тогда ответ, очевидно: x = 21

+10 и -10 -- это стационарные точки, являющиеся точками экстремума, а не перегиба. Будьте точнее в терминологии!

Классная задача - даёт варианты для творчества. Я вообще на другое обратил внимание. Х*300. Скорее всего это значение с двумя нулями на конце. Значит хвост в виде 61 при вычитании приехал из уменьшаемого. А ещё, чтобы 1 оказалась последней цифрой, то и сам Х должен заканчиваться на 1. Значит ищем двузначное число, скорее всего небольшое, с 1 в единицах и куб которого заканчивается на 61. Это 21

Использовать производную по мне замечательно. Не решая уравнения оказалось возможным построить график функции и оценить все возможные решения.

Решил чисто алгебраически: 1. подстановка x = y - 10 (на десятку наводит формула куба разниц) -> приводит к виду у3 - 30у2 = 961 = (31)2 берем корень справа и слева => y * sqrt(y-30) = 31 получаем у=31 => х=21 - Узнаём первый корень. 2. Пытаемся исходное уравнение разделить на (х-21), получаем х2 + 21х + 141 =0 => больше корней нет Жаль староват я для оксфорда)))

Прикольно: начали с производных и построения графика функции, но решили методом перебора. Так все уравнения решаются сложнее квадратных?)))

Классно происследовал функцию, спасибо.

Я лет 40 не решал уравнений, но это раскусил за 5 мин. Включаем логику и понимаем, что первое слагаемое должно непременно заканчиваться на цифру 61, т. к. у второго по-любому должны быть два ноля. Далее. Только цифра имеющая в конце единицу, возведëнная в куб, тоже даст в хвостика единицу. Цифра 11 не подошла, а 21 прямо в яблочко!

Тоже решил за несколько минут, разложив 2961 на простые множители. Мы же Х можем за скобки вынести, значит 2961 должно делиться на Х.

Формула Кардано даёт довольно корявое значение корня: x = ³√((2961 + 341√41)/2) + ³√((2961 - 341√41)/2). Но если посчитать на калькуляторе, то получится как раз 21.

я то думал будет красивое решение) А методом тыка подобрать 21 я и сам сумел)))

1:08 Точки перегиба определяются по второй производной. По первой только экстремумы.

За 2 минуты можно решить через схему Горнера, а там дальше при разложении будет понятно, что дискриминант у квадратного многочлена меньше 0 и корней больше нет

3:40 кубическое уравнение всегда имеет хотя бы один действительный корень

Специально перед просмотром решил сам. Корни среди делителей 2961. Подходит 21. Дальше делим исходный многочлен на многочлен (X-21) получаем квадратный многочлен. Решаем его как квадратное уравнение. Всё! Поздно увидел другие комментарии с решением.😀

Мой учитель алгебры за методы перебора, подгона под ответ и графическое решение сразу лепил двойку. Возможно, если бы я также провел исследование функции, он поставил бы тройку с минусом длиной в два экватора.

Зачем я это смотрю, если Оксфорд мне не светит и я не шарю в математике вообще....

Ничего не понятно, но очень интересно

Я сделал замену x=y-10. Переписываем уравнение как y^3-30y^2+300y -1000 -300y +3000=2961 => y^2(y-30)=961. Но 961 это же 31^2. Сразу становится понятно, что y=31 является корнем многочлена. Не трудно убедиться, что других корней нет. Значит x=21 - единственное решение.

[ 03:45 ] «Так как у нас кубическое уравнение, решений у нас могло быть и одно, и два, и три, и не быть вообще» Эээ... А можно, пожалуйста, пример кубического уравнения, у которого "решений могло не быть вообще"? ;)

Радуют все комменты, сколько у нас умных и талантливых математиков. Всех благ.

