Россия vs США ★ Задача одна - ответы разные ★ Решите уравнение (x^2-7x+11)^(x^2-13x+42)=1 

Кстати, китайцы даже умножают и делят в столбик не по-русски. Мне наш метод гораздо более логичным показался.

А китайцы посчитают по советски и получат те же значения🤣

Зачем китайцы, если американцы всё правильно уже посчитали?

Вспомнилось про трёх свиней с номерами 1,2 и 4 :)

Индусы найдут ещё 10 корней 😅

x^2 имеет 2 корня, потому что показатель целый, по факту неположительные числа запретили возводить в действительную степень, чтобы однозначно работали свойства степеней a^b * a^c = a^(b+c) , (a^b)^c = a^(b*c),

@Sergey Kozlov математика имеет право вводить свою аксиоматику и строить дальнейшие рассуждения на ней, даже если аксиоматика чему-то в реальном мире противоречит

Инженер, как человек который учил математику, решит это уравнение в комплексных числах, а там ограничения на основание нет.

@Sergey Kozlov , вы отказываете инженеру в праве решать что-то аналитически? Инженер рассмотрит все полученные корни с т.з. применимости на практике. Типа, температура в Кельвинах не м.б.

Пример про x^2 = 4 вообще не к месту. Там изначально обе части уравнения определены. Просто sqrt(x^2) не равно x.

Нам нужна альтернативная математика)

Вот Вы верно написали про "и имеет смысл". Поскольку основание и показатель степени представлено многочленом, уравнение решается во множестве действительных чисел. А там, похоже, введено искусственное правило, что основание должно быть строго >0. Я тоже искал почему так, ведь есть же отрицательные примеры, обращающие в верное равенство. Но почему-то все спорят) Значит, так надо Просто смириться и жить дальше XD

@@si7-agent Начитавшись комментариев я в принципе понял в чем сыр-бор, дальше углубляться действительно смысла нет, просто учтем-с что есть такой скользкий момент))

@@si7-agent так и есть: нужно смириться. Это искусственное ограничение математики, чтобы правильно работали другие действия. В противном случае все скатится в полную и хаотичную чушь(которой, благо, математика не является).

@@lewis3242 ну если степень действительные числа то может получится так, что в основание выйдет отрицательное число, а степень будет дробная. А корень из отрицательного мы извлечь не можем. Видимо для этого и есть это ограничение.

Лан

Удачи с (-2)^sqrt(π)

Если решать на множестве целых чисел, то ответ как в США. Если решать на множестве действительных чисел, то Волков все правильно рассказал. По условию задачи решить ее надо в действительных числах.

Множество целых чисел есть подмножество множества действительных чисел. У меня всё.

@@vadimpiscio8514 , и?

Я тоже не понял, к чему вообще автор видео упомянул функции)

математика оперирует понятиями и опреелениями не противоречущими аксиомам. Мы не имеем права работать с неопределенным объектом в данном случае с функцией. Существует единственное определение показательной функции и исходя из определения мы можем решать задачу. Вы можете дать свое опредееление задав новую функцию и относительно своего определения решать но естественно об этом следует упомянуть заранее.

Согласна абсолютно

@@user-zv2yf8eg5e, по Вашему выражение (-2)^(-2) не определено?

@@yakovlichevau определено, но ни в коем случае не как точка функции x^x

Именно так! Автор не прав.

тогда и на 0 попробуйте разделить

@@user-rz9qd2nw7n разделим, если того потребует задача :)

@@amaxar7775 тогда можно в рамках действ. чисел извлекать корень чётной степени из отрицательных чисел.

Это был сарказм...

Если показатель - действительное число, то ограничения на основание ОБЯЗАТЕЛЬНЫ. ИНАЧЕ ВОЗНИКАЮ НЕОДНОЗНАЧНОСТИ. (-8)^1/3= -2. Верно? Ну да. А как насчёт (-8)^2/6= ((-8)^2)^1/6= 64^1/6? Во втором случае получается 2 без минуса. Чего будем брать в ответ?

@@user-gx2fg2ll1j вы игнорируете причину возникновения этой неоднозначности. В нашем уравнении неоднозначность заведомо убирается предположением, что степень четная (что и подтверждается позднее в виде "-1 в степени 6 или 12". Это просто логика, уберите из разума блок, мешающий это увидеть.

Согласен как с Валерием, так и с Виктором, все уравнения решаются по умолчанию на множестве действительных чисел (в ином случае должны обозначить то множество, на котором мы ищем корни), в данной задаче множество вещественное, а возводить в степень можно только положительные вещественные числа (просто потому что возведение в действительную степень так определяют, чтобы не было неопределенности). В связи с этим корни 3, 4 должны быть исключены.

@@user-gt7me3ue4j дык корни 3 и 4 - действительные. )))) Не следует бездумно применять ограничения, не проверив правомерность их применения. В правильной логике решения этого уравнения неопределенности, из-за которых автор ошибочно применяет ограничения, заведомо исключаются предположением, что степень, в которую возведена "-1" - четная (что мы и подтверждаем, находя корни 3 и 4 ).

