【格子点問題】数学的に厳密に確率は0なんです【ゆっくり解説】 

測度論を勉強した事ない人に一番押さえておいてほしいのは、「Aとなる事が確実に有る」と「Aとなる（普通の）確率が０になる」は別に矛盾しないという事。

ランダムなy=ax+bの直線ならそうだけど、y=axなら必ず原点を通るので格子点を通る確率は100％というひっかけ問題かと思った。

コメントを見ると、引っかかっている人が非常に多い。数論で言えば正しい日本語は「確率は限りなく０に近い」であって、「確率が０」ではない。数学で「確率が０」と言い切れる前提条件は、動画の終盤に出てくる、無限集合を扱う「集合論」の話。このチャンネルは時々、論理の前提条件をつまみ食いした日本語のレトリックを使ってくるので、数学の素人さんが視聴するときは注意が必要だ。

他の人からもツッコミ入りそうですが……（無理数の濃度を「アレフ・ワン」と言ってしまうことの是非（連続体問題）はおいとくとして）「確率」の話にするなら、それは濃度ではなく測度で考える必要があります。たとえば、数直線上の[0,1]区間に、実数と同じ非可算濃度で、しかも測度が0である部分集合が作れます（カントールの3進集合など）。よって[0,1]から実数をランダムに選ぶとき、カントール集合の要素を選ぶ“確率”は0ということになります。このように測度と濃度は異なりますが、可算集合は測度も0になるので、[0,1]から有理数を選ぶ確率なら、0だと言えます。しかし、「直線の傾き」は任意の実数値をとりうるので、実数全体Rを全体集合にとる必要があります。これだと全測度が∞のため1に規格化できず、確率を定義できません。

極めて薄いアルコールは0%表示出来るんだよな

この「厳密に」は数学的意味だからね 日本語で捉えると「絶対に」的なニュアンス含むから違和感あるだろうけど「公平なルールに則ると」くらいで理解してもらえるといいかも

無限に桁数のあるストップウォッチで ピッタリ10秒で止めるのは不可能 っていうのと似てるかな (数学ガチ勢に怒られそう)

騙されないぞ、原点を通っているから格子点を通る確率は1だ！

ひっかけ問題で、原点は格子点の一つだから、原点を通る直線を通る確率は100％というのを一瞬疑った。

適当に3cmぐらいの線を引いたときに3.000000000…cmになる可能性は0ってことでも同じ？

この手の数学紹介チャンネルでありがちだけど、数学苦手な人にもわかりやすい動画なんだけど結局視聴者って数学かなりできる人ばっかなんよねw(コメ欄見てる感じ)

少々調べましたが確率＝（期待している場合の数）/(全ての場合の数)とした”古典的な”確率論の話だと思ったのが私の誤りの源だったみたいですね。可算・非可算の概念を扱うなら測度論で発展した現代的な確率論で求めることになると……

大きい無限と小さい無限は、連続的な無限と離散的な無限と言いかえることもできそうですな。

ド文系で楽しむには難しいよさすがに

傾きが無理数な場合、格子点を通った時点で無理数ではないからその直線は絶対に格子点を通らない。 そして、無理数自体も無限にあるから、確率は限りなく0に近い。 こんな考え方で大体合ってるかな？

6:34 これはy=√2x のグラフに見えます。

小難しい話（整数と有理数が同じ数とか）をしても、感覚的にそんなわけないじゃん。としかならない。 とある傾きの直線が横方向になるようにグラフを傾けて、そのまま縦方向にスライドさせる。 初期位置は原点を通る、ある程度移動したら最初の格子点を必ず通る。 その格子点と原点の間には無限の平行線を引くことができる。 その格子点と次の格子点との間でも同様である。 １つの格子点を通る線を探すまでに無限の格子点を通らない線ができるので、格子点を通る可能性は無限大分の１であり、ほぼゼロに等しい。 と言えば直感的に理解できると思う。

そもそも直線y=ax(a∈R)は原点を通るので、傾きをランダムに選んだ時、これが格子点を通る確率は1である。ただし、傾きaをランダムに選ぶとは、一様分布U(-π/2,π/2]からθをとってきてa:=tanθ(θ∈(-π/2,π/2)),a:=∞(θ=π/2)とおくこととする。

※原点は格子点ではないとする？？ あと、別に濃度とか測度を知らないド文系でも、なんかこの説明おかしくね？誤魔化されてね？ってならないの？ ニワカ数学知識でドヤるド文系を放っておけない理系が黙っちゃいられんだろ。 と思ったら案の定ツッコミ入ってて草 安心した。

7:34 原点って格子点に含まないの？

めっちゃ面白くて丁寧な動画だった、無理数の個数は数えられないにしても∞^2みたいな果てしない数のイメージでいいのかな、それと無理数の個数みたいな非可算無限より大きい無限って存在するのん？

編集お疲れ様です！

正確に言うなら カーテシアン座標系において直線y=ax+bのaとbにおいて任意の実数を代入したものに（x,y）が1組以上整数になる物がない関数の方が圧倒的に多い（ほぼ全ての組合わせで無理）ので確率が0です

このコメ欄で頭がよくなった気がするわ。みんなありがとーー！！！

う~んy=xのように格子点を通る線があるから確率は0ではない...という話ではないのね ランダムの値が無限にあるから確率は限りなく小さく(0に近く)なるという理解でいいのかなぁ

世の中にピッタリな数は0しかないって聞いたことあるけど、こう説明すればいいのか...

