高校と大学の積分は決定的に違う？微分積分学の基本定理は実はすごい！ 

定積分の定義，正しくは inf S(Δ,f)とsup s(Δ,f)が一致したとき，積分可能と定義する． でした．最大値の棒グラフの面積S(Δ,f)のΔを色々変えたときの下限と，最小値の棒グラフの面積S(Δ,f)のΔを色々変えたときの上限が一致したとき，です．

こういう動画見ると勉強のモチベ上がる

古賀さんの上手な説明にしてやられた感があります。私は、自分が学んできた経済数学をもう一度復習するために「きちんと数学的に」学びなおしていますが、もう一度今日の視点で高木先生の解析概論を見直そうと思います。

非数学科の友達に力説したくなるような内容ですね笑 ありがとうございます！

大学で、高校での定積分（原始関数の引き算）と大学での定積分（区分求積法）の関係に関する課題が出て、この動画をみて大いに助かりました。 ありがとうございます。

世界を数学で切り分けて理解する醍醐味を当方のような部外者に紹介してくれる先生はなかなかいないので古賀先生は貴重な存在と思います。

私の高校で文系だったけどこの教え方で教えてくれたし、微分と一緒に極限の範囲まで教えてくれたから、微分積分かなり理解が深められた気がしてるから有難かったな

面白い。数学の本質を解説するプロの解説だから。高校時代は受験用に問題の解法ばかりを小手先で学んでしまう

この定理は各方面からいろんな見方ができるすごい定理だと思う。不定積分や高校での定積分を代数学的な操作と捉えると、解析学的な厳密な議論はこの定理で保証するから心置きなく微積を代数みたいに使ってくれ、みたいな感じに自分は見える。

素晴らしい！！！

なるほど..面白いです ルベーグ積分はまた別なのでしょうか？

高専なら３年生でやります、なお私は聞き流していたのでほとんど覚えていません。大学レベルの数学を３年生でやりますが、自分はロルやらコーシーやら諸定理を忘れ、高度な積分の公式も忘れ、ラグランジュなんたらやテイラー展開も忘れ来年数学やっていけるのか心配です。基本的な微積分と三角関数なら専門科目でバンバン使うので忘れようが無いですが使わないものはやはり忘れてしまいます

定積分を定義する時、s(∆,f)、S(∆,f)を、区間の最小値、最大値を使って定義していますが、 fを連続関数に限定してはいないので、最小値、最大値の所を上限、下限にするのが正しいと思います。 積分区間で有界でない関数（必然的に、連続ではない）は、広義積分で定義できます。

こんな感じで、ルベーグ隻分も解説してもらえるとうれしいです。定義の初っ端から、無限集合が出てくるから、高校生相手だと1～2回では終わらないと思うけど。:-)

大学に入って間もない頃の微積分学の講義のこと。 証明の過程でちょうど白板の右下にあるように、 「区間aからbにおいて|f(x)|＜ε ⇒ 同区間の定積分∫|f(x)|dx＜(b-a)ε」 と教授が板書したのですが、これが全く分からずしばらく思考が止まっていたのを覚えています。 大学の定積分の導入を意識しいていれば定義からほとんど自明なのですが、まだまだ高校の数学の知識で大学の講義も乗り切ろうとした時期でしたね。 懐かしい。。。

積分を求めた面積の定義は三角形の面積の概念の拡張なんですね😳 勉強させていただきました。

例えば車とかロボットとかだと、センサーでずっと取れるのが自機の速度だけの場合でも、積分することで位置が分かるよねみたいな感じで使う。 必要は発明の母だよね、積分も計算道具の一種。

髪型似合ってます！m

言ってることは分かるけど自分でやってみてと言われたらできない😭つまり理解はできるけどまだ自分のものにはなっていない😖 でも何回も見てできるようにしたい☺

どこかで聞いたような気もしますが、高校数学では定積分を原始函数の差で定義していると聞いて大変驚きました。調べたところ随分前の改訂からそうなっているようですね。

細かなところは無視しまして、とてもすばらしい説明でした。

後半、大学の知性を感じる内容。そこまで突き詰めて考えたいという人達が行くところが大学なんだろうな。

とてもわかりやすいです。 【微分積分学の基本定理の証明についての質問】 証明の際に、積分の平均値の定理を用いるとイプシロン・デルタ論法を用いずに済みますか？

やっぱり数学って面白いですね。

前半は微積分で挫折した頃の授業とほぼ同じ内容　f(t)dt　突然説明も無くtが出てくるところまで同じ

11:00あたりの解説がよくわからないです😭どのように画面右端の最後の式から中央の式になるのでしょうか、 両辺を積分しているということですか？ でも、左辺は不定積分で、右辺は定積分、、？　馬鹿な質問かもしれませんが、ご親切な方がいらっしゃったら、ご返答お願いしたいです。