@@kuzya_rediskin Блоки в разуме только у Вас. Вы понимаете если у Вас показатель ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ число, то возникают неоднозначности при придании основанию отрец. занч. Я это выше продемонстрировал. А Вы предлагаете считать показатель то действительным, то натуральным если он целый. Как такое описать. Опишите множество для показателя. Давайте показатель не R (или неопределённости) и не N (так как f(x)). 1) Нужно хитровыдуманное описание множества для показателя. 2) По умолчанию он R и своим выдуманным множеством Вы его заменять не имеете права, если в условии не сказано иное.

Все верно. Оно и не должно, так как это показательно-степенное уравнение, а не показательно-степенная функция. Чтобы избежать подобной "двусмысленности", не допускайте лишних ограничений, а просто делайте проверку полученных корней - ровно так и сделал автор в третьем случае решения. Этот пример, как мне кажется, указывает на другое: изначально мы перебрали 2 случая, а потом "вспомнили", что есть третий. Но как знать, что нет четвертого, пятого, шестого...? Как знать, что все варианты учтены? Нет, здесь еще как бы все очевидно, но если пример будет посложнее?

ну когда вводится действительная степень, даже рациональная об этом говорят

попробуй посчитать (-27)^(1/3) и (-27)^(2/6) не сокращая степень. Ведь по определению возведение в одну треть это то же самое, что кубический корень, а возведение в 2/6 это корень шестой степени из квадрата числа. У тебя получается, что в первом случае ответ -3, а во втором 3. Что-то не сходится. Именно, поэтому умные люди решили, что если допустить отрицательное основание, то будет крайне неудобно. Конечно, же такого нет в целой степени. Это можно сказать другая операция

@@veleboks130 в данном случае это не работает. Что-то "умные люди" не учли, наверное.

@@TheSuperFester положим, что ваш ответ верный и что в вещественных числах (-1)^12 определено и равно 1. Запомним этот факт. Дальше исследуем это выражение - оно вещественное, следовательно я могу посмотреть, чему равняется ((-1)^12)^1/4. Если мы знаем, что (-1)^12 = 1, то 1^1/4 = 1. Но мы знаем, что степени обладают свойством умножения показателей. Поэтому, ((-1)^12)^1/4 должно равняться (-1)^3 = -1, получили другой результат операции. Как итог - ваше расширение операции на отрицательные числа приводит к неоднозначному результату, хотя до комплексных чисел возведение в степень - это однозначная операция. Надеюсь, теперь вам будет понятнее, к чему апеллируют люди

ДА, и хорошо что хоть два чела это заметили)))

Так если нет доп ограничений, то ответа 4. Так как без доп ограничений по правилам предполагается невозможность нахождения не положительных чисел по степенью. А вот если было бы ограничения и сказано найти целы числа то тогда корней 6, так как при таких условиях число под степенью может быть отрицательным. Просто есть ограничения которые уже зашиты в математику и без уточнений необходимо следовать им, а вот уточнения могут их убрать.

​@@redlion2753 Нет ограничений "зашитых в математику." Кроме того корни 2, 5 6,7 тоже являются целыми числами. Может и их выбросим?

@@vadimpiscio8514 вы просто не знаете математику. Зачем их выбрасывать если они подходят для для решения в действительных числах. Вы перед тем как писать подобные вещи разберитесь в теме.

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, на основании чего знак модуля ставите?

Я согласна с Никитой Козловым. Надо учесть и частные случаи. Как в жизни

Ваша вставка модуля не равносильна. Действительно, откуда это ему взяться) Выражение x*x-7x+11 действительно не может быть отрицательным, но его значения следует ограничить по ОДЗ: x*x-7x+11 > 0 И корни 3 и 4 как раз не подойдут из-за этого ограничения.

А нет, всё верно. Не разобрался. При x = 3 или x = 4 показатель степени становится четным, поэтому и происходит вынесение с модулем. Конечно вы не совсем верно его подставили, но корни 3 и 4 действительно получаются таким образом. Браво, вы поставили меня в тупик

Фух, я нашёл в чем проблема. При вынесении степени логарифма, мы обязаны удостовериться что (x*x-7x+11)^(x*x-13x+42) является положительным числом. И тут мы снова вернулись к тому же вопросу, можно ли считать (-1)^(2n) допустимым представлением f(x)^g(x). Не ответив на этот вопрос, вы не сможете дальше решить пример. По сути вы просто спрятали этот вопрос внутрь своего примера. Это не является аргументом в защиту корней 3 и 4. Я считаю, что (-1)^(2n) никак не является частью f(x)^g(x), значит сразу же нужно написать это пресловутое ОДЗ на f(x) и оно запретит корни 3 и 4

По условию решить надо в действительном множестве. По определению - основание строго больше нуля. И никаких «а давайте рассмотрим минус один» Если бы в условии было написано, что решить надо на множестве целых чисел, тогда вэлкам, рассматривайте отрицательное основание.

Да, и в советской школе учили по единым советским учебникам, в которых учили рассматривать не все возможные корни, а те, которые удовлетворяют одз

"По условию решить надо в действительном множестве" @@Irina_Gordeeva Числа 3 и 4 действительные. :-))

@@vadimpiscio8514 , если показатель степени действительный, то основание только больше0 Это определение. Все остальное - не математика.