要は無理数は何倍しても整数にならないって事をすげえ回りくどく言ってるだけ？

解説聞くと納得できるけど、直感的には通りそうに思えちゃうし他人に説明しろって言われても無理。 座標平面は無限に続いていて。書かれる直線は線は無限の傾きを取れて、その点が無限にある格子点を通ることはない。 この文章があってるってことですよね？頭がパンクする💦

ディリクレ関数を積分すると0みたいな感じで、そんなわけないやろ、みたいな典型

1=0.999999... が成り立つとする 両辺から右辺と同じ値を引いて 0.000...=0 つまり0です

自然数と整数の個数の話、1対1対応の言いたいことはわかるんだけど、 数学を中途半端にしか学んでないせいか 　lim n/(2n+1) = ∞/∞ = 1 n->∞ って言われてるようにしか感じられなくて違和感すごいんだよなぁ

このチャンネル、ホント好きだわ

ランダムに抽選をします！！って「１」と書かれた紙が渡されて、抽選結果に「1.0186…」とかが出てくる感じ。 理解は出来るがそれを現実で許してはならない。

0.999…＝1 ってのが超嫌いな俺にとってはこれもアレルギーでちゃうわ

数学的には確率が０でも、実際にやってみると格子点を通る直線は存在できる ０とはいったい...

アレフの議論が雑な気がします。そのせいで結論が破綻しているのかと。雑で良いのと雑だとダメなのがあるから。

困った時の背理法！

「ランダムに直線を引く作業を無限回繰り返した時に少なくとも一本は格子点を通る直線を引ける確率」は100%になりますか？ なるならタイトルの確率は０%にはならないですよね？

原点を通る直線が 有理点( a／b , m／n )を通るとすると 格子点( an , bm )も通るので 格子点を通る直線たちの全体と有理点を通る直線たちの全体は一致する！ したがって『 この動画の結果より』平面上に 稠密 に ( 簡単に言えば どんなに狭い面積の範囲を取っても無数に)存在しているはずの有理点を通る直線になる確率も ゼロ‼️ w(゜o゜)w

6:33 これ傾き√2じゃないですか？

任意の有理数間には、すべての有理数よりも多くの無理数が含まれる。動画では「0と1の間」と言っているが、これはどれだけ狭くてもいい。 「0と0.01の間」にも、すべての有理数よりも多くの無理数が含まれる。 「0と0.00001の間」にも、すべての有理数よりも多くの無理数が含まれる。 「0と0.00…0がグラハム数個続く…1の間」にも、すべての有理数よりも多くの無理数が含まれる。 稠密性恐るべし。

16:07対角線論法がわからない…0から1まで全ての数を無限小数で表したら、新しく作った無限小数もどこかしらに一致していると思うんだけど😕

高校数学とは違った世界なので理不尽さがあるんだよな。

つまり数直線上の無作為に選んだ点が有理数である確率は0ですか

このチャンネルのコミュニティで「座標上にランダムに直線を引いても格子点を通る確率は0って知ってた？」というアンケートがなされていた。原点を通るとは限らない場合であるが、これについては以下のように考えた。 R2上に直線を引くというのは、 R2の異なる2点を選ぶことと同じであるが、そもそもR2の1点をランダムに選ぶことはできない。実際、R2の1点を選ぶということはRから1点をランダムに選ぶことを2回繰り返すことだが、これは不可能であると考えられる。 (理由)確率変数X:R→Rが"ランダム"に選ばれると仮定する。F(x):=P(X≦x)とおくと、これはx∈Rを1つ固定した時に、選ばれた数Xがx以下である確率を与える。今、ある関数fが存在して F(x)=∫[-∞,x]f(t)dt とかける。これは全事象の確率が1になるという確率の定義から、 ①lim[x→∞]F(x)=1 を満たさなければならない。今、「実数をランダムに選ぶ」というのは、「ある0以上の定数cが存在して任意のt∈Rについてf(t)=cが成り立つこと」と定義してよいだろう。すると、c=0のときはF(x)=0となり、①を満たさない。c>0のときはF(x)の右辺は発散する。 以上から、そもそもランダムに実数を1つ選ぶことはできず、したがって平面上にランダムに直線を引くこともできない。□

原点は格子点では？（無粋）

単に座標方眼の上に超極小の砂粒を落として、そのX座標がどうなるか。 （何千回も繰り返して）1.000のところに落ちました！ その次のケタをよく測れ　1.0003じゃないか　やり直し！ （何ヶ月も繰り返して）1.000000のところに落ちました！ 1.0000004じゃないか正確には　やり直し！ （宇宙の終わりの時まで繰り返して）1.0000（ゼロが何百個）0000のところに！ その次のケタが2じゃないか！　やり直し！ 悪魔の判定員は永遠に許してくれない