平均値の定理を用いた方法も見られますがあれは厳密ではありませんか

2:15　この考え自分と一緒でうれしい

古賀さんのような方が教師としてふさわしいと思います。

面積を積分で定義する場合、長方形の面積も積分で定義しなければならないが、積分を「短冊の面積の総和」とすると、循環定義になってしまうのでは…と思いました。

わからないので誰か教えていただきたいです。 19分辺りで話されている定積分の定義はs = Sが成り立つとのことですが、sだけの極限を取ればSの極限は取る必要がないと思うのですが、この考え方は定義として厳密性に欠けるのでしょうか？ よろしくお願いします

ワイ浪人生、早く大学で学びたい

サンタコーデ🎅

すごい馬鹿な質問かもしれませんが25:30あたりのf(x)hが、f(x)をxからx+hでtについて定積分した値であるっていうのはなぜ言えるんですか？この段階ではまだ定積分の計算方法はわかっていないはずです。長方形の面積については当たり前であるとして考えちゃっていいんですか？

どなたか教えてください 25:24 面積を積分で定義すると、長方形の面積も積分で定義されることとなるため定数関数の定積分に長方形の面積公式は適用できないのではないでしょうか？ 自分の数学の知識は数3までしかないです

面積と言われているものの特徴を抽出してそれを面積の定義とするのは、もともと面積とは何かを知っているからできるんじゃないですかね。定義に関して、騙されたみたいな感覚を常に持ってしまうんですけど。

ダルブーの定理から導入した感じですかね。

長方形の面積は縦×横が定義されており、この時関数が囲む面積をどう定義するかという話で認識はあっていますか？

そもそも積分がまるで微分の逆演算として定義しているかのような高校数学の進め方が悲しい。 そのせいで「積分は微小な区間に分けて足していく」という積分の大雑把なイメージが薄れているのだと思う。

約30年前、合コンだので授業にあまり出れなくて、テストで高校数学のまま解いたら、採点後に返却された答案用紙に「重大な勘違いがある」って書かれていた理由がわかったwww

名前だけは聞いたことがあるεδ法、大学の数学の方が微積分の発達順に沿っている事（高校では分かりやすさのためデフォルメされている）事が少し分かりました

微分積分学の基本定理かあ、絶対値がついていても使えるっていうけどその理由が全くわからない！💦

演義のとき、同級生が「不定積分」と言ったら、「不定積分なんていうものはない」と先生から言われたことを今でも覚えています。

この内容を、もっと時間をかけて教えないと（自らの高校時代の数学の授業において）・・　と思います。　まことに、自分に対してはこの動画を見て、残念な念があります。また、この動画を見ている、いまの高校生に対しては羨ましいとも思います。

小学校で面積を教える時にこういう話をほんの少しでいいから入れるようにして欲しいんだよな。初めて教わる時円とか三角形とかでいきなり公式教わってもだから何？この数字は何を意味してるの？ってなってすごく気持ち悪かったからな

∵に丸のついたものって何を意味するのですか？

工学系では、積分は現象を微分方程式にしてそれを解くための道具の一つて感覚しかないね（結果オーライ）　笑

ルベーグ積分でも、微積分学の基本定理成り立つんや🙃

長方形の面積は縦×横で定義しているんですか？

多様体の話かと思ったら違ったようたい

高校数学の範囲で，定積分の定義を使って，基本定理を証明しているように見えます．

高校の数学で、微積を習った時、同じく、物理では位置の微分が「速度」、速度の微分が「加速度」、速度の積分が「進んだ距離」と言う ニュートン力学を習い、天才物理学者ニュートンが、微積を生み出した理由が解ったような気がした(笑) 以来、数学より物理が好きになった。

There are two minor gaps. First, "absolute value of delta tends to zero" needs to be defined more precisely. Let delta be a partition of the interval [a, b]. Then the absolute value of the delta is the maximum of the length of the sub-intervals. Then take the limit with respect to partition such that the absolute value of the delta tends to be zero. This definition is at the level between the one given in the lecture and one given in Mr. Koga comment. Second is about the definition of the area. Define the area of rectangle as the number of tile of unit square fits into the rectangle. Then the definite integral becomes a natural extension or generalization of the area of rectangle. Area of circle is also obtained in this way.