Если показатель, принадлежит к множеству целых чисел (Z), то даже в "школьной математике" основание может быть и меньше 0. А среди действительных чисел встречаются и числа, принадлежащие к множеству целых чисел, к большому огорчению составителей школьных пособий, разумеется.

А то, что основание всегда должна быть положительным

​@@hiler844 Решить уравнения - найти такие х, которые входят в область допустимых значений. А по современной теории, если решать в вещественных числах, основание числа не может быть отрицательным, т.к. при вещественных степенях, не входящих в множество целых чисел, возникают парадоксы и неопределенности. Например, -8^(1/3) = -8^(2/6) -8^1/3 = -2 -8^2/6 = 2 2 = -2 Но на практике вы правы, решение американского канала будет лучше.

@@winavesh7897 "Решить уравнения - найти такие х, которые входят в область допустимых значений." - правильно. Целые числа тоже входят во множество вещественных. => при целых значениях показателя, основание может быть любым.

​@@user-jh2dr9oe2t Вы совершаете одну грубейшую ошибку в решении уравнения. Вы после слов в задаче "Решите уравнение в действительных числах" считаете, что область допустимых значений - вообще любое действительное число в природе. Если бы это было так, то само существование области действительных значений (далее ОДЗ) было бы бессмысленно. Смысл ОДЗ в том, чтобы отсечь некоторую части корней уравнения, при которых уравнение не имеет смысла. Например, в уравнении 1/(x-1) + 1/( x+1)= 4/3 в ОДЗ будут входить все действительные числа, кроме 1 и -1, т.к. при этих значениях x в уравнении происходит деление на ноль, из-за чего возникает неопределенность и уравнение теряет смысл. Теперь переходим к показательным функциям. Если отрицательное число возвести в степень действительного нецелого числа, то мы получаем неопределённость: 1/3 = 2/6 -8^(1/3) = -2 но -8(2/6) = 64(1/6) = 2 2 = -2 Из-за таких неопределённостей, и для того чтобы иметь возможность совершать любые операции с показательными функциями для любого x, из ОДЗ исключают вообще все значения, при которых основание становится отрицательным.

@@winavesh7897 А здесь вещественная степень ВХОДЯЩАЯ во множество целых чисел.

Не нравится функция - можете называть это показательно/степенным уравнением. И оно имеет смысл только при основании > 0, если не указано решить уравнение на множестве целых чисел

дело в том, что обычно в таких задачах подразумевается формулировка "решите в действительных числах", а в действительных числах возведение в степень определено не совсем так как в рациональных или целых. например, кубический корень из (-1) очень хорошо определен - он равен -1. но если мы захотим найти (-1)^(1/3), считая 1/3 действительным числом, мы можем записать, что 1/3=2/6. но тогда (-1)^(2/6) = корень 6 степени из (-1)^2 = 1. получаются разные ответы. поэтому когда мы возводим в общем случае в нецелую степень, основание должно быть строго положительным - тогда проблем не возникает. у Бориса Трушина есть хорошее видео с объяснениемю

@@timurpryadilin8830 А мы можем разделить случаи возведения в целую и дробную степень? Например x^2=4 => x=2 можно написать, а x^1/3=2 => x=8 нельзя.

@@Sunny-ch3cx тогда это уже не будет операцией возведения в степень. если мы возводим в общем случае в действительное число, то целое число 2 ничем не отличается от sqrt2*sqrt2 или 4/2. так что разграничить случаи не получится.

@@timurpryadilin8830 Ясно, спасибо.

@@timurpryadilin8830 Спасибо, теперь стало понятно.

Согласен. Тоже задаюсь этим вопросом!

но тройка и четверка не обращают выражение в верное равенство, ведь при таких значениях x основание отрицательно, а значит степень не определена на множестве действительных чисел

Они не являются корнями с учетом "ущербности" области определения, заданной по 1 варианту решения. Если сразу определить ее границы по варианту 2, они вполне вписываются изначально.

@@user-lv3hh8iu5v спасибо за ответ) я понял логику по которой тройка и четверка деклассированы из множества корней, просто интересно есть ли термин для таких не коренных решений. К слову автор англоязычного ролика называет их всех называет просто "решениями".

@@andreygoldfine тут дилема, равнозначная 0^0=?

Да, не к месту притянуто определение показательной функции.

По умолчанию решения уравнения считается в действительных числах, а значит мы обязаны иметь в виду ограничения.

@@iliyasone Чем вам 3 и 4 не действительные числа?

@@sleepyowl910 в этом и проблема. При x = 3; x = 4 мы получим выражение (-1)^2n, но мы не имеем права возводить отрицательные числа в действительную степень. Числа 3 и 4 не подходят по ОДЗ

@@iliyasone Здесь нет показательной функции, она притянута за уши не к месту, и нет действительной степени -- есть только целая степень, задаваемая параметром.

Не, если сказано решите уравнение, то предполагается множество действительных чисел, а если найдите все корни того и не только действительные.

