ピタゴラスも絶賛！！解き方5通り！ 

数学を数楽にする高校入試問題81 amzn.to/3l91w2K オンライン個別指導をしています。数学を個別に習いたい方は是非！ sites.google.com/view/kawabatateppei

全体を180度回転し、ABを境界として下側に複製する。 Pの移った点をP'、Qの移った点をQ'とすると、PQP'Q'は四角形である。 対角線PP'とQQ'のつくる角は、すべて90度である。 よってPQP'Q'は平行四辺形であり、ひし形である。 ひし形なので、PQ=P'Q'である。 よってa+bは7である。

ヤバイ、良問すぎる。 この解説動画は家宝にします。

同じのを180度回して上にくっつける 長方形の中の小長方形ができて 対角線の長さは7だから対称性よりほかの対角線も7。 これはa+bと等しいので答えは7,,

最後の解説で相似と三平方の定理で解くという解説でしたが、AM-BM＝xとおいて三角形PMQと三角形PIQで三平方の定理で式を作り、両方の式を引いてx^2=abという結果を出して三角形PMQに対する三平方の定理の式に代入してa+bの値を出しました。なので、相似を使うとスムーズですが、相似に気付かなくても三平方の定理の式だけでも答えが出ました☆

お陰さまで出来ました。自分は合同系の別解です。角PMA+角QMB=90度なのでMを頂点に△QMBを回転させAとBを重ねてできる新たな直角三角形PQMと元の直角三角形PQMは直角を挟む二辺の長さが同じなので合同。新しくできた方の斜辺a+bは元の方の斜辺7と同じ長さ。よってa+b=7

相似を使わないで三平方だけでゴリゴリやって解けました（笑）。 AM=MB=xとして PM^2=a^2+x^2 QM^2=b^2+x^2 よって ①PM^2+QM^2=a^2+b^2+2x^2=7^2 またPからQBに垂線を引いて交点をIとしたとき ②PI^2+QI^2=4x^2+(b-a)^2=7^2 xを消すために①の両辺をそれぞれ2倍してから①-②を計算すると a^2+2ab+b^2=49となり、因数分解すると (a+b)^2=49、よってa+b=±7、マイナスはありえないのでa+b=7

いろいろな解き方があって、面白いです。 これぞ数学の醍醐味ですね🙂

めちゃめちゃ良問ですね さすがに5通りは浮かびませんでした

これは良問で楽しい。　皆さんのコメントで「上に同じ台形を左右ひっくり返してのせる」やり方が個人的には好きです。

図形の相似は当時苦手だったが、この動画の説明を観ていたら鮮明に理解できました。ありがとうございますm(_ _)m

良い問題だぁ

相似と三平方の定理で川端先生と全く同じ(一旦xと置くところも)方法で解きました😃 計算途中は少し不安だったが a^2+2ab+b^2と見たことある形になったところで「あっ、なるほど！」って笑みになった😁

動画を観る前に解こうとして、解説とは違う所に補助線引いてみたけど答えが出せなかった(涙) 川端先生の動画を観ると数学の奥深さがわかって面白い。

サムネ見ながら頭の中だけで解けた時なんか嬉しくない？

合同や相似を用いずに、以下のように解きました。 ①AM=BM=cと置き、PM^2=a^2+c^2, BM^2=b^2+c^2, PQ=7より (i) PQ^2=PM^2+BM^2=a^2+b^2+2c^2=49 ②Pを通りABと平行なライン (14:10頃の緑線）を引くと、直線QBと直角に交わるので、その部分の三角形（解説中の△PIQ)についても三平方の定理を適用。(2c)^2+(b-a)^2=7^2即ち (ii) a^2+b^2-2ab+4c^2=49 ③ (i)と(ii)を比較、2ab=2c^2即ちab=c^2を得て(i)に代入、a^2+2ab+b^2=49, a>0, b>0よりa+b=7を得る。

△PAM∽△MBQで、面積比がa:bなので、長さの比は√a：√b 、そこから計算してAM=MB＝√ab 三平方の定理より、PM=√(a^2+ab)、MQ=√(b^2+ab) 更に三平方の定理を使うと、a^2+ab+b^2+ab=a^2+2ab+b^2=(a+b)^2=7^2 よって、a+bは７

