для квадратов в числителе есть интересная закономерность. надо прибавлять нечётные числа к предыдущей сумме, начиная с 21 10х10 это 100. 11х11 это 100 + 21 = 121 12х12 это 121 + 23 = 144 13х13 это 144 + 25 = 169 14х14 это 169 + 27 = 196 и т.д последовательно можно сложить весь числитель, каким бы длинным он ни был
Любопытная задача) Я по складу ума - чистый гуманитарий, по профессии музыкант, и, к сожалению, действительно не в курсе про дискриминанты и правила равенства квадратов, и самая большая проблема для меня была - как устно и просто сосчитать верхнюю строку... Родился следующий вариант: я в уме представил числа в верхней строке, как натуральные квадраты на тетрадном листе в клетку, с гранями, равными указанным числам по количеству клеток (т.е. 10×10, 11×11 и т.д. - всего получилось пять квадратов). Затем из каждого такого "квадрата" я забрал квадрат 10×10 (в сумме - 500 клеток). Далее первый квадрат "израсходован" полностью, от второго остались две "полосы" (к примеру, сбоку и снизу) по 10 клеток + 1 клетка. От третьего - уже четыре полосы (по две полосы по 10 клеток сбоку и снизу) + 4 "лишних" и т.д. Таким образом, "собираем" оставшиеся "полосы" по 10 клеток со всех квадратов - 2+4+6+8=20 "десятков". Их складываем с 500. И остаётся собрать только "лишние" клетки: 1+4+9+16=30. Вот и получили 730 в верхней строке, оперируя только десятками и простыми действиями сложения. Ну а разделить 730 на 365 уже можно догадаться))
Ну, таблицу квадратов мы целенаправленно не заучивали (хотя, так давно это было - может и надо было учить, да было лень и проще было выдать быстрый еще тогда подсчет за выученное), хотя квадраты 10, 11 и 12-ти конечно, вспоминаются и так. Посчитать квадраты 13 и 14 не проблема. А вот при этом проверить мысленно (ничего не записывая) догадку, что 169+196=365 уже потребовало некоторого напряжения памяти, чтобы удержать складываемые числа. Надо бы "поразмять" мозги... Экхм... А что же тут удивило автора видео в отношении возраста адресатов задачи? - Для третьекласников - самое оно... А то, что он демонстрирует на доске - это уже не устно, поскольку он пользуется записью промежуточных подсчетов. Визуализировать в уме одновременно запись из пяти чисел, чтобы выбирать, что с чем складывать - это не такой уж тривиальный навык... Про то, что проверка закономерности в первой части видео делалась не в уме он и сам признал... А ребятишки на картине - вообще сильны: некоторые считают даже не глядя на доску!
Вспомнился момент из фильма "Измеряя мир" про детство Гаусса в школе. Преподаватель задал задачку, сложить числа от 1 до 100 и не отвлекаться, пока не посчитают, чтобы не отвлекать учителя (от похмелья?!😂). Но маленький Гаусс быстро посчитал по придуманной им формуле (1+n)*n/2 Может на картине так же, вот вам задачка на пол дня и пока не решите, меня не трогайте))
Учитель начальной школы предложил в классе всем ученикам, среди которых был и К. Ф. ГАУСС, найти сумму 100 больших чисел некоторой ÷ прогрессии. Вскоре Гаусс получил правильный ответ (>9 млн.) и положил свою тетрадь на стол учителя. Учитель был удивлён таким быстрым решением маленького Карла и даже не заглянул в его тетрадь .
Не "по придуманной им формуле" - он её с потолка взял что ли? - а просто он складывал первое число с последним: 1+100=101, второе с предпоследним 2+99=101, и так далее. Всего таких сумм 50, остаётся умножить 101 на 50 и получить 5050.
@@sqwertyuiop1514 правило, прописанное для произвольного ряда и есть формула. А принцип да, придумал, т.е. взял из головы) в фильме формулой этого принципа подытожили решение Гауссом задачки)
Для тех кто не знает напамять квадраты двух значних чисел и знает формулу квадрата суммы есть другой вариант решения. Все числа от одиннадцати до четырнадцати представить как сумма десяти и простого числа. Раскрыть скобки по формуле квадрата суммы. Можно это сделать и в уме. И задача решается быстрее.
Все три числа складывать не станешь. Как только получишь сумму первых трёх 365 так тут же остановишься, ясно, что получил единичку и плюс к ней сумма двух оставшихся делённая на 365.
Начинать надо с 12^2. тогда имеем (12-a) ^2 и (12+а) ^2 .. решение вот тогда именно в уме: 144*5 + 2*(4+1) = 5*146 = 730. ответ - 2 Писать было дольше, чем в уме считать😢
Что-то не совсем устный счёт :) ЗЫ: считал переводом подквадратных слагаемых в суммы. Т.е. 10² + (10+1)² + (10+2)² + (10+3)² + (10+4)² После раскрытия получается 10²*5 + 10(2+4+6+8) + (1+4+9+16), или 500 + 10*20 + 30 Тоже ни разу не устно, но позволяет обойтись без калькулятора и счёта в столбик.
Регулярно встречаю ролики на тему этого примера и все они становятся всё чудесатее и чудесатее. Авторы наверное забывают, что это - устный счёт, а они выписывают такие формулы, которые не только в уме, но и на бумаге сразу не решить. Всё считается гораздо проще, достаточно вспомнить формулу (a + b)^2 = a^2 +2ab + b^2. Здесь a=10, b меняется от 0 до 4. Таким образом получаем пять сумм 10^2 + 2*10*b + b^2. пять первых членов дают 500. Вторые члены - 20*(1+2+3+4) = 200. Сумма третьих членов - это самое сложное, что требуется посчитать в уме: 1 + 4 + 9 + 16. Но и тут легко группируются 1 + 9 и 4 + 16, в сумме 30. Таким образом, сумма равна 730. Остается разделить её на 365.