Побольше "умных" слов бы добавил, а то как-то по-детски

@@olegryazantsev884 , Вы что-то хотели?

Вот оно! Автор тезиса ярко обозначает, что результат определяется в зависимости от подхода : либо мы решаем частное уравнение, либо мы находим ОДЗ функции. Чертовски было приятно, что в нашей дискуссии приняли участие столь уважаемые люди!

@@user-lv3hh8iu5v , my pleasure.

Но ведь в простом выражении (-1)^(12)=1 есть математическая Логика - не так ли? Один из методов решения любого уравнения - МЕТОД ПОДСТАНОВКИ. Я имею право ПРОСТО подставить число вместо Х и проверить верно ли равенство (есть простое и логичное определение решения уравнения) - ИМЕЮ право. Итак подставляю вместо Х ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЧИСЛО 3 и проверяю: Верны ли равенства (и имеют ли они смысл) : 1) (-1)^(12)=1 - ДА. (Замечание - при подстановке: мы не получили (-1)^(Y)=1 или (-1)^(1/3)= -1 !) , 2) двучлен(стоящий в основании и НЕ ВАЖНО ГДЕ ЕЩЕ СТОЯЩИЙ) при х=3 равен ( -1) - ДА , 3) двучлен(стоящий в степени и НЕ ВАЖНО ГДЕ ЕЩЕ СТОЯЩИЙ) при х=3 равен 12 - ДА, 4) МОЖНО ЛИ РЕШАТЬ УРАВНЕНИЕ методом подстановки? - ДА . Вывод: (-1)^(12)=1 - равенство верно - ДА . Вывод Х=3 - решение.

Мне иногда кошмары снятся, что у доски подобные примеры пытаюсь решать

Афтор убедителен, как политрук.

В математике все решают определения. «Я так думаю» не прокатывает.

Ясно , автор закончил 9 классов

@@Sarkicist Скорее не закончил, а прослушал.

Математика не может дать точный ответ, когда нет договоренности по тому, что воспринимать в качестве возведения в степень. Вопрос договорённости очень важен. Какие блин два корня в уравнении (x-1)^2 = 0 Это вопрос очень странной договорённости, считать ли совпадающие корни одним корнем или несколькими. В серьёзных задачах такие вопросы не должны возникать. И уж точно это не показатель ограниченности.

@@iliyasone Когда-то очень давно, годах в 90-х, в школе мы говорили о том, что корней - два (они совпадают), но решение - одно. Судя по всему, эта "договорённость" определялась где-то на уровне мин.образования и действовала на территории Украины. Вполне вероятно, что со внутренней украинской договорённостью могут не согласиться мин.образования других стран. Кстати, этому вопросу всегда уделялось большое значение и нас всегда учили очень внимательно читать условие, что надо найти: корни или решения. Если решение, то записывали так: "Відповідь: 1", а если корни, то: "Відповідь: х1=1, х2=1"

Извини, не посчитаю, но вроде как бесконечность. Корни квадратного уравнения будут не 2 точками, а сплошной линией на плоскости чисел. Поэтому обычно и решают на множистве действительных чисел, поскольку бесконечность разных комплексных чисел, которые не имеют никакого отношения к реальности вне квантовой физики просто... бесполезна.

@@user-xl7ww7ys1t что правда у многочлена 2ой степени над С будет больше 2х корней ... интересная математика. Такая да - наверное мало к чему имеет отношения.

У нас другая функция

Хороший вопрос. Иногда для отрицательного основания a < 0 определяют степень с рациональным показателем, представленным в виде несократимой дроби: aᵐᐟⁿ = aᵘᐟᵛ = ᵛ√aᵘ, m/n = u/v, (u, v) = 1 - тогда мы получим (-1)³ᐟ⁹ = (-1)²ᐟ⁶ = (-1)¹ᐟ³ = ∛(-1) = -1, при этом свойства степеней не выполняются, но сами значения выражений (-1)²ᐟ⁶ и (-1)¹ᐟ³ мы можем определить. На множестве комплексных чисел всё тоже сходится: там множества значений и главные значения для выражений (-1)²ᐟ⁶ и (-1)¹ᐟ³ совпадают. А вот для степени с действительным показателем всё действительно печально. Да и с рациональным, конечно, не всё гладко.

He says that 3 and 4 are NOT roots of equation. Because base of exponential function must be positive

@@Alpac999 The author has a logical error in his reasoning, imo

@@kuzya_rediskin No, he is absolutely right. In Russian tradition we always say about functions on real numbers. Functions has some limitations.

@@Alpac999 All over the world, the solution to an equation is the roots that make it a true equality. But the author claims that Russia has more priority traditions in mathematics. I believe that the author was mistaken both in solving the equation and in his strange vision of Russian mathematics.

@@kuzya_rediskin ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-h7hIt2ekYqA.html

+++

Разве так? Вот взяли мы функцию x^(1/3) и x^(2/6), на положительных числах все нормально, а вот на отрицательных вторая функция уже будет симметрична относительно ох, разве это правильно? По крайней мере в вузовской математике основание степени может быть отрицательным только в случае если показатель степени - целое число.

Если 3 и 4 удовлетворяют уравнению, почему они не могут быть корнями?

