Факториально-степенное сравнение ▶ №260 (Блок - интересные задачи) 

Жиза

Гений

Это решается в уме и другим способом.

Тогда это не решение😂😂😂

​@@MrBarthuk да? Ну и как же тогда, если ты такой умный?

Пожалуйста! Рад, что вам понравилось!

Чтобы такое решение зачли, нужно завернуть это в мат. индукцию, увы 😔

Осталось доказать, что это будет продолжаться всегда

Правильно я так тоже делал

Так-то оно так, но решение получается совсем не школьное, а тут - и восьмиклассник может до такого решения дойти.

Формула Стирлинга это асимптотическая оценка, но не точный результат, так что просто так неизвестно насколько близко к приближению находится настоящий результат при фиксированном значении n

Боже, я надеюсь, решение этой задачи формулой Стирлинга - это такая пост-мета-ирония? Прошу, скажите что да

Нет​@@anon_commentator

От такого решения проблемы любой профессор словит инфаркт.

Не нужны такие сложности. Одно из чисел в паре всегда больше 1012, а второе большее или равно 2. Их произведение всегда больше 2024

Хоть 2024 фактуриал или степени не крути, как не крути никто не вернет 2007!

Не всегда в математике работает так)

Да только ты

Способ, показанный в видео, для натуральных n>=2: Что такое число (n!)^2? Для этого нужно вспомнить основное его свойство: n! = n * (n-1)! Возведя обе части уравнения в квадрат, то получим: (n!)^2 = n^2 * ((n-1)!)^2 Если продолжать процесс вплоть до ((n-(n-1))!)^2, то дробь будет такой: n^2 * (n-1)^2 * (n-2)^2 * (n-3)^2 * ... * 9 * 4 * 1. Теперь можно применить способ из видео: 1(n^2)*4(n-1)^2*9(n-2)^2*...*((n/2)-1)^2(n/2)^2 и каждый множитель сравнить с n^2 (для того, чтобы было одинаковое кол-во множителей для удобного сравнения), вот приведу пару примеров: 4(n-1)^2 > n^2 4(n-1)^2 = 4(n^2-n+1) = 4(n^2)-4n+4 3(n^2) - 4n + 4 > 0 9(n-2)^2 > n^2 9(n-2)^2 = 9(n^2-4n+4) = 9(n^2)-36n+36 8(n^2) - 36n + 36 > 0 Таким образом каждый такой множитель (n!)^2 будет больше множителей n^n, тем самым и само число (n!)^2 будет больше n^n. Только есть исключение в числе 2, так как (2!)^2 и 2^2 равны между собой. Ну вроде понятно объяснил

Не нужно заморачиваться. Если мы перейдём к пределу на бесконечности, и возьмём предел их соотношения, то выясним, что факториал возрастает быстрее любой степенной или показательной функции Потому смело можно ставить знак больше

Интересная идея!

Спасибо!

не очень верно говорить что доказанное ранее это аксиома

Если честно, желания нет)))) Извините)))

Мои гуманитарные мозги не поняли ничего

Да, ремонт, переезд, куча дел было))

@@PBVmaths ремонт дело долгое, знакомо 😁

Пардон, видимо забыл про неё)

Показать, что первое произведение больше, можно представив 2024=2*1012 Первый множитель 2024*1=2024, все остальные можно представить в виде m*n, где 2

Это у тебя калькулятор слабенький. Нормальный даёт в (2024!)²=4,17350037E11629... , а в 2024²⁰²⁴=5,889365820E6691... .

Решает, присылайте!

Только в условии не 2024!, внимательнее надо быть

Если что, здесь в каждом действии мы уменьшаем исходное выражение (1*2*3*...*2024), ограничивая все числа после какого-то в произведении (сначала после 1012, потом всё после 4 и до 1012). А дальше идут обычные действия со степенями. В таком доказательстве не нужно делить числа по парам или доказывать ещё какие то факты, чистая арифметика

А еще автор попросил присылать их на почту, если вы слушали)))

Ну это теорема вольстенхольма)

Я доказал это неравенство в основной ветке комментов. И на этот недостаток в решении автора указал. И это не придирка, а необходимость. Да, эти неравенства очевидны с житейской точки зрения. Но если мы докажем это математически - задача будет решена полностью.

"вдруг" не случится. Для натуральных чисел n и k всегда выполняется неравенство n*(n+k) >= (n-1)*(n+1+k)

@@TheAlaft я это понимаю. Поэтому и написал, что это больше придирка, так как этот факт легко доказуем. Но про монотонность выражений в скобках тоже ничего не было сказано

Единомышленник!