ルベーグ積分は解説動画がありましたね。失礼しました。_ _;;;;;;

面積が定積分であると定義されたとき 面積を重積分、体積は三重積分 として定義されているんでしょうか？

微分の逆演算で積分を定義する教科書があったけど、センスがない それは積分の計算方法であって、定義ではない 少なくとも関数方程式を教える前にその説明では混乱するだけ

微積とは何ですか？

Δxが０になると分母が０になって人類の数学にとって不都合ではないですか？10:28

no entendi weeee aiudaaa

不定積分と原始関数ってイコールなんですか？

曲線で囲まれている図形の面積を求めたいと考えたとき 図形を細かくブツブツ切ればひとつひとつは長方形と考えることができます。 長方形の面積だったらだれでも計算できます。 一旦ぶつぶつ無限個に分断したあと一つ一つの面積を計算して、あとからすべて足し上げる。 これが積分のアイデアというか定義です。 先生、この定義にしたがって、毎回無限個の長方形に分断して一つ一つの面積を計算して、また無限個足してたらさすがに日が暮れます。 手も腱鞘炎になるかもしれません。 なにかよい計算方法はないのでしょうか？ あります。あなたは微分をしっていますか？ 知ってます。 よし、いきなりだが先ほど定義した積分の上端のaを変数xに変更してxの関数とみなしてこれを微分するとどうなりますか？ 先生、図形的に考えてxとx+hで囲まれる図形の面積をhで割ってh→0にするんですからf(x)です。 よろしい。この式はいわゆる微分積分の基本定理と呼ばれるものだからよく覚えておいてくれたまえ。 まあ積分の定義がちゃんと分かっていればほぼ自明だが。 ではbからxまでのf(x)の定積分をxで微分したものがf(x)であるということが分かったんだから bからxまでのf(x)の積分自体はどうなるだろう。 先生、簡単です。微分するとf(x)になるような関数とある定数の和です。 よろしい、ではその定数部分は具体的になにになるかね。 先生、難しいです。ただ、この定数はbに依存するということはわかります。 そこまでわかっているならあと少しなんだが。ではヒントを与えよう。 インテグラルxからbf(x) =微分してf(x)になるような関数＋あるbに依存する定数 だということはわかった。 この式のxにbを代入してみたまえ。 先生左辺は積分の定義から0は自明です。右辺は微分してf(x)になるような関数にbを代入したもの+あるbに依存する定数です。 そうか、あるbに依存する定数=微分してf(x)になるような関数にbを代入したものかー。 これが積分のもう少しましな計算方法だよ。もう君に教えることはなにもないよ。 先生、微分してf(x)になるようなものがどう頑張っても求まらないときはどうするんですか？ よし、今日の授業はこれまで（そそくさ） 先生ー

昔むかしの話だが偏微分と重積分で数学諦めた。相対性理論についてのレポートで高校数学で説明したら情けないと嘆かれた。時々思い出す自分の無能さ嘆く人生。

こういう決め事の話をする人間は現実逃避なんですけどね。

もしかして高橋一生さんですか？

川谷絵音？

・瞬間の変化率知りたいやで→ほな出力/入力の観察スパン小さくしてこ ・変化量の総和知りたいやで→「瞬間の変化率」が分かっとるなら、それに「微小スパンでの入力量」かけて(dy/dx ×dx=dy)寄せ集めたらええやで ・「こっからここまでの変化量の総和」はどないすんねん→「原点から終点までの『変化量の総和』」出して、「原点から始点までの『変化量の総和』」差し引きしたらええやろ

証明の最後を、ごまかしましたね。 正確には、積分の平均値の定理を使うはずです。

理工学生はこんなに詳しい数学を知る必要はございません

「ｔ」が凄いんだな。

高校と大学で違うとか、高校の勉強は忘れてください、とよく言うね。 高校の勉強は無駄だったのか。

昔の高校の教科書を見直したら、厳密ではないが大学と同様に不定積分と定積分を別々に定義し基本定理で関連付けてあった。 昔はまともだったのに、今はゆとり教育てやつですかｗ

不定積分とかいう謎概念を高校数学からなくして欲しい

例に出した三角形の方程式は一つの方程式では不可能だ。2つに分けなさい。

なんで数学系動画配信者の多くは，こうも高校はダメで大学が正しい感を出すんだろ。初等数学教育の恩恵をみんな受けて育ってきたんだけどね。オレも数学科卒だから気持ちはわかるけど，こういう言い回しは本当に気になるなぁ。

スペインの国立大学入学試験をスペイン語で受けたけど、こんなん日本だけかなヨーロッパには高校、大学積分とかなかったな。漢字がいやらしい。でも、数学って面白い様であんまりそうでもない。答えが決まってるから。なんとが０になったら万歳やないで、０と違うと万歳。

チップの箱からペン取り出すところ(1:01)で盛大に笑ってしまった