@@user-ns4rs4hv1w потому что для определенности существует такое правило, что если показатель степени может принимать нецелые значения, то основание должно быть строго положительным. Иначе по-просту возникнет путаница. Так что единственный сценарий при котором американцы были бы правы это если в условие стояла бы пометка, что при отрицательном основание учитывать только целые значения показателя. Это как деление на ноль, так договорились, что на него делить нельзя, а вот при каноническом уравнение прямой в трехмерном пространстве можно (загуглите если интересно).

@@user-ns4rs4hv1w потому что математика - наука точная, довольная строгая логика. Чего-то серого быть не может. Надо всегда задаваться вопросом, а какие решения (множество) мы ищем. ..это кстати подтверждается, когда при изменении ОДЗ (переход к неравносильному уравнению) мы теряем решения, и если делать все правильно, то должно быть , а не =>

Такому никто не учил. В классическом преподавании можно было найти множество корней, а потом проверить на ОДЗ.

Согласен. Есть определение решения уравнения. Один из методов - МЕТОД ПОДСТАНОВКИ. Я имею право ПРОСТО подставить число вместо Х и проверить верно ли равенство. Итак Верны ли равенства (и имеют ли они смысл) : 1) (-1)^(12)=1 - ДА (Замечание - при подстановке: мы не получили (-1)^(Y)=1 или (-1)^(1/3)= -1 !) , 2) двучлен(стоящий в основании и НЕ ВАЖНО ГДЕ ЕЩЕ СТОЯЩИЙ) при х=3 равен ( -1) - ДА , 3) двучлен(стоящий в степени и НЕ ВАЖНО ГДЕ ЕЩЕ СТОЯЩИЙ) при х=3 равен 12 - ДА, 4) МОЖНО ЛИ РЕШАТЬ УРАВНЕНИЕ методом подстановки? - ДА . Вывод: (-1)^(12)=1 - равенство верно - ДА .

Советую посмотреть это видео ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-h7hIt2ekYqA.html

почитайте про возведению в действительную степень, и почему оно определено только для положительных оснований, в принципе, если относится к показателю, как к целому числу, то ответ подходит, если как к действительному - нет, лучше этот вопрос уточнять

Так ведь показательное уравнение.

Тут вся проблема в области определения показательной функции. В видео с англоязычного канала написано решить в действительных числах. Показательная функция в действительных числах может иметь в основании только строго положительные числа, а -1 таким, очевидно, не является. Корни-то действительные, но при них функция в левой части уравнения не определена.

@@braxxis4520 в принципе, если мы ограничимся, что 2n - число целое четное, а основание -1 так и остаётся, то корни будут входить в условие

Согласен. Американцы решили именно то уравнение, которое написано. Нигде не сказано в условии, что в левой части находится не то, что показательно-степенная, а вообще какая-либо функция, поэтому сведение к "нашему" решению - частный случай. А вот если бы в условии просили решить уравнение f(x)=1, где f(x) - показательно-степенная функция, тогда американское решение было бы неправильным. В корнях 3 и 4 нет ничего незаконного. Нуля в знаменателе нет, отрицательного числа под корнем нет, математических неопределённостей нет.

@@DmitryKrechet если бы в уравнении было четко написано, что х - целое, тогда все совершенно верно. Однако если мы решаем уравнение на поле вещественных чисел (это неплохо вообще определять в условии задачи), то там отличается самая операция возведения в степень. Связано это с особенностями рациональных чисел и замены дробного показателя корнем - если у вас есть выражение (-1)^1/3, то вы с ужасом осознаете, что (1)^1/3 должно быть равно (-1)^(2/6) (потому что сокращение дроби показателя степени дает ту же 1/3). Однако же (-1)^(2/6) = корень 6 степени из (-1)^2, что дает не -1 нам в ответе, а 1 (а изначальная запись давала корень кубический из -1 = -1). Поскольку существует подобное расхождение и противоречие, из рациональных и вещественных степеней отрицательные основания выбрасываются

@@user-zg2pr9ut6q в том-то и дело, что в условии не написано, на каком объекте искать решения. Может, там вообще кольцо вычетов по некоторому модулю. Кстати, раз уж зашла речь о рациональных числах, то следует помнить, что рациональное число - это не дробь. Дробь - это только ПРЕДСТАВЛЕНИЕ рационального числа. А определить рациональные числа можно по-разному. Если мы говорим о рациональном числе как о числе, которое может быть представлено несократимой дробью со взаимно простыми целым числителем и натуральным знаменателем, то операция возведения в рациональную степень отрицательного числа получает однозначное определение. Если же говорить о рациональном числе как о числе, которое может быть представлено какой-то дробью с целым числителем и натуральным знаменателем, то все такие дроби образуют множество дробей, но не множество рациональных чисел, так как 1/3, 2/6, 3/9 и т.д. - разные представления одного и того же числа, а во множестве все элементы уникальны. Возведение рационального числа в рациональную степень - операция на множестве пар вида (рациональное число; рациональное число). Возведение рационального числа в степень, записанную в виде обыкновенной дроби, - операция на множестве пар вида (рациональное число; обыкновенная дробь). Можно и дальше упражняться в общей алгебре, но это уже похоже на софистику.