Интересно, приняли бы они такой ответ: Вместо решения уравнения, я решил просто угадать. И получилось это с третьего раза. 1)Первым числом было "5". Подставив число 5, в кубе у нас получилось 125. Я сразу понял, что этого числа не достаточно, чтобы в итоге получилось 2961. 2)Затем я выбрал число "19". В кубе получилось бы 6859, вроде бы число может подойти, но проверять дальше я не стал. Так как обратил внимание на то, что в окончание результата "куба" должна стоять единица - ***1, т.к. вычитается круглое число(300*х). 3)Затем я подставил число "21". Так как перемножение этого числа всегда нам дает в окончании единицу ***1. Решил его проверить: 21*21*21=9261(уже похоже на правду). Вычитаем 9261-300*21 и получаем по итогу 2961. Ответ: 21

Я решил вообще по другому. Мне захотелось разложить число справа на множители и я допустил что X целое. Потом разложил на множители многочлен слева. И прикинул что X всяко кратен 3 и заменил его на 3к. Сократил лево и право и получил что к(3к^2-100)=7*47. Если оба множители целые то k = 7. проверил сошлось. Нашел х. Проверил сошлось. Потом поделил многочлен x^3-300x-2961 на x-21. Получил x^2-21x+141. Нашел дискриминант, он меньше нуля. Значит других корней нет.

Должно быть дополнительное условие задачи: корень -- целое число. Иначе невозможно решить. Например, решите уравнение x^3 - 300 x = 2951 или x^3 - 300 x = 2971.

Как мне понравился Ваш способ! Супер! Лайк и подписка

Уравнение интересно тем, что можно найти разные подходы к решению, которые, впрочем, все сводятся к разложению на множители. Для строгого решения без эвристик "секретная" добавочка: -441х+441х, но об этом ниже ) Решение х=21 подбирается в уме за минуту или меньше. Дальше можно провести разложение на множители, деля на (х-21). Получаем квадратное уравнение х^2+21x+141=0, которое не имеет корней. Об этом уже писали ранее в комментариях. Если хотим более строгое решение или если не получается подобрать хотя бы один из корней быстро, то в общем виде задача сводится к получению выражения вида: х(х^2-a^2) +- b(x+-a)=0, тогда оно очевидным образом раскладывается на множители. В данном случае: х(х^2-a^2) + b(x-a)=0 Как получить такое представление? Все равно придется немного покопаться с делителями числа 2961=3*3*7*47=63*47=21*141. Либо пробуем варианты, либо замечаем, что если b=141, a=21 то добавление к многочлену +441х - 441х как раз приводит к данному представлению: х^3 - 441x - 300х + 441х - 2961=х(х^2-441) + 141(x-21)=х(х+21)(х-21) + 141(х-21)= =(х-21)(х(х+21)+141)=(х-21)(х^2+21+141)=0 Далее х=21, квадратное ур-е корней не имеет (либо считаем дискриминант, либо выделяем полный квадрат и еще остается положительное число). Такой способ представления очень хорошо работает, когда коэффициенты малы (например, все числа меньше 10).

Я решил за минутку, рассуждая так. Переносим Х^3-2961=300х. Поскольку 300х всегда будет заканчиваться на *00, то значит Х^3 заканчивается на *61. Число, куб которого заканчивается на 1, само может заканчиваться только на 1 (ибо 1^3=1, а вот 2^3=8, 3^3=27, 4^3=64 и т.д.). Соответственно, достаточно перебрать ряд 1, 11, 21, 31, где довольно быстро находим подходящим 21. Способ имеет некоторые сходу очевидные недостатки, например возможно есть и другие корни, но лично для меня является самым быстрым и простым в подобных задачах, особенно если ограничено время решения. P.s. А теперь хоть посмотрю видео, проверю себя))

Доступно и понятно. Лайк и подписка в поддержку канала!

Это всё замечательно, осталось только объяснить как это всё применяется в реальной жизни.

Теперь хочется спросить , а много таких , кому эта белиберда пригождается каждый день ?!😁

В данном случае надо просто подобрать кубы, которые дают десятки и единицы = 61, так как слева идет умножение на 300 и десятки и единицы в значении справа остаются, получаем 21. Остается только доказать, что корень единственный.