すごくいい問題でした！図形は苦手だったなあ。勉強になります。

「形が複雑でわかりにくかったら、同じ変の長さのところを切って貼ったり、変を書き足したりするんだ。」っていう高校の時の先生の言葉･･･、真意を理解していたら、当時本当に楽しくて仕方なかったかもしれないです。本当にもったいないことしました。 川端先生の動画をずっと見続けてこの問題を目の前にした時、「△PAMのAMをひっくり返して、BMにくっつけたら秒じゃん。」ってすぐ頭に思い浮かびました。最初の解き方です。 あぁ･･･、もっと真面目に勉強しておくんだった･･･。泣

3つ目の解き方で解いたけど、解いた後に出題条件的にa=bと置いてはいけない理由がない、と考えたら秒で解けました。

良い問題だな 頭堅いから三平方の定理で解いたけど1番目の解き方なら小学生でも解けるな

x同士をくっつけてできる△PMQと△PQMが合同だからそのまま斜辺(a+b)＝7って感じで解きました。良問ですね。

補助線でわかりました❗️

神問題

これはガチ良問

凄い面白いですね！ これは数楽ですね！

補助線と２つの合同が最適な解法 か

超良問！！すげー！

還暦過ぎの爺です、私は「三平方の定理」を使ったが、これはダメだな、高校入試の場合、図形は図形で解く訓練する必要あり、この問題なら①の解法がベスト・・この先生の問題、解説は本としてまとめてこれをひたすら解けば高校入試は合格する・・今の時代はいいなあ・・こんな立派な先生と出会いができて・・

もう数学を使わなくなってから何年か経ってしまって、自力で解けず解説を見てしまいましたが、解法が綺麗すぎて最後まで見てられません…

aの上にbを書き足し、bの上にaを書き足して、図形を丁度反転させて上に書き足したら対角線が7cmの長方形ができたので、全体の中央に走る対角線も7cmになると思ったら、答えがあっていました。 考え方として正しいのでしょうか？

こういうの、最初は相似を探すけども、 そのうち面倒になってa/x=x/b、(2x)^2+(b-a)^2=7^2として始めてしまうん 力押し大好き

良問ですね、中点連結で解きました

説明聞いている時はほぉーと思うんですが、時間が経つと解けなくなるんですよね😓どうやって先生、解答思いついているんだ？！その頭欲しい！！

相似と三平方でときましたけどあんまり美しくないかな…x2が消えるかどうかやってみてわかるというところが

第一法が最もシンプルで加工度が低くわかり易い。

前半二つでお腹いっぱい

全体の台形をひっくり返してくっつけると縦の長さがa+bになる外側の長方形と対角線の長さが7になる内側の長方形ができる。 外側の長方形の縦の長さと内側の長方形の対角線線の長さは、MとMに対応する点の位置から同じになるので、求める値は7。

これにはピタゴラスもびっくり

AM、MBをxとおいて、三平方の定理から(a^2＋x^2)＋(b^2＋x^2)＝7^2 →(b－a)^2＋2ab＋2x^2＝49…① また、(2x)^2＋(b－a)^2＝7^2→(b－a)^2＋4x^2＝49…② ①、②より2ab＋2x^2＝4x^2 即ちx^2＝ab これを(a^2＋x^2)＋(b^2＋x^2)＝49に代入し、a^2＋2ab＋b^2＝49より、a＋b＝7 と解きました

a,bの長さに関する条件はないので、a=bの場合を考える。このとき、四角形PQBAはPA:AB＝1:2の長方形なので、a＝b＝3.5になる。よってa+b＝7。

邪道な解き方。 こういった問題の場合、特定している事項以外は、どのような状態にしても、a+bの合計値は変動しません。 よって、線分PQと線分ABが平行な場合を想定すると、⊿PAM≡⊿QBM（いずれも直角二等辺三角形）になり、補助線を引く必要すらなく、秒で７という回答にたどり着きます。

a*bだけならM原点の2直線の直交からa/-x*b/x=-1で出ます。余弦定理、正弦定理、試みたが無理っぽい。

自分は、 ∠PMQ=180°であるから∠PMA+∠QMB=180° Mを軸にして△PMAを180°回転して、△PMAと△QMBを合体させる。 この時の△をQMP'とする。 三平方の定理から、△QMPのPM^2+QM^2=PQ^2、PQ=7 △QMP'のPM^2+QM^2=PQ^2、PQ=a+b よって、a+b=7 って解きました！