これって極限の問題だったりする？ x→∞のときlog x／x=0みたいな

自然数全体より0から1までの数の方が多いってヤツね

私は美人 美人は薄命 でも私はまだしぶとく生きている…

y=√2x＋√2は格子点(-1,0)を通るから無理数の濃度だけでは証明出来てないんだけどね

おー、かの有名なtan 1°が無理数である証明問題を思い出して、確率がほぼゼロと言えることを動画を見ずに導けた、嬉しいね にしても、相変わらず数学科の皆さん怖いっすねー笑

小泉進次郎「有理数は整数分の整数で表せます。これは意外と知られてない」

赤点を"とおる"確率は0かもしれないけど、赤点を"とる"確率は0ではない

高校数学の「確率」とは別の話なのかな？普通に納得できん

異性が無数に存在しても、運命の人に出会える確率は限りなく0ってこと？

まあ、桁が無限にあるんだから仕方ない。現実には無限という概念があるわけではないし。

では「無」かと問うとこれは明らかに「有」なので数字の０の概念をしっかり考えんといけないね

スクワットの回数だけ小籠包が食えるって？（難聴）

原点通ってる時点で0ではないやろ

なんとなく前の動画のベルトランのパラドックスに近いような話だな

1/∞＝＋0 だとすると∞の試行回数があれば＋分∞のが強そうだから通る気がするんやが。そもそも∞の試行回数が有れば線は面とも言えるし。 違うんやろかなあ。。

無限に引けるから、確率0になるのは直感的に正しい

0に収束するだけであって0ではない

つまり数学のとある分野の解釈によっては限り無く0に近い確率のことを、確率0と表現する。と解釈しておk？

無限面体のサイコロを振って実際に１が出たとしても、その確率はゼロ みたいなことですか？

この問題、「サイコロをn回振った時に、7が出る確率の極限はいくつ？」というタイプの問題ではなく、「サイコロをn振った時に、1がn回連続で出る確率の極限はいくつ？」という問題に近いのかな。前者ならnがどんなにデカくなろうと確率はゼロ「ピッタリ」だけど、後者は確率がゼロに収束しているだけで、実際にゼロ「ピッタリ」になることはあり得ないからね。

神と数学者の差より、数学者と僕ちゃんの差の方がデカそうや😢 数学勉強してる学生さん凄すぎて草

その点トッポってすげぇよな、最後までチョコたっぷりだもん。

限りなく極小の数を0と言っちゃうのは違和感あるよな それ極限の話であって存在しない訳じゃないやんっていう

ゲームの注目動画に入ってたの草

整数全体の中から数をひとつを選んだ時、それが自然数である確率はどうなるのでしょうか？

(0,0)の点絶対通るから100%じゃね?

12:03 馬鹿だから1対1対応わからねぇ

ランダムなので限りなく0に近くなるとは思うが ランダムに格子点を通るパターンが存在するのであれば 厳密って意味では完全な0にはならないと思うわけだが・・・ 0で確定するのは、該当するパターンが0個の場合のみかと思う

オルバースのパラドックスと関係は .... ないね。

無理数を分母にもつ傾きが格子点を通るには、無限の広さの座標があれば…… 宇宙か

2分の時に5/11を出すのは悪すぎる😂

格子点の問題は東大京大あと確か名古屋大あたりが好きなので、受験生は息抜きにこの動画見にこい

要はあれだろ 大学で確率密度関数扱う前にする話 ダーツのあたる確率みたいな

有理数よりも無理数が∞倍多いってことなんですかね？ 数字って不思議😳

確率0%って言われるとモヤモヤするけど、ほぼ0%なのはぼんやり解る

数学わからんねんけど、自然数と整数は本当に同じ数なん？納得できない 絶対同じ数ちゃうやろ ただ、無限に対応できるっていうのはわかる

5/11に人間みを感じる

数直線は殆どが超越数

仮に正の実数のうち一番小さい数をxとおけば、全ての実数が 2x , -x など番号で数えられて実数の個数は可算無限になりません？

あれ？高評価が…

有理数より無理数の方がもう無理ってくらい多いから確率ゼロヽ(´ー｀)ノ

0.4545…はもはややり過ぎ

無理数はπとルートw トライの定理じゃねえかwwwwwww

わざわざ5/11を選ぶということは… ( ﾟ∀ ﾟ)ﾊｯ！💡

これ、ゼノンのパラドックスのアキレスと亀と似てない？

急にしこしこ出てきて草

確率密度？

なんかコメントで議論があるけど、ド文系ワイからしたら何でもいいわ

以前この問題を考えたことがある、懐かしい（？

高校視点(格子点)の数学を学ぶ事ができた だと思ったのにハズレた

極太の線を引けば100%！！

格子点を通る確率を、濃度で考えるのはちょっと無理がありませんか？ 定義不能ですよね。 無限を数値であるかのように扱うのは間違いです。

面白いです