Неплохо считаю в уме - решил простым подбором без листочка и карандаша за 1,5-2 минуты. После посмотрел видео - ничего не понял. Расстроился. )))

В уравнении ещё есть два комплексных корня: x2=-21/2-√123/2i; x3=-21/2+√123/2i, в Оксфорде могут и не принять это одно действительное число

А я решил задачу по другому. Правда на это ушло около 5 минут. Я просто возводил рандомные числа в третью степень. Сначала возвел 10 в кубе вышло 1000. Сразу прикинул что что 300 умноженное на 10 = 3000. Не то. Потом возвел 15. Потом 20, затем 25 и увидел, что уже перебор. Вернулся назад на число 22, и увидел что я очень близко. К тому моменту я уже понимал, что нужное число лежит в диапазоне от 20 до 22. Ну и соответственно взял число 21 и все сошлось. ))

x(x^2-300)=2961 Предположим, что x^2-300>0 x^2>300 и с огромной вероятностью x целое Разбиваем число 2961 на простые множители: 47*7*3*3 Начинаем перебор целого x с минимально возможного, это 3*7=21, что, кстати сразу же и подходит) Далее рассмотрим, возможно ли, что x^2-300

Этот умник никогда нигде не учился - путает точки экстремума и точки перегиба. Олух! Так всегда получается,когда каждое ... (заполните пропуск по вкусу) норовит запиариться.

Синус тригонометрической констанции равно силу ветра в 3 градуса произвольной

из куба вычли что-то с двумя нулями на конце и получили **61, значит у куба на конце 61. пусть x = 10a+b, сразу понимаем, что b=1. (10a+1)^3 = 1000a^3 + 300a^2 + 30a + 1 = **61, значит 30a + 1 = 61, то есть a = 2 --> x = 21.

Красиво!)

Excellent explanation. Thank you.

Пойду я лучше в танки поиграю.

Очень сложно. В первую очередь должно быть понятно что х должен делится на 3. Все решается в уме.

Про теорему о корнях среди делителей свободного члена абсолютно верно ! И помнить ее не надо (это ответ на комментарий к комментарию) - глядя на равенство понятно, что если Х корень , то он делит правую часть 2961=3*3*7*47=3*21*47. Начать проверку надо с 21 (ясно, что 3 не годится, а 47 дольше считать🤓). 21 удовлетворяет. Так что это задача для 6-7 класса, производные здесь не при чем, да и общие теоремы о многочленах вообще тоже. Всем успехов !

"...вообще надо бы по другому...", но вот "решение" методом подбора! С таким решением не в Оксфорд, а на платный факультет курортологии... :)

Помню что решение будет среди делителей 2961, они находятся быстро в уме. А дальше легко посчитать перебором. Итог - правильный ответ есть решения как для экзамена нет. За 12 лет после выпуска, я окончательно превратилась в программиста))

...хз как, но я посчитал в голове - получилось 21)))

Вот что значит светлая голова, хорошая память и тяга к точным наукам! Я бы даже на 1 млн $ это не решила, знания матики закончились примерно в 9-10 классе

РЕАЛЬНО НЕ ХРЕНА НЕ ПОНЯЛ,НО ОЧЕНЬ ИНТЕРЕСНО 😀

мы такие задачи решали в школе, только это было 15 лет назад, так что я нихрена уже не помню) но по ходу решения вспоминал, что такое решали

Тут можно решить перебором без производных. Вычитаемое у нас 300х, значит оно всегда будет иметь 2 нуля на конце, значит надо искать x, куб которого будет давать на конце единицу. А это все числа, которые заканчиваются на единицу. Очевидно становится, что 1 и 11 не подходят, т.к. результат левой части будет меньше разности, не говоря уже об отрицательных числах. Пробуем 21 и 31. Число 21 даёт желаемый результат. А подставив 31, станет понятно, что значение левой части будет увеличиваться с каждым увеличением потенциального х на 10, значит корень уравнения единственный, х=21

Можно использовать метод неопределённый коэффицентов и сразу выйти на ответ, в добавок можно получить ещё 2а корня в комплекснов виде