​@@DmitryKrechet так суть же в тождественном преобразовании. Софистика как раз возникает на этапе, когда числитель и знаменатель показателя степени домножаются на одинаковое число, то есть преобразование тождественное, а результат отличный. Причем из-за свойств четности при умножении для рационального показателя с четным знаменателем дроби вы такой контрпример не подберете - четное на нечетное дает все равно четное. Поэтому софистика кроется как раз здесь - какие-то значения выдерживают подобную проверку на тождественность, какие-то нет, если бы математика рассматривала описанный случай как верный - это и были бы "двойные стандарты". А так - отсекли просто отрицательную часть и проблем больше нет, вот и все

@@user-zg2pr9ut6q а ещё следует учесть, что возведение в степень - бинарная операция. Два аргумента, а результат один. То есть, если мы определили a^(1/3) на множестве рациональных чисел, то уже не можем определить a^(2/6) на том же множестве. И наоборот. А на множестве дробей - можем. То есть, опять же, требуется вводить в условие какие-то ограничения, например, что показатель может быть выражен в виде несократимой дроби. Но в условии нет. Ответ можно засчитывать, если в нём содержится обоснование.

И янкесам, и нам нужен мир. Желательно ВЕСЬ!

Как всегда не поделили какой-то абсурд в виде мнимой 1цы...

Всё, как раз, поделили (прошу прощения за каламбур :) ). Просто, интуиции разные. Всё зависит от того, "видим" ли мы слева функцию или нет. Функциональный подход чрезвычайно удобен, но влечет за собой ряд ограничений.

опять санкции? :(

Дед с батей опять сцепились и всем испортили праздник ...

Мы решаем на облости всех действительных чисел, а значит покозательно-степеная может существовать только когда основание положительное

@@darkzurym8050 Почему тогда рассматриваем отдельно случай, когда основание равно 1? Для показательной функции это тоже не определено. И хоть степень и определена только для положительных оснований, тем не менее, решая уравнение х^2=5, мы пишем х=+/-корень из 5.

Потому что это показательная функция. Основание у показательно функци не может быть отрицательным по определению, если решать в действительных числах

отличий нет, просто автор не хочет связываться с нелинейными функциями и искуственно упрощает себе задачу вводя условие действительности основания. С т. зрения нелинейной математики, которую преподают студентам, автор в корне неправ и "неуд."

К какому множеству у вас относится показатель степени?

@@user-gx2fg2ll1j не важно. Равенство выполняется? Выполняется. Значит это корень.

@@ouTube20 Ну если неважно ... Тогда могу предложить ещё пару корней, например автор не учёл корень x="красный крокодил", x="зелёный треугольник" и многие другие. Как может быть неважно множество к которому принадлежит то что Вы ищете? Как? Что Вы ищите если не знаете из какого это множества?

@@user-gx2fg2ll1j Можете предложить? Предлагайте.

@@ouTube20 Всё предложили за меня. Когда показатель степени действительное число, для устранения неопределённостей, необходимо ограничивать основание степени положительными числами. А следовательно 3 и 4 не корни. (О возникающих неопределённостях в других комментариях, лень 100 раз одно и тоже копировать)

Можно и так посмотреть. Уравнения третьей и четвёртой степеней с действительными коэффициентами решаются аналитически выходом в комплексную плоскость, даже если корни получаются действительными. И это никого не смущает

@@Sapugletsev только там нет возведения в рациональную степень, там именно берутся корни энной степени, а это совсем не то же самое.

@@koleso1v Совершенно верно. Степень с рациональным показателем имеет искусственное ограничение по определению на неотрицательность основания, чтобы сохранялись свойства степени. Корни n-й степени этого "недостатка" не имеют. А аналогия здесь следующая. Уйдя в действительные числа при решении исходного уравнения, мы получаем целочисленные корни уравнения, которые, по определению корня уравнения, после подстановки обращают это уравнение в верное равенство. Если бы мы получили хоть одно иррациональное или даже рациональное (не целое) число, то возникли бы вопросы. Но конкретно здесь мы подставляем целые числа в многочлены, получаем степень с целым основанием и целым показателем - все операции над целыми числами определены. То есть 2 корня автором видео потеряны.

@@koleso1v То есть, грубо говоря, если бы перед нами стояла задача проверить выполнимость равенства единице левой части при подстановке в неё чисел 3 и 4, то сомнений в этом (в том, что да, при подстановке числе 3 и 4 в выражение левой части, она становится равной 1) не возникло бы, я уверен, ни у кого. Для этих сомнений нет никаких оснований. Но ведь это и есть задача проверки корней уравнения (по определению корня уравнения).

Поторопились Вы с лайком ...))) 6 корней - явно же.

