【ペアノの公理】1+1=2を厳密に証明します【ゆっくり解説】 

魔理沙「suc(suc(suc(0)))のことだぜ」

これオブこれ。でもなんでそう感じるかはわからない😇

計算になってないからじゃない？ この証明の中では謎の記号を＋、先頭を０、以降１２という記号で定義してるけど、 別に謎の記号を＄、先頭◯、以降△□という記号で定義しても証明に支障はないわけじゃん 最終的に△＄△＝□が証明されるわけだけど、 ここでは数値的な意味は一切無くて記号間の前後関係が決まっているだけであって、 △＄△という表記は□という表記をしても意味は同じですよ、ということを証明しているに過ぎない 最も違和感を感じている部分は、 この＄が加算やオフセットを意味しておらず、 直前の記号と一緒であればsucへの出入りができるものということしか定義されていない点なんじゃないかな ＄に加算の意味付けがなされていない以上、右辺の△＄△、要はこの証明内での「１＋１」は加算を意味していない だから「１＋１という加算の結果が２である」という証明の解説動画だととらえると認識がバグる 長文失礼

・0やsuc(0)や＋は存在しているだけのオブジェクト。つまり定義。 ・性質を定義し、組み合わせたらこのような結果になる。これも定義。 後は「suc(0)＝1」、「suc(suc(0))＝2」に変換する。性質は同じなので「1+1=2」が成り立つ。これが証明。 多分引っかかるのは「何で『suc(0)＝1』なんだ！」とか「『1+1=2』と言う視覚情報の証明でしかないってこと？」って思う事だと思うよ？ まぁそれはまた別の公理の話になるから、興味が有ったら調べてみると良いかもね。

大学数学は定義のオンパレードでマジで憶えることが多い

「同型を除いてただ一つ」に引っ掛かって調べてみたら、ペアノの公理（集合論の言葉を使ったペアノシステムの定義）とペアノ算術PA（等号記号ありの一階述語論理を使って定義された自然数の公理系）は別物で、ペアノ算術の場合は公理系を満たすモデルとして普通の自然数全体Nとは異なる超準モデル（超自然数ありのモデル）がとれるけど、ペアノの公理系（ペアノシステム）の場合はモデルが全部同型になるんですね。 知らんかった。というかペアノの公理系とペアノ算術の違いとか初めて知ったわ。 デデキント「数とは何か」とかああいうので論じられてるのはペアノの公理ってことか（読んでない）。

実際に存在とか、難しい話に持っていく必要無くね？不完全性定理ってのがある事は知ってしまっているんだから。

@@takeocello不完全性定理最近知ってそれ言いたいだけやろ

@@アサイチ-z1c いいえ、違います。何についての知か、それを扱う人には自覚的で無ければならないと先人がハッキリと証明しているのですから、無意味な空論について明確に否定できると言う話をしています。

@@takeocello 横レスですまんが無意味な空論って何のことですか？ それと不完全性定理と何の関係があるの？

小1には100パーセント無理だね。

具体的な算数から、抽象的な数学の順番で学ぶのは、当然その方が発達段階にあっているから。 できるこ、興味あるこが個別にやるならともかく、わざわざ小学校でここまで抽象的なことをしる必要はないと思う。

@@小田原城-r7z 工作用カッターやハサミは何故切れるのとか、釘はなぜ打ち込めるのにネジはそうならないのとかは別で考えればと思う。賢しらぶった子供が言うのだろうけど

まず代数学の勉強をしないとなー

ありがとうございます！ 直接ペアノの公理が使われているわけではないかもですが、そんな使われ方もあるんですね！！ 興味深い情報をありがとうございます(^^)

最後にダジャレもセンスいるのでは………

クサリが一本であることを表しているといわれればそれはそうなのですが、それは数学的帰納法の原理ほかならないですね。 クサリが一本である。という定義だと証明で使い物にならないので、 定義としては数学的帰納法です。

返信ありがとうございます！ はい。数学的帰納法に他なりませんが、それだけでは何が除かれたのか分かりません。 数学的帰納法が使えない集合を例示しないと、「数学的帰納法が使える」と言われても何の制限となったのか分かりません。 4つ目のルールの説明では、しっかりと除かれた構造も提示されました。しかし5つ目のルールについては数学的帰納法と同じとの説明だけでした。これでは、言葉を変えただけではないでしょうか。 除かれた構造の提示をした方が良いと思い、クサリの例を出しました。 理解のための説明であり、証明問題でどう記載するかの話はしていません。数学的帰納法の説明でドミノの話が有名であるのと同様に例え話です。