Самый оптимальный путь решения. Он опирается на то, что можно заметить следующую вещь: 961 = 31^2 и то что 31 и 30 все образовано от 3, 10, 300,1 и что в формуле куба суммы имеется домножение на 3, все это имеет свою логику, но вот как этим воспользоваться? Сделал замену: x = t - 10. (t-10)^3 -300*(t-10) -2961 = 0; t^3 -30t^2 + 300t -1000 -300t + 3000 -2961 = 0 t^3 -30t^2-961 = 0; t^3 - 30t^2 -31^2 =0; (t^3 - 31t^2) + (t^2 - 31^2) = 0; t^2*(t-31) + (t+31)(t-31) = 0; (t-31)(t^2+t+31) = 0. Квадратный трехчлен в скобках имеет отрицательный дискриминант, поэтому он корней не имеет. Откуда: t = 31; x = 31 - 10 = 21. Думал автор придумал что-то поинтереснее тут, но если честно, то ты полное днище друг. Уж для видео то можно было подумать по-лучше и найти более интересное решение.

Учитывая любовь математиков к задачам - годам сразу пошел смотреть 21 и 22

по формуле Кардано можно было бы решить в 10 раз быстрее, даже несмотря на ее громоздкость.

Я думаю что гораздо проще помнить что Оксфорд не так уж и необходим, и если не поступишь- ничего катастрофического не случится))

Это решение подойдёт лишь для школы. В остальных случаях надо искать ещё два комплексно-сопряженных корня, т.к. один корень у кубического уравнения противоречит основной теореме алгебры. Вспомнив теорему о рациональных корнях многочлена получаем, что здесь если и есть рациональные корни, то только целые. Поэтому тот факт, что 2961= 3*3*7*47 заканчивается на 1 и x^3 заканчивается на 1 если х заканчивается на 1 ускоряет перебор рациональных корней, которых здесь 4: 21, 141, -21,-141. Здесь график и построение интервала (21;30), на котором м.б. корень автоматически пред'являет один из них. Дальше д.б. деление многочлена уголком и сведение к квадратному уравнению.

Мне кажется ещё проще это посмотреть на 300*x то есть можно точно сказать что две последние цифры числа 2961 не будут изменены если x будет меняться ведь при умножении на 0 все равно получится ноль. Т.е. теперь смотрим на x^3 мы уже знаем что 2 последние цифры числа 2961 не изменены и теперь ищем куб числа, который заканчивается на 61. Ближайший 21 подставляем : 9261-6300=2961

Я так решал. X * (X^2 - 300) = 2961 Выражение в скобках должно быть больше ноля. Иначе произведение в левой части будет отрицательным. То есть, Х должен быть не менее 18. Следующий квадрат, который можно легко - это 20. 20 * (400 - 300) равно 2000. Маловато. Теперь Х не менее 20. Далее, глядя на число 2961 понимаем, что четные Х можно вообще откинуть. И еще сумма цифр в 2961 , 2+9+6+1 делится на 3, значит и 2961 делится на три (признак делимости на три). Полагаю, что Х тоже должен делиться на 3. После 20 это 21, 24(откидываем как чётное), 27... Пробуем 21 - бинго!

Быстро прикинул в уме, что решение между 20 и 30. Дальше быстро прогнал возможные варианты на бумажке (в уме умножать уже показалось тяжело) и нашел ответ x=21. Оксфорд нервно курит в сторонке! 🙂

Я решал так. Во-первых, рассмотрел f(x)=x^3 - 300*x. Функция монотонная, имеет две точки экстремума при х=-10 и х=10. f(-10)=2000 и f(10)=-2000, f(0)=0. А значит, если и есть корень, то он единственный и больше 10. Во-вторых, разложил 2961 на простые множители. 2961=3*3*7*47. А в левой части вынес х за скобки, получил х*(х^2-300)=3*3*7*47. Откуда перебором получил х=21. Значение в скобках равно 3*47=141. 21^2=441. 441-300=141=3*47. Вот мое решение. Первая часть аналогична. Вторая часть различается. Кстати, корень из промежутка (20;30) легко находится из разложения 2961 и равен 3*7=21. Т.е. рассуждения о том, что на конце кубов, излишни. Достаточно было посмотреть на разложение 2961. Как мне кажется, составители этой задачи и подразумевали применение ОТА для нахождения корня.