@@vladimirlevitskiy6125 смотря в какую степень возводили, целую или действительную. трушин объяснял в недавнем видео

У Трушина есть видео на эту тему из серии В интернете опять кто-то неправ. Называется степень с действительным показателем

@@blezki По сути я и веду разговор о том, что есть смысл рассмотреть все варианты, в том числе вариант с целым показателем (да ещё и положительным, и чётным). Тогда основание имеет право быть отрицательным... В математике вообще много чего зависит от постановки условий задачи. Чисто для примера: Найдите точки пересечения графика функции y=(x²-7x+11)^(x²-13x+42) с прямой y=1. Вот при такой постановке задачи корни 3 и 4 вообще не должны возникать - график функции будет прерываться при негативных значения основания.

Но вот другая задача. Немногим больше десятка учеников 8-го класса участвовали в забеге на длинную дистанцию. На следующей день учитель математики попросил победителей написать об этом мероприятии сочинение, используя математические формулы вместо чисел, чтобы ему было интереснее читать. Ученик, занявший 1-е место, написал что он дал фору и стартовал позади остальных. А его положение относительно старта в десятках метров в момент начала забега можно описать квадратным уравнением (так как именно эту тему они проходили): x²-7x+11= "расположение во время старта относительно начала дистанции в десятках метров". При этом он заметил, что корни этого уравнения являются действительными числами, меньшее из которых равно длинне дистанции в километрах, а большее - числу участников, которых он сумел обогнать на целый круг. Так же, он заметил, что число всех участников забега можно выразить через другое квадратное уравнение: x²-13x+42="колличество участников забега". При этом, один из корней этого уравнения будет совпадать с корнем первого уравнения (равного длинне дистанции в километрах), а второй - равен числу участников забега, бежавших такую длинную дистанцию впервые. В конце своего повествования ученик добавил, что, если его расположение во время старта относительно начала дистанции в десятках метров возвести в степень равную колличеству участников забега, то получится число равное месту, которое он занял в забеге. При этом, заметил, что если решить это уравнение в общем виде, то корни, отличающиеся от тех, что уже указаны раньше, будут указывать по возрастанию на колличество опытных спортсменов, число участников, отставших от него на меньше чем 20 секунд; меньше чем 40 секунд и меньше, чем на 1 минуту соответственно. Учитель посчитал рассказ ученика достаточно интересным, и предложил сделать из него задачу. Решите её и Вы. Ответ укажите в следующем порядке: Сколько учеников принимали участие в таком забеге НЕ впервые? Какова длинна дистанции в километрах? Скольких участников забега победитель сумел обогнать на круг? Сколько учеников отстали от победителя меньше, чем на 20 секунд? Сколько учеников отстали от победителя меньше, чем на 40 секунд? Сколько учеников отстали от победителя меньше, чем на 1 минуту? Сколько метров форы дал своим одноклассникам победитель? Сколько всего учеников приняли участие в забеге?

Нет, так как для действительных чисел основание показательной функции не может быть отрицательным по определению

@@c2h5oh87 как бы может

@@c2h5oh87 вот такие любители духовных правил, ограничений и скреп обрызгивают ракеты водой, теряют реальные корни и ракета накрывается медным тазом...

@@MS__________ какие реальные корни? в таком случае это далеко не все корни) а в действительных числах все

​@@MS__________ ​ ты готов доказать, что степень с отрицательным основанием и рациональным показателем возможна на множестве действительных чисел? не думаю, а раз так, то это всего лишь твои больные фантазии без математического обоснования. Ну или докажи, может нобелевскую премию получишь )

Так в этом-то и проблема , что не ясно для каких чисел. В данном случае для действительных, поэтому корня 4. Если для комплексных, то 6 - не все решения, и автор остальные не находил. Тогда берём определение для действительных чисел и делаем вывод, что все таки 4 корня

@@c2h5oh87 действительных решений всё равно шесть. А если бы было условие "решить в целых числах"? А если это пятиклассник решает? Перебором?

ограничивает, чтоб не вляпался. спасибо

@@user-rz9qd2nw7n волков бояться - в лес не ходить.

@@alekseymudla5374 тогда можно в рамках действ. чисел извлекать корень чётной степени из отрицательных чисел.

Насморк тоже можно лечить примитивно, а можно и правильно и интересно - топором.

@@sophiamoratti579 знаете анекдот про девушку, которая у сосисок кончики отрезала?

Сокращение дроби - это тождественное преобразование. Тождественно меняя показатель, вы ожидаете, что смысл выражения не изменится, а он меняется. И да, учтите, что вещественный показатель включает не только стандартные дроби, но и классические иррациональные числа по типу sqrt(2), pi итд. Вещественная степень просто в принципе по-другому считается, о чем в школе не рассказывают увы, только лишь заостряют внимание на ограничение

@@den18191 Но не сказано, что при решении учитывать определение показательной функции

@@alexanderpushkin3979 уравнения напрямую связаны с функциями. Так ничего другого кроме функций нет

В разобранном уравнении я не вижу функций, вижу последовательность ОПЕРАЦИЙ над числом х и его квадратом. :-)

Единственное, что получит ребенок с таким подходом - неуд на экзамене. И вполне справедливо

Да, но многие, к сожалению, так и не поняли;(

Розовый шум. Только когда говорят на иностранном, обыватель не думает, что этот шум лишён смысла, а когда говорят на языке математики, уверен в этом. "Если я не понимаю, значит это бред".