@@林A-w3r 失礼しました。 理解の例の話だったんですね。 返信を頂き見返したらそう思いました。 なんでこんな返信をしてしまったのか全く思い出せませんが、おそらく 帰納法を改めて書いているだけではないと思います。 の　だけではない　というところに引っかかりを感じたのだと思います。

すぐに返信をいただきありがとうございます！ ディスカッションが好きなので返信を頂けて嬉しいです。 初めのコメントは言葉不足でした。長々と書くより目に留まることを優先してしまい、引っかりを残してしまいました。 お付き合いいただきありがとうございます。

動画の説明だとルールを知っている前提になるけどそもそも皆が皆、ルールを知っている訳じゃないからもっと単純な説明でいいような気もする

自然数の集合を定めるのがペアノの公理だから、たぶん順番逆

⁠@@小田原城-r7z ペアノの公理から数学やってる人いるの？大多数がZF公理系使ってると思うんだけど。

@@crafter3587 不必要に抽象化したところ悪いけど、現代数学において自然数はペアノの公理で定義されるはず。他の公理をもってくる必要が皆無だと思うのだけど。 それに数学やってる大半の人間は中高大学生でしょ。中高生なんて公理がかなり曖昧だし、そのなかでも作図や計算はユークリッド幾何やペアノの公理で十分なところも多い。 何をもってＺF公理系を使う人間が大多数だと断じるの？

⁠@@小田原城-r7z 大多数ってのは言葉が悪かった。ごめんなさい🙇‍♂️勝手に大学以降を想定してた。 ただペアノの公理を満たす数学的対象をZFで作らないと自然数の集合を考える時に困るとは思う。 あと公理はできるだけ少ない方が良いしね。

その部分(実在の物に自然数を当てはめる行為)は実は数学で扱える部分じゃない。数学は科学と違って演繹法の体系なので、「現実の物がどうなってるか」みたいなことは関係無く言葉の上の論理だけで構築されてる。 だから、我々が物体の独立性に着目して「1個」、「2個」っていう概念を当てはめてるに過ぎない。そして、実際に「合計する」という行為は数学の上で足し算とされているものとよく似た性質を持つから、「りんご1個とりんご1個で合計するとりんご2個」という現実を「1+1=2」という数学上の概念と対応させる事が正当化されているし、実際に有用だから使われている。

なるほど「経験則的に有益であるから、数学的な抽象概念と実在する事物との間にそのような対応関係を作り、諸科学その他の諸問題の考察に数学を利用してる」という事ですね？！ 非常に分かり易いご説明で感謝します。数学や科学哲学の方のお話もよくよくお聞きしないとダメですね？！ 私はこの行為には人間の認識能力が深く関わっていると思うのです？！ 例えば、我々が視覚を持って認識する「物質はある領域を占めるという性質」と、記憶力を持って認識する「物質が変化する」という性質を、 数学上の抽象空間である３次元実数空間と１次元実数空間、合わせて４次元実数空間に対応させることで（位相同型写像による）、脳内に４次元時空間なる抽象空間を構築し、数学的な解析を可能にするというような、この部分は私は人類が自然界を抽象的に捉える（つまりアバウトに捉える能力）に依拠した行為であろうと思います？！ 人類が獲得した言語とその運用規則（数学も含む）と人類の認識能力にかかる世界の像（それぞれの観測者に対して現象して来る世界の像）、これらによって構築された壮大な抽象世界が人類知性の総体なのだろうな？と思います。 （やや意味不かもですが、例の相対論的世界観では「実在はモヤッとしていて不定であり、観測者の状況によって姿形が１つ定まる」なので、これは量子論にも同じような実験的事実があり、人間が考える意味での厳密な世界の像つまり古代より人間が想定してきたような実在という概念は厳密には意味を成さず、従って人類が築き上げた知の世界像も今後に大きく変化して行くような気がします？物理が良い例だと思います。数学は人間言語の構造とその可能性そのものなので、ここは永久不変のユートピア的な体系ゆえ羨ましい限りだと思います） 物理学やその他の諸科学が、数学という言語を使って自然界を近似しようという試み、これも人類の「認識能力」の性質に依拠している事は明らかですよね？！ ですから観測技術などの進化により人類の認識能力に変化が生じると、物理学や諸科学の体系は揺らぐ可能性があるので、ここは永久にユートピアには到達しえない宿命かな？と。

