Пусть 2019 = n, тогда под корнем : n(n+2)(n+4)(n+6)+16. Перемножаем n с (n+6) (крайние) и (n+2) с (n+4) (середние). Получаем : (n²+6n)(n²+6n+8) + 16. Пусть n²+6n=t, тогда имеем: t(t+8) + 16 -> t²+8t+16 -> (t+4)². Извлекаем корень, получаем |t+4|.Возвращаемся к замене:|n²+6n+4| И опять возвращаемся к замене, что была в самом начале (n=2019). Дальше простая арифметика. Надеюсь, было понятно
Да, мне тоже нравится выражение из уже существующего множителя. Я бы тоже так делала, но не знаю, делала бы замену или нет. Но уже не проверишь, потому что решение уже знаю)
Спасибо за задачу, Валера! Решал чуть по-другому: ни разу не использовал тождество "квадрат суммы/разности", не перемножал "скобки на скобки" и не выносил за скобки "4", но трижды применил тождество "разность квадратов". Да, и среднее значение нашёл сразу же (!), понимая, что "2019, 2021, 2023, 2025" -- четыре последовательно взятые члены арифметической прогрессии. Ответ, разумеется, тот же. Уверен, что Вам понятен ход моего решения, но на всякий случай сообщу, что готов привести подробное решение, если его описание оказалось недостаточно ясным.
А нафига? Ну то есть как-бы... Это же рутинные вычисления, в них ничего интересного, и учитывая насколько хорошо с ними справляется калькулятор они также бесполезные...
На ЕГЭ или олимпиаде калькуляторов не дадут, поэтому Валерий и показывает решение без калькулятора. То, что он использует калькулятор, так это для проверки.
Автору респект. А вот эта задача уже не из серии "давайте разомнем мозги чем-нибудь несуществующим", а реально полезный скилл. Потому что весьма полезно уметь представить число в виде простых для устного счета составляющих. Хотя конечно первоначальные манипуляции с калькулятором изрядно повеселили)))
То как вы решили напомнило мне, как я придумал свою первую формулу. По логике, ПРОСТО ПО ЛОГИКЕ я догадался, что а²=(а-n)(a+n)+n² , А потом понял, что это разность квадратов.
КМК, выносить двойку, чтобы возвести 2022 в квадрат, довольно странно, и так неплохо возводится. Ну и да, заквадратить в столбик будет быстрее, чем использовать формулы сокращенного умножения
На вступительных в 9-ый ФМ класс в СУНЦ в 2021 году была та же задача, но из 4-ёх множителей среднее арифметическое было равно 2021, а прибавлялось на 16, а 36.
Математику и арифметику больше всего требуется фантазия! Это же додуматься до такого надо было, придумать. Ну, чистый полет фантазии! И ведь все правильно!
Все дело именно в том, что советская учебная программа именно учила замечать подобные вещи. Я до сих пор любую задачу начинаю с того, что внимательно "рассматриваю" условия задачи. Почти всегда можно заметить какую-то закономерность. Например, впервые увидев учебник по алгебре за 7-й класс (советский учебник, 76-го года), я сразу обратил внимание на таблицу квадратов на обложке. И через пару часов я мог вычислять в уме квадраты двузначных чисел. Не заучил, а нашел закономерность. Есть 2 последовательных числа: А и В=А+1. Зная квадрат А, квадрат В вычисляется как А^2 + А +В. А спустя некоторое время и доказательство придумал, когда от нечего делать прочел учебник до квадрата суммы :)
@@MiceRus дело не в советской программе. Просто кому-то дано, а кому-то нет. Кто-то сразу видит закономерности и дружит с цифрами, а кто-то нет. Да, тогда лучше учили, объясняли, но что-то не было там каждого второго доктора математических наук
Валерий добрый день. Хочу предложить одну задачу и спросить, можно ли её решить каким-либо другим методом, кроме остатков? Вот задача: Доказать, что 9^2022+7^2022 делится на 10. По методу остатков все очень просто доказывается. А вот есть ли еще какой-либо метод доказательства?
9 в четной степени оканчивается на 1. По 7 будет цикл, то есть 7^(4n+k) оканчивается, когда k=0 : на 1 k=1 : на 7 k=2 : на 9 k=3 : на 3 Отсюда уже понятно, первое число дает 1, второе 9. Значит сумма делится на 10
@@fantom_000 там без цикла. Можно представить как (7^2)^1011=49^1011. Остаток 49 при делении на 10 равен (-1), в нечетной степени так и останется (-1). 9^2022=(9^2)^1011=81^1011. Остаток 81 при делении на 10 равен 1. 1^1011=1. И получается 1+(-1)=1-1=0. Т.к. сумма остатков равна 0, то 9^2022+7^2022 делится на 10. Циклы тут не нужны.
Для начала обратим внимание на "симметрию" чисел 2019,2021,2023,2025 относительно числа 2022: 2019*2025= (2022-3)•(2022+3) = 2022^2-3^2=2022^2-3^2 аналогично 2021*2023 = (2022-1)•(2022+1) =2022^2-1 затем (2022^2-9)(2022^2-1)+16= 2022^4-10•2022^2+9+16= 2022^4-10•2022^2+25 = по формуле квадрата суммы (разности) =(2022^2-5)^2 Извлекаем квадратный корень и получаем результат в виде формулы: 2022^2-5 Чтобы получить численный результат, представляем 2022 в виде 2000+22: (2000+22)^2-5= 2000^2+2•2000•22+22^2-5= 4000000+88000+484-5= =4088479 Это ответ, полученный почти в уме, во всяком случае без помощи калькулятора. Формулу квадрата суммы нужно помнить наизусть и уметь её использовать в обе стороны: (a+b)^2=a^2+2•a•b+b^2 А также помним и используем формулу разности квадратов: a^2-b^2=(a-b)(a+b)
Не знаю, кто там не смог решить., но сразу видна прогрессия, значит надо с ней работать. А корень из суммы подсказывает, что надо пробовать выделение полного корня.
А я придумал простое решение: предположим, что подкоренное выражение это n². Тогда (n - 4)(n + 4) = 2019*2021*2023*2025. Заметим, что 2021*2023-2019*2025=8. Значит, n=4088479
Не смотря на ролик, и особо не утруждаясь в подсчете, предположу ответ: 2^4=4^2... Первая цифра в ответе: 4. Далее: 5*3*1*9+16... Последняя цифра под корнем: 1. Значит, в ответе стоит: либо "1", либо "9"... 10^3*4=10^12. Из под корня получим 10^6... Мой ответ (предположительный): 4000041, либо 4000049... Более вероятен второй вариант... Теперь, пойду смотреть авторское решение. P.S... угадал первую, последнюю цифру, и ранг числа... Итого: полный профан.
