[Eng Sub] Reordering from 0 to ∞ | Riemann Rearrangement Theorem 

∞-∞=不定であることがよくわかる定理ですね

無限級数＝無限回の足し算と捉えると違和感あるけれど、実際には無限級数＝部分和の極限であるということからこういった現象が起きるんでしょうね Σの中にある数列の形が変われば部分和も変わりますから

この世界の裏では光の勢力と闇の勢力がそれぞれ無限の力を持っていて、その均衡が崩れると大変なことになる（中二）

当たり前だけど、コンピューターに計算させたらちゃんと結果がln2と1/2ln2に割と早い段階で収束してて、無限の面白さを感じた。

12:40 PID制御の図みたいで好き

2-1-1+2-1-1+2-1-1+..... と 2-1+2-1+2-1+2-1+..... は+2と-1でそれぞれ１対１対応がつけられるけど極限は全然ちがう、みたいなことか。意外と直感的に当たり前のことなのかもしれない。

めちゃくちゃ面白いっすね。 高校数学好きな子にこういう話を教えてあげたい。

ある項を並べ替えるときに無限に後ろにずらしていいから、こんな奇妙な結果になるっぽいなぁ～ anとamを入れ替えるときに、m-n < M にする感じで項間の隔たりに制限を加えたら、並べ替えても結果は常に一緒になるんじゃないかな？だれか証明してるのかなこれ

区間(0,1)で定義された実数値関数f(x)で、「どんなに小さい部分区間においても、その区間で0と1の間のすべての値をとる」ような関数が存在する。その例として、各x∈(0,1)に対し、xの二進小数表現（ただし2通りの表現ができる場合は、0が無限個出てくる方をとる）の、小数点以下n桁目までに出てくる1の個数をnで割った値の、n→∞のときの極限値（ただし極限がない場合は上極限で代用）」をf(x)とすればよい、と本に書いてあったのですが、証明が書いてなかったので、自分で証明を考えたことがあります。そのとき、この「再配列定理」と同じ理屈を使いました。

無限-無限はどんな値にもなりうるってことかな？

正の実数の列で無限積を考えると、その部分積について、 ∏[k=1→n](aₖ)＝exp(∑[k=1→n](log(aₖ))) が成り立つうえ、log(aₖ)のとりうる値の範囲は実数全体になるから、これはそのままあらゆる実数列の無限和の結果をeの指数関数に入力することに帰着できる。 あとは同じように∑[n=1→∞](log(aₙ))が条件収束するケースを考えてやれば、無限積も再配列によって収束先を操作できることが分かる（ただしこの場合の操作範囲は任意の正の実数と0と∞）。

Thank you, very informative video

Loved the proof of Riemann Rearrangement theorem! Keep up these excellent videos!

As a topic for a lesson, it would be interesting to see how sums invariant of rearranging and absolutely convergent sums don't coincide in infinite-dimensional Banach spaces

an±の和が発散するからどこのamから始めてもamからam+Mの和が任意のXを超えるようなMを取れるのと、 逆にan自体は収束するから十分大きなところでは微調整がいくらでも効くという感じなのね おもしろーい

Just a note: reordering only a finite number of terms preserves the limit. I'll provide a rigorous proof. Let sum(an)=c, let the partial sums of (an) be called (pn), and let (bn) be the sequence (an)with a finite number of reordered terms and partial sums called (qn). That is, there are a finite number of indices where (an) doesn't equal (bn). Thus there is a maximum index k-1 where (an) and (bn) differ, so an=bn for all n>=k. Since finite sums stay the same after reordering, and the set of the first k terms of both sequences are the same, the sum of the first k terms of (an) equals the sum of the first k terms of (bn). So, pk=qk and, by induction, qN=q(N-1)+bN=p(N-1)+a(N-1)=pN for all N>k too. It should be obvious from here, but I always enjoy showing the limit definition. Since sum(an) converges to c, we have that (pn) converges c. By the limit definition, this is equivalent to saying that for all r>0 there exists an index h such that |pn-c|=h. Of course, max(k,h) is greater than or equal to both h and k, so |pn-c|=max(k,h). That is, |qn-c|max(k,h). Since such an h exists for each r>0, (qn) converges to c by the limit definition and sum(bn)=c.

いつか必ず返す、と言う奴になら、いくら金を貸しても損をしない、ってことになるな。

素敵な動画有難うございます。 一方、絶対級数はの方は、並べ替え関係なくいつも同じ値に収束する。これは解析学の基礎となっています。

「並べ替え」の定義がこれなら確かにこの結果になるのは分かります。 定義に対する結果には問題ないけど、そもそもその定義を「並べ替え」と呼ぶ事が直感に反する結果を生む原因だと思います。

これって数列を等間隔のブロックに分けてそのブロック内で入れ替える分には収束値は変わらないよね？ 等間隔ですらなくてもいいか。

なんかズルくね？ プラスとマイナスが交互に現れるものを用意します。 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1…… 並び替えて、プラスだけとマイナスだけで計算しようとします。 1+1+1+………… -1-1-1-………… でもプラスの計算は無限なのでマイナスのターンはきません。つまりプラス無限に発散します。みたいな？

順番を入れ替えたことで本質的に違う式になっている、という認識なのですが合ってますか？ 例えば冒頭の交代調和級数は入れ替えが生じたことによって、有限個の項では式の同値性が確認できなくなっていきます。 Σanを入れ替えてΣbnが生じる(一般項がaからbになった)という書き方もそれを表していると思います。 「足し算の順番を入れ替えると結果が変わるかもしれない、無限の場合は」というより 「項を入れ替えた風に見せて違う式を作ることができるかもよ、そう無限ならね」という風に思いますがいかがでしょうか？ また、これは現実世界にどれだけ適応できるのでしょうか？ 例えば解析接続でよく見る「1+2+3+4+5+...=-1/12」は量子力学の世界において価値がありますが、同じ無限の足し算として何かに使えたりするのでしょうか？

納得できない！「有限回の和算ではマイナスの項を後回しにしても、最後に全部返済することになる」「無限級数ではマイナスの項を後回しにしても、和算は無限回行えるので返済の必要はなくマイナスの項を自由に踏み倒せるため収束する値は無限に大きくできる」という話なのだろうけど、本当に全く感覚的に納得できない😭

なんかすごいな…w

図形の描写に使えますかね？

According to results I found on the Internet, the sum of alternating harmonic series is ln(2), but it is said to be log(2) here, Which one is correct?

これって選択公理なしでも証明できるのだ…？

😮

自民党の裏金問題も円安問題もこれで解決できるのでは？

結果的に級数の収束性を確定するにはやりコーシーの収束条件にしか頼れませんね