Да

Интересная точка зрения. Тогда уж *both* "3 и 4 мы имеем право считать корнями" *and* "3 и 4 мы имеем право НЕ считать корнями" - в зависимости от используемого определения степени.

Можно увидеть все 6 корней исходного уравнения f(x)ᵍ⁽ˣ⁾ = 1, если построить график модуля комплекснозначной функции abs(exp(g(x)⋅ln(f(x))) − 1)

🤣👍

3 и 4 -- не православные корни....

@@nobodyisperfect4937 3 и 4 нормальные корни, автор просто позабыл тривиальное решение (-1)^(2k)=1

@@EgorRandomize я ж говорю -- НЕ православные.... ничо он не позабыл, просто эти корни у нас не уважаются....

Определение вещественной степени почитайте

@@user-zg2pr9ut6q вещественные числа бывают рациональными и иррациональными. Рациональные определяются напрямую - через возведение в целые степени и взятие корней. Иррациональные - как предел приближений рациональными. Что не так? Там иррациональный показатель выходит? У отрицательных чисел при возведении в иррациональную степень выходят недействительные значения, предел там расходится на чётных и нечётных значениях, и выходит примерно как при отрицательном дискриминанте у квадратного уравнения, у целых степеней всегда есть одно действительное значение. Upd, Раз уж ты сам начал про определения, то там так. Сначала определяется умножение чисел. Потом через него определяется сначала степени с натуральным показателем. Затем с целым показателем - как обратная величина. Затем взятие корня - как обратная функция от взятия в степень. Затем степень с рациональным показателем - через взятие корней и возведение в целую степень. Затем иррациональные степени - как предел рациональных. А ты сейчас пытаешься поставить всё с ног на голову и определять целый показатель через вещественный, забывая что вещественный определялся через целый по цепочке.

@UC79E4KfVPlzZPuGg1_6SBXA все верно, только в таком случае область значений данной операции не будет являться вещественным полем чисел. Например, для (-1)^0.5 аксиома дедекинда не выполняется. В рациональных числах эта аксиоматика не требуется, в вещественных же нужна

Раз уж ты сам начал про определения, то там так. Сначала определяется умножение чисел. Потом через него определяется сначала степени с натуральным показателем. Затем с целым показателем - как обратная величина. Затем взятие корня - как обратная функция от взятия в степень. Затем степень с рациональным показателем - через взятие корней и возведение в целую степень. Затем иррациональные степени - как предел рациональных. А ты сейчас пытаешься поставить всё с ног на голову и определять целый показатель через вещественный, забывая что вещественный определялся через целый по цепочке.

@@XyxpbI-MyxpbI Ну окей, я не спорю с порядком. Но если мы вводим операцию возведения в степень на R, R мы ожидаем получить и в ответе. В целой степени, пока мы не умели считать дроби, 2^(-1) мы еще считать не умели, поэтому несмотря на то, что в общем виде a^b, a,b є Z -> Q, мы рассматриваем только a^b -> Z. То есть получаем выколотые точки. В рациональной степени a^b, a,b є Q -> R, однако пока мы не знаем, что такое sqrt(2), мы это посчитать не можем. Плюс для отрицательного основания корень не всегда определен, до C не обобщаем и просто выкалываем точки (пока что все ок еще). Главное отличие и целых, и рациональных чисел от вещественных в том, что для них не требуется выполнение аксиомы непрерывности. То есть в общем виде, если мы предполагаем существование операции a^b, a,b є R -> R (хотя в общем виде конечно результат будет лежать уже в C), то мы сами должны понимать, что результаты возведения в степень должны покрывать всю область вещественных чисел И соответствовать любой из аксиом непрерывности. Здесь и лежит коренное отличие - если бы мы применили аксиому дедекинда для любого из предыдущих возведений в степень, она тоже бы не выполнялась, но она и не должна была выполняться в рациональных, целых и натуральных числах. Именно поэтому если мы берем a^b, a є R+, b є R -> R+, такая операция будет соответствовать аксиоме непрерывности

Это не отменяет того факта, что это функция.

@@Mefetran уравнение не обязательно подразумевает функцию, например x^2 + у^2 = 1 это вполне себе уравнение окружности с центром в начале координат, но при этом однозначной зависимости y(x) из него не получить. Вот если бы по условию требовалось найти нули функции f(x)^g(x)-1, тогда бы рассматривалась только ее область определения, а не имея условия и не зная задачи, для решения которой уравнение составлено, я бы не стал отбрасывать случаи с отрицательным основанием и целым показателем.

Гений английского

с целым существует. но нужны все действит корни

А ещё же основание может быть равно 1, тогда оно в любой степени равно 1

@Соколиная Гора спасибо, хоть вы подсказали

@Соколиная Гора 🤷‍♀️ну, так, это ж мой коммент, естественно , что в первую очередь он предназначен мне🤔Если бы вы написали президенту, то ясен пень, хотели бы, что именно он, а не хор Турецкого вам отвечал, так что, как мне кажется, все закономерно...

@Соколиная Гора да, и если вы думали, что я с пеной у рта буду отстаивать "сиськи", то ошибаетесь, не интересно))