【ボヤイの定理】一見むずそうなのにシンプルで美しい証明がヤバすぎた【ゆっくり解説】 

デジタルゲームならワンチャンあるかも。

サラサラになるやん

​@@てんとう虫-p2uこれが砂リスの原型となったのであった

3次元版を考えようと思ったら解決済みか、、残念。 しかも、2次元ではできるのに3次元ではできないとか、めちゃくちゃむずそうな気配😂

もっと詳しく

@@p0kMNyziCA-o5r 図形書かずにこれ以上説明するの難しいですが、↓こんな感じ(組み換えのタイミングで"同じ面積の"っていちいち書くと冗長になるので割愛してます。) 任意の2つの正方形A,Bを考える。 Aの一辺の長さをaとする。 ①step3の逆で、「任意の正方形は、有限回の操作で同じ面積の任意の長方形に組み直せる。」 (証明は、step3を逆向きに辿るだけ) ②①より、正方形Bは有限回の操作で下側の辺の長さがaの長方形に組み直せる。 そのような操作により生成される長方形をB'とする。 ③B'をAの上から結合することにより作成される図形をCとする。 Cは1つの長方形である。(AとB'が、長さaの辺で繋がっただけ) ④step3より、長方形Cは有限回の操作で正方形に組み直せる。

3次元版に拡張できない理由は、「図形の分割」という操作が1次元の操作だからな気がしてきた。(例えば、2次元の図形を分割したときの断面は1次元、3次元の図形を分割したときの断面は2次元となり、ともに次元が1減る。) 2次元の分割を許容すれば、4次元の図形を別の4次元の図形に組み換えられるかも？

ちなみに、2次元の分割(断面の次元が2つ減る分割)は3次元の図形に対して行うと断面が線になる(無限個の線に分割するイメージ)なので、任意の3次元図形に組み替えれるのは当たり前。

一瞬期待しちゃったw

@@ふくろう-y5l それが、有限界の分割と定義されている理由ですね！

無限角形だから有限回の分割じゃ無理ってことになるのかな

∞角形

円積問題って何かわかってる？？

一方イエス=キリストは、パン五つと魚二ひきを分割して5000人の群衆を満腹させた。(マタイによる福音書

それは無限回に分割できる時やな

無限回に分割できればそれはそうなんよ

これで「当たり前」と考えてしまうと、動画中で紹介されてる3次元でこれが成り立たない話がおかしくなるので、全然当たり前ではない

@@ybk1940 あ、ごめんなさい 動画の途中でコメントしていたので2次元の場合でしか考えていませんでした

分割組み換えで不変となるデーン不変量というものを構成しておいて、例えば正四面体と正六面体でデーン不変量を計算すると一致しないことを確認する、というのが証明の方針です。

頂点どうしを結ぶだけで三角形に分割できるかどうかは、自明じゃないかもしれないけど、 辺上の点も使って良いのなら自明だね。

例で出てきたような凹のある図形でも出来るのか気になった

自明だろ

応用数学かなんかで、実際そういうことが考えられてたような気がします(出典出せなくてすみません)

同位角ですね

正方形から同じ面積の円を作図することは不可能。点の集まりだからといって有限回の操作でどんな形にもできるとは限らない。

点の集まりっていうのは無限個の点なわけで、今回は有限回の分割考えてるからな

​@@atbashworld9456作図できないは間違い 定規を使っては作図できないのと、πが無理数なので厳密な同じ面積ではできないだけ。

正方形→円の変換とはまた話が違う それは作図のルールに限定した話だから、今回とはほぼ関係がない

@@atbashworld9456 それちゃんと理解してないだろお前ｗ

二等辺三角形である必要はありません。本質的には『直角三角形を切って繋げれば長方形になる』で、直角三角形以外に対しては垂線で切断した双方に同じ作業をしているだけです。

中点連結定理よりどの三角形でも成り立ちます

僕の書き方が悪かったですね △ABCを、∠A＝1°、∠B＝2°、∠C＝177°とします。 また、辺ABと辺ACの中点をそれぞれM、Nとすると、中点連結定理より、BC//MNです。 ここで、頂点Aから直線BCへの垂線αを下ろします。 この時、辺MMと垂線αは交点を持たないので、動画で言っているような操作が出来ません。 これを解決する手段として、頂点Aから直線MNへの垂線を下ろすのではなく、直線Aと辺MNの中点を結ぶ線分βを考えてあげることによって、明らかに線分MNと線分βは交点を持つため、動画と同様な手段で証明が可能です。 一方で、｢垂線を下ろす｣という事にこだわるとすると、任意の三角形において、上手く中点を2つ選ぶことによって、ある頂点からの垂線と、それ以外の2頂点からなる辺に平行な｢2つの中点を結んだ線分｣が垂直に交わるという事を示す必要があります。 つまり、僕のコメントに最初にレスをくださった方の考え方に寄せると、｢任意の三角形は、2つの直角三角形に分割することが出来る｣という事を示す必要があります。（ほぼ自明ではありますが） ですが、これを考えずに動画のような操作をしてしまうと少しエラーが起こります。 例えば、さっき考えた△ABCでは、辺ACの中点Nと、辺BCの中点Lを結ぶ線分NLと頂点Cから辺ABに下ろした垂線は垂直に交わります。 つまり、垂線と中点同士を結んだ直線が垂直に交わるような 頂点と辺の組がどんな三角形に対しても少なくとも1つあるという事を示さなくてはいけません。 自明と言われればそれまでですが、1番長い辺とそれに対応する頂点を選べば、求めるような状況を作ることができますね。

@@ひよっこ-f2n 鈍角(垂線を下ろすことにこだわるなら直角も含む)を∠Aにするだけで解決します。 垂線と辺NMが交点を持たない問題は、底角の1つが鈍角だった場合にのみ発生するからですね。

正方形が既に有限回数に切り分けられたかどうかは関係ありません。 目的となる多角形を組み替えて正方形にできるのならば、その逆をたどることで正方形から目的の多角形に組み替えることができます。

ふた通りに分割された正方形を重ね合わせて、同じ切り方になるように、それぞれに追加の切れ目を入れればいいんですね。 最小公倍数みたいな感じ。

@@KisukiLine120 説明不足で申し訳ない。上記補足させていただきたい。 自明と言われればそれまでですが、 『有限回数の切り分けA』と『有限回数の切り分けB』の組み合わせによって定義される操作が一つの『有限回数の切り分け』であるということは証明しなくていいのか、ということです。

@@tedestette AもBも回数が有限なのでしたら，その和も当然に有限です。 有限と有限の和により無限が発生することはありません。

​@@tedestette •それぞれm回,n回(m,nは自然数)と表記でき、合計m+n回 •m+nは自然数でありm+n+1未満と有限 ということで。

多角形 定義

@@youdenkisho455 そうか

円は多角形じゃないね

正65537角形以上は円ってことにしていいんじゃなかったっけ？

円積問題って何かわかってる？