人類の脳構造などが大幅に進化し、もはや人類と呼べなくなりそうなほどの領域まで辿り着いたら、数学と認識能力が乖離して数学以外の何かが観測の道具になる日が来るかもしれませんよ

理解力が乏しいので、間違ってたらごめんなさい。 ユートピアの定義が「ありとあらゆる事象が説明できること＝例外が無い理路整然とした世界」とするのであれば、 「ユートピアを証明するために背理法として例外を提示する」で矛盾が生じると考えます。 また最後の一文「人類の認識能力に変化が生じると、諸科学の体系は揺らぐ可能性があるので、ここは永久にユートピアには到達しえない宿命」は そのまま「アキレスと亀」のパラドクスに当てはまると思うので、興味があれば解説を見ることをオススメしますね。 まとめると、「数学はユートピアになり得ないが、自然科学は頑張ればユートピアになり得る」かなと思ってます。 自分の想像と真逆ではありますが、これも科学の面白さと言うことで。

もう少し厳密に言うと、「＋ｘ」が「『次の数』をｘ回適用する」と一致することを示した上で、ｘに１を代入する、ですかね。

おっしゃる通りだと思います

12:10 から公理に則った証明をしていますよ。

「証明」とは「仮定から結論を導く」ことで、公理が仮定だ、といえばまあそうですが、1+1＝2の「1」や「2」がペアノの公理で初めて定義される何か（もっとちゃんと言うと、公理の無矛盾性を示すモデル？）であるという仮定のもとでの話と言わないと、「問題文の記号を勝手に再定義している」と言われてしまう。

@@山崎洋一-j8c 1+1=2の証明とは、1+1が1の次の2になることの証明と考えると、ペアノの公理に従う⇒証明終了、という考えですね。 ただ、確かに1+1=2の定義に見えなくもないので難しいところですね。suc(0)を1、suc(1)を2と定義する、とかに見えるのは確かです。言われてみればなかなかややこしいですね。

数学初心者なのですが、このコメントで自分が間違ってないと安心しました。

いわゆる「2」のことを「3」って呼ぶなら「1+1=3」になるかという話ならyes、ただ、わざわざそんなややこしい事をする必要はないので、普通「2」のことは「2」って呼ぶ。

ゲーデルの不完全性定理によりペアノの公理が無矛盾ならばその公理自体で無矛盾性を証明できないことが証明されています

君はまず定義の意味を調べた方がいい

@@vqlse631 概念を限定して明瞭に確定する、みたいなことだろ。それは分かってて言ってる。だから【世界】なんて単語使ってるんだよ～。あ、この世界ってのは世界各国って意味じゃないからね

@@pennywise-IT そう、定義は概念を"限定"すること つまりこの世界で使われている1+1=2という式はこの世界の概念で"限定"されたもの 君の言う【世界】にこの世界の1+1=2を持ち込むことは出来ないんだよ まだ反論があるなら次は限定の意味を調べてからにしてね

@@vqlse631 あ、ごめん、説明不足だったね。私が書いた世界って単語はこの世界って事じゃなくて違う世界(パラレルワールドとか)の事を言いたかったんだ。誰も観測していない以上、なんにも分からないし断定も出来ないでしょ？

11:23 は定義の妥当性の検証だから大丈夫

5つ目がないと複数のクサリがある場合があるのか。 『③いかなる自然数の後者でもない自然数は0のみ』 ではダメなのかな。

ダメです。 一つの半直線のように続く列と円のような列とのセットのような、集合と写像のペアが認められてしまいます。

1+1を加法の定義に従ってsuc(1)に変形していく過程に関しては証明ですよ。 いきなりsucが出てきてもわからないですし、加法の定義による変形も、丁寧に補足をしているだけです。 ペアノの公理は 自然数はこのような定義にになっている という説明をしているに過ぎません。 証明に当たるのはその後の話ですね。 ですが、おっしゃるとおりこの証明が意味あるかは人によるでしょうね。

哲学的には　1+1=1+1 が正しい。 1+1=2 は理論の飛躍がある。しかし、理論の飛躍があってこそ数学が実用できる。 どんな学問にも共通だが、理論の飛躍(証明してないけど定義してる)がなければ実用できない。 詳しくは「不完全性定理」を読んでね、数学廃人になったらゴメン。