(a+b)/2 = 7/2

この動画でライバルの受験生に差をつけるぞ…

小学生も中学生も、それぞれの段階で使える問題でGood。 つい、三平方の定理を使いがちですが...... 頭が固くなっている。

7の直径の円を描くと簡単では？対角線が7の長方形が円に内接するから。ダメかな？

これは、あたかも「三平方の定理」台形図式に思わせる罠です。 単に、PMを伸ばしてQBの延長上に交点P’を取ります。 △AMP≡△BMP' が直ちに言える。BP'= a　 PM=MP' & ∠PMQ=∠R　から　△QPP' 　はQを頂角とする二等辺三角形。 従って、QP=QP' =7

MからPQに垂線を降ろすと、合同な三角形が2組できて、a+b=PQ=7・・・と思ったけど、 合同ってすぐ証明できないや・・・うーん・・・ △PAMと△MBQが内角の和から相似になるので△PMQも直角と辺の比から相似になって、 そうすると辺を共有して2角が等しいと言えて、合同と証明できる・・・でいいのかな。

この問題って長方形MABQの点MをAB上に折り曲げたものっていう条件を加えると、角QMB=60°なのでaとbの値も求められそうですね。 a=7/4, b=21/4ですか？

5番目の解き方で解きました。ひとつの問題にこんな沢山の別解があることに驚きですが、発想力がないとこんなに思いつかないなあ。ʕ⁎̯͡⁎ʔ༄

二番目の時方。 緑色の直角三角形合同から、×の角度が等しいと言っているが、緑色の三角形合同であれば、すでに問題が解けているんですが、２番目のを解法と呼んでもいいのでしょうか？ｗ

なかなか面白いですね！

良い問題ですね。

出やがったな二戦二敗の形！ △PAM∽△MBQ a:AM=AM:b AM²=ab PM²=a²+ab MQ²=b²+ab PM²+MQ²=49 a²+b²+2ab=49 (a+b)²=49 a+b=7 綺麗すぎて逆に不安

この問題与えられてる条件が少なめなので、△PMQをPQが底辺の直角二等辺三角形にしてみると、四角形PABQが長方形になる(①)。また,△PAM,△QBMがそれぞれ合同な直角二等辺三角形になってAP=AM,BQ=BMになるからa+b=AM+MB=ABと言える。(②) ①,②よりa+b=PQ=7となるので答えが求められます あとは超強引ですが,AとMとBを極限まで近づけて直線にすると、aが0になってbが7になるので一応答えは予測できます

解としてはかなり遠回りになるため、別解というよりは蛇足ですが… △PQM≡△CQM (動画3:19) なので、（動画の通り、この直後PQ=7=CQ=a+bで解に到達できちゃう） ∠QPM=QCM (=×) であり、すなわち∠PQM=(90°-×)=○ となるから 実は△PQM∽△PMA （∽△MQB）と3つの三角形はみなさん相似であるとわかる。 よって PA:PM = PM:PQ a : √(a^2 + x^2) = √(a^2 + x^2) : 7 ゆえに 7a = (a^2 + x^2) = a^2 + ab　（動画11:45より x^2 = ab） 辺々 a (≠0) で割ると 7 = a + b …と、解にたどり着くことはできるのでしたw

最後の方の、相似→三平方→方程式で解いてしまった。全く同じ道筋。 でも解説の冒頭で目から鱗。。😭

良い問題ですね。私は中に半円を入れて解きました。 最近はおもしろく、汎用性のある問題が増えましたね。 難問を解けたときの達成感も楽しいですが、こう言う問題に数楽が詰まっているのだと思います。

私は1番目の解き方で解きました！ ここのコメ欄の人達すご過ぎません…？ （こういう人たちと受験で戦うと思うと怖い)

図形をコピーして半回転させてくっつけるとひし形。

これ、MOがaとbの相加平均で、AMが相乗平均になってるの、非自明な気がするけど、なんでなんでしょう？ なんか別の解釈したり、相加平均と相乗平均の大小関係の証明できたいしないですかね