В общем виде задачка решается для произвольной последовательности (нечетного числа членов): если N -нечетное количество членов последовательности суммы квадратов вида (X-k)^2... (X-1)^2+X^2 +(X+1)^2+...(X+k)^2 /где k=(N-1)/2/, то формула: N*X^2 + 2* k(k+1)(2k+1)/6 . Аналогично и с кубами: (X-k)^3... (X-1)^3+X^3 +(X+1)^3+...(X+k)^3= N*X^3+ 2* X*(k^2*(k+1)^2)/4
У меня обе бабушки из бедных многодетных семей, родились при Николае 2, обе учились в школе, обе до революции 3 класса окончили, и остальные дети в семье так же. Все умели и читать и считать. Я думаю, большинство так
Это не факт, а то что нам в советской школе когда-то рассказывали. Но вот вам два факта опровергающие эти россказни. Первый - вот эта картина, написанная очевидцем. Имя художника известно, имя учителя - тоже известно, известно где происходит этот урок. Факт второй - рассказ Чехова про Ваню Жукова. Мальчик лет 10-ти примерно пишет огромное письмо домой на деревню дедушке. Это большое, структурированное и логичное сочинение, единственная его ошибка - он адреса не знает. А я в таком же примерно возрасте писал сочинения про то как провел лето максимум на половину тетрадного листа, длиной в пять предложений с грамматическими ошибками. Мало того, что он пишет, он не сомневается, что дедушка сможет его прочесть. И ни один литературный критик того времени не сказал - да ну, это фантастика, не может мальчик из деревни написать такого письма, они все безграмотные. Никого этот рассказ не удивил своей нереальностью. Так что может две трети и не могло читать и писать (я думаю сегодня примерно столько же), но те что умели - делали это гораздо лучше современных школьников.
Какое отношение к устному счету имеют эьи выкладки? Просто надо начинать считать, причем последовательно: 100 да 121 буде 221 да 144 это 365... Ого! Запомним и наснем заново 169 да 196 - опять 365!!! Ответ - 2.
Ну да, автор просто получил лучшее советское образование и не смог в уме доказать факт про суммы квадратов, но есть лучшейшее имперское образование - там в яслях интегралы считали.
А в 18-м веке Пётр I (в фильме, как он Арапа женил)) задал задачку Ванюшке, братику Наташи Ртищевой, невесте : "Летит гусь, за ним пол гуся, за ним четверть гуся, а за ними -- две осьмушки гуся. Сколько летело гусей?")))
@@MrBurarum Высоцкий (в кино -- Арап) Ванюшке и сказал : "А ты не смотри, что гуси частями не летают. Сложи части. Может, что и получится..." По итогу два гуся и вышло.))
Я все числа через 12 представил и сложил попарно первое с пятым, второе с четвертым. (12-2)^2+(12+2)^2+(12-1)^2+(12+1)^2+12^2. При раскрытии скобок удвоенные произведения в сумме дают нули. Соответственно имеем: 12^2+4+12^2+4+12^2+1+12^2+1+12^2=5×(12^2+2)=730
Единственное, чем воспользовался, так это листом и ручкой, давненько не пользовался устным счётом. А вот по поводу картины, то мне кажется, что детям максимум лет 8-10, а не 10-12
Сразу замечаем, что каждый квадрат это 10+Н и 500 выносим, а потом все просто: 4 "остатка" от формулы квадрата суммы: 21+44+69+96 И вряд ли дети накапливали столько промежуточных результатов, видишь ли 21+69 попроще чем 21+44.)) Попроще помнить 500 а потом к нему последовательно прибавляит каждую последующую скобку
Я к сожалению, не помню, но знаю, что на картине изображен известный учитель математики тех времен. И дети, которые использкют методы устного счета, которые сейчас, просто не нужны и забыты. А в реальных училищах дореволюционных времен математика была на уровне институтов, да и физика была подробней и сложней. Сама видела учебники. Но, конечно не во всех учебных заведениях.
Полное название картины: "Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского". Что за школа - найдите сами. Утверждение что такую задачу давали в "школьникам в третьих классах" - глупость. Хотя пример - интересный.
Я сложил 10²+11²+13² в уме 100+121+169=390, И далее 12²+14²=144+196=340. Крулые числа легко в уме держать и складывать. Итого 730/365=2 Ничего не записывал. Устный счёт без бумаги и записей.
Из приведённого решения непонятно, где здесь устный счёт?! Очевидно, должно быть более простое решение. Прикинуть ответ можно просто: числитель примерно равен 5*12^2, знаменатель равен 5*73. Получается 144/73, то есть примерно 2. Дальше просто представляем числитель как сумму квадратов сумм и разностей относительно 12: (12-2)^2+(12-1)^2+12^2+(12+1)^2+(12+2)^2=5*12^2+4+1+1+4=5*(144+2)=5*146. Знаменатель 5*73, то есть получается ровно 2. А складывать трёхзначные числа в уме я отказываюсь!
Здесь задача на складывание в уме трёхзначных чисел путём попарной группировки. А квадраты двузначных чисел до 25 мы учили как таблицу умножения. Именно устный счёт. Может сейчас и таблицу умножения не учат? Не знаю.
Ну я сложил пять сотен и прикинул что 500 меньше чем 2 * 365 А значит либо ответ 2 Либо дробное число Но так как задача для 3его класса То подходит только двойка Логика 😂
Анастасия в 19 веке крестьяне которые учились в школе, больше знали в математике, геометрии, чем сейчас современный ученик 11-го класса... Вот такая деградация...