Я не понимаю почему все тут такие гении и в восьмом классе решали уравнения на вступление в Хогвартс

Ютьюб почему-то решил, что мотоциклисту из Беларуси, сварщику автомобилей по совместительству, очень поможет при бессоннице поиск икса)

Жаль, что меня в своё время так рассуждать не учили. Тут становится понятно, что математика это не просто формулы и манипулирование числами, а очень логическая наука!

А почему нельзя использовать метод оценки? Т.е. очевидно, что левое выражение будет положительным при условии, что Х будет больше 18, зная о числах, которые дают 1 на конце в кубе, ближайшим остаётся 21. (PS: математики не касался более 13 лет и буду признателен, если объясните, в чем моя ошибка)

Отличное видео, чтоб подумать о чем нибудь другом

Я сделал проще для себя. нашел диапазон возможных чисел, взял 3 числа 10(1000), 20(8000), 30(27000). Тут я понял, что 20

Ещё в девятом классе рассказывают, что такое схема Горнера. Подобные задачки решаются ей довольно просто, проблемы возникают, когда корни нецелые или очень большие.

Это точки экстремума, а не перегиба! Внимательнее, пожалуйста!

о, блин на 2 или 3 курсе машиностроительного ТЕХНИКУМА мы это изучали. тогда казалось сложно и непонятно, а сейчас очень интересно

То, что корень лишь один можно доказать через монотонность. Делим обе части на х^3 функция слева возрастает, справа убывает => больше одного корня быть не может.

Появилось желание взять учебники по математике и вспомнить всё. Я даже базу забыла.

Вы сказали, что у кубического уравнения может вообще не быть корней. Каким образом, если график кубической параболы в любом случае пересекает ось Х хотя бы один раз?

Учитель: втирает какую-то дичь, про межгалактические графики, производные вселенной, ленту мебиуса и получает 21 Ты: просто вынес за скобки и получил 21 Учитель: да да, пошёл я нахер🤡

Как понял, прикол этой задачи в том, что какой бы метод не выбрал, все равно она сводится к перебору вариантов

Есть ещё 2 мнимых решения. Они находятся в точках экстремума функции. Эти комплексные числа находятся решением производной от этой функции. Общее количество решений 3, но только одно из них принадлежит действительным числам.

Каким образом у кубического уравнения не бывает корней? Всегда 1-3 корня.

Сомневаюсь, что решение методом подбора вызвало бы восторг у приемной комиссии. Но саму смекалку оценили бы.

По-моему, прежде, чем решать задачу, её нужно хотя бы сформулировать, а то непонятно, что мы ищем. Мы ищем все корни? Или мы ищем только действительные корни? Или мы ищем решения? Я закончил школу ещё лет 20 назад, но до сих пор помню, что нас учили решать только те задачи, которые сформулированы корректно. Если задача сформулирована некорректно, то её вообще нельзя начинать решать, потому что если составитель подразумевал не то, что подумалось ученику, то ответ ученика очень вероятно окажется неверным.

Интересно, многие бы из нас в Оксфорд поступили с такими уравнениями? 🤣

Не путайте детей. Точка перегиба это когда ВТОРАЯ производная равна нулю. А первая производная равна нулю в минимуме или в максимуме.

Товарищи, что заметили, что одночлен -300x ТИПА не должен влиять на последние две цифры в числе справа - это НЕ так, если мы говорим про действительные числа, ибо при x=/=0 И -1/3

Другие решения тоже хороши,но на видео оно достаточно наглядно и думаю более рациональным ,хотя с построением графиков ,нахождением точек (точки пересечения)тоже ок

5 минут потрачено на выяснение, что существует только одно рациональное решение. Гениально!

Интересно !

Решение методом подбора! Круто...