付け加えるなら、証明なら定理となるはず、でもタイトルに公理ってそもそも書いてるでしょ 公理は理屈抜きにそういうルールにしました。って意味だからね

1+1は自然数の定義と加法の定義から変形できます。 1+1=1+suc(0)=suc(1+0) =suc(1)=2 この部分が証明です。 いきなり変形しても定義がわからないと意味がわからないで、この証明の土台を作るためにペアノの公理で自然数を定義し、加法を定義します。 ペアノの公理の部分に関しては私達が使っている自然数はこう言う定義でしたよねっていう確認作業です。 実際にはこんなにこまかく定義して使っていなかったけど、なんとなくじゃ議論できないからなんとか定義しようと考案されたのがペアノの公理です。

加法に関しても当たり前過ぎて気が付きくく再定義したように感じてしまうかもしれませんが、今まで使っていた加法はこのような定義だったよねっていう確認だと思えば証明に納得できるかと思います。どこまでの知識を前提とするかにもよりますが、1+1は2だから2だよねっていうのは加法の定義から導いないので感覚でしかありません。 なので上記の変形をして証明をします。 自然数を知らない前提にしないとペアノの公理が理解しにくいけど、知らない前提にしてしまうと再定義したように聞こえるというところが難所かもしれませんね。

発音するなら「サクセス　ゼロ」とするのが正しいと思う。 例：三角関数cosは筆記では「cos」だけだが、口語で発音する時は「コサイン」

@@dohotan1740 私の周りではサックで言う人が多い気がします。 正しいといえばそうかもしれませんが、数学的に真偽をつけるものでもないので結局のところ多くの人が使っている言い方がいいと思います。 それでいうとlogをロガリズムって言う人1人しか見たことないですし…。

じゃあまずは小数の定義から始めようか

@@柿ピー-s4c おー、そこからになるのか。なるほど。 すると、 「ここでは『自然数』というものしか現状定義していないから、我々が一般的に知る『小数』とか『分数』とか『無理数』とかは定義されていないため、ないものとして話をすすめている」 という解釈で合ってますか？

別にペアノの公理を満たす集合は自然数の集合とは限らんから 例えばsuc(0)=0.1とか決めれば小数も含む集合は作れる ただそれに何の意味があるかと言われれば

小数を含んでしまうと後者の数が定義できなくなるとか？（後者の候補が無限にあるので） 小数第何位まで、で区切ればできるけど、それは本質的に自然数と同じ？

小数を定義するのに自然数が必要なので、自然数の定義を変えると小数の定義も変わってしまうって考え方を自分はしてますね。 例えば、「1m、2m、3m…」を自然数と定義したとすると、「0.01m、0.02m、0.03m…」(=「1cm、2cm、3cm…」)は小数になります。でも、単位が違うだけなので「1cm、2cm、3cm…」を自然数と思っても問題はないはずです。その場合は「0.01cm、0.02cm、0.03cm…」が小数になります。 つまり、mの数の体系とcmの数の体系が別々にできるので、「mの数の体系では小数じゃん」と言われても、cmの数の体系では小数ではないので問題になりません。単位違うのに比較するなってことです。

sucが単射ではなかったり、Nに帰納法の原理がなかったらそもそも1+nが一意じゃない場合が出てきます。ですのでsucがどのような条件を満たすのかはとても重要です。

加法の定義でn+1=suc(n)ではなくて n+0=nとすることに関しておっしゃっているのであれば、同値だと思いますので本質的な違いはないはずです。

2つの集合の数や要素を1つずつ対応させていくって考えとけばとりあえず大丈夫だよ

@@Ipputasaiseittearidesuka 申し訳ない。 これはひろゆき氏の有名なネタです。 主に写像と言う言葉が使用されたものについて｢シャゾー？シャゾーってなんすか？｣と、言います。 主な返しはその後に勝間和代が言った｢ダメだこりゃw｣が一般的です。

場合分けの可能性？詳しいことを知らないからわからないな

ゆっくりに読ませるのに必要だったんじゃない？図の中だと間違えてないし

@@Ipputasaiseittearidesuka それがね…… 中盤以降、図の中でもちょいちょい間違えてるんだわ……

@@池田-i8h それも気がついたけど、最初は図中の式とかも発音させてたけど、動画作り終わってみると時間が長すぎたからそこら辺全部消して、結局直し忘れてたのかなと。入力で間違えてないところもあるから、わざわざsacに間違える理由が思い当たらない…

​@@Ipputasaiseittearidesuka どっかから証明は引用してる訳だよね 自分の予想は、 「主は基本的にはsacだと思っていて、読んでスライドに移す時に ①見た字面ごと(もしくはコピペして)写した→suc ②読んで解釈して自分で書いた→sac」 だと思ってます

それ1÷2じゃない？

枚数に置き換えてるのがミソなのかw