五番目の方法で解きました。最初の解法を見て自分の頭の固さを思い知りました。最初の解法はスマートです。

放物線とも関連があるような···

非常に図形問題の理解に役立つ動画でした！ 感激です。 これを何度も繰り返して見ることで、図形問題の苦手意識が解消できそうです。 ありがとうございます！

4番目の相似+三平方の定理の組み合わせで解きましたが、他にも多くの解き方があったんですねー。 これは凄く勉強になります。

図形問題として補助線使えば感単位解けるということです。図形を見ると気が動転する私は当然ながら唯一の補助線を使わない解き方で・・・ それでも相似と３平方の定理で解こうと考えたので、かなり進歩したと思います（以前なら、線分ＡＢ、ＰＱ，ＰＭ、ＱＭの関係から式作って解いてたと思うので）。これは動画のおかげと感謝しています。，

ABQPを角PMQ=90°を満たす長方形と考えると、長方形の縦3.5かける2で答え7

すげー

最初の解法は幾何学的な解釈による解法ですね。小学生も分かる。

面白い問題！ 別解が色々ありそうですが 三平方の定理から7を2通り出して答えを出しました。(△PMQと14:00からの三角形) 計算量は多くなりますが答えが見えやすいのでつられちゃいました 合同と相似については全く頭になかったです…反省

ごり押し別解です、、、！！ xy平面上でMを原点に取り, A(-c,0),P(-c,a),B(c,0),Q(c,b)とする. ただしa>0,b>0,c>0とする. 直線PM:y=-ax/cと 直線MQ:y=bx/cは直交するから, -ab/c²=-1 →c²=ab ・・・① PQ²={c-(-c)}²+(b-a)² =4ab+(a-b)² (①を利用) =(a+b)² PQ²=49より a+b=7

合同条件知ってれば答えは早くでる😄

答えだけで良いなら実数を適当に当てはめれば良い

△MBQをMを中心に回転して線分AMとMBを重ねれば△PMQ≡△PMBでａ＋ｂ＝７

△QMBをMで右回転させてAMとMBをくっつけて△PQMをつくる（AとBが重なる）、そうすると△PQMが２つできて2辺とその間の角が等しいので合同で７

PQは7しかないのにIQは100以上使う問題ってこれか

私は台形ABQPを180度回転させてPQの上にくっつけて、PMQM'の長方形を作りました。

THANK YOU 한 문제로 여러가지 수학 개념들 연습하기^^

aになんかの2乗がかかってんのがbだ！ ⬇ １^2+上のなんか^2が49になる！ ⬇ a+bは7だ！

塾のテキスト（合同）に出てきた！

半円と補助線１本だね。

PMで折ってMQで折ることを考えて、∠PMA+∠QMB＝90°なので、AMとMBがちょうど尽きあう→aとbは90°でつながるので直線に重なる、すなわちPQと重なる、よってa+b=7　じゃダメですか？　２番目の解法を直感的な言葉に置き直しただけかもしれませんが。

三角形PAMをMを中心に回転させると二等辺三角形になると

X,Y,Zを使って方程式立てて無理やり解いたら、答えは7😁合ってたけど、図形のセンスなし。中学校３年の時より、見事に頭悪くなったよ🐩高校に行くべきでは、なかったよ😁🐩

相似に気づいて終了しました。

コメント欄で別解を書いている人で、図形の回転や移動や折り返しの操作を、文章で正しく表現できていない人が結構いますね。 御自分ではわかっていても他人に伝えるには、数学の記述のルールに従って文章で表現しないと伝わりません。

A≒BになるようにAを移動したらa=0、b=7になるのでa＋b=7ですね

これは、いいね

aとbの大小関係にかかわらず答えは同じってことはa=bでもいいはず。だとすれば一目瞭然でa=b=3.5。だだからa+b=7。

a=bやa=0で実験するのもいいかも

ライバルに教えたくないチャンネルNo.1

∽使って計算してたら答え出てた 面白いです！

相似使っちゃった…笑 10:00 ので解きました

パッと見て三平方でごり押し位しか思いつかなかった… 解けるけど時間かかりすぎるだろうなぁ 反省

角度が分かれば正弦定理で解ける。

a.bについて具体的な条件が無いことからa=bになるように変形して上に反転したものをくっつければそのままa+b=7になりますね

面積から求められないかと思ったけどダメでした(´･ω･`)

数字7しかないから多分7! って思ったらまじで7だった