2000年間も数学者を悩ませた超難問【ゆっくり解説】 

小学校の先生は折り紙で任意の三角形を作らせ、三つに破いてそれぞれの角を突き合わせると直線になることで視覚的に分からせてくれたな。

「非ユークリッド空間」と言う中二病をくすぐられる言葉

ポリンキーの3角形のヒミツが今解明されたのか

この例外 嫌い 気づいてないわけないけどそれは三角形とは定義しなかったんだろうよ それを後から解釈の違いで歪められるのかわいそうやわ

三角形とは3つの「直線」で形成されるものだから、曲面上の線という時点で直線ではなく弧だわな。

「ゆっくりと幾何学の公理系」や「非ゆっくりと幾何学の公理系」に矛盾がないと分かるのは、それぞれ平面・曲面のような「モデル」が作れるからですね。この考え方は一般に「公理の集まり」に矛盾がないことの証明に使われます。そして第5公準が他の公理と「独立」であることが、それが成り立つ幾何学と成り立たない幾何学の両方があることから分かる、と。 別動画であった「無限集合の濃度の分類」に関する話でも、集合論の公理系と選択公理と連続体仮説がこれと似たような関係になっていることが判明して、「証明できない」と分かったという。選択公理などは人間の無限に対する認識の問題ともいえるので、それを認めない集合論はまさに「異世界の論理体系」？

そう言えばプリンピキア読まずに卒業しちゃった

3000年前の古代エジプトや古代バビロニアの時代には二次方程式の解の公式に似たような手法が使っていたように、ギリシア以前でも数学はかなり進んでいた。 プラス、マイナス、かける、割る、イコール、ルートなどなど各種の数学記号なしに、それどころかゼロも小数点も無しにx^2 - x = 定数みたいな問題を解いてたのだ。 だが、「公理」から出発して数々の定理を導く論証数学を生み出したのはギリシア数学だったので、現代数学の直接的な祖先はどこかといえばここになるんだな。

これは別の言い方をすると、第1～第4公準は幾何学一般についての公準だけれど、第5公準はどのような幾何学を扱うかを決定する公準ということになるのかな？

球面上に書いた線は、直線ではなく曲線なので、第五の定義とは別物になるのでは？ 第五はあくまで直線の話。北極から伸ばした直線が赤道に着くには、地中を通る形で描かれなければいけない。 地上の線は、線だけ取り出すと曲線であり、直線ではない。 根本的に違うことを論じている。

サムネが叡智な布に見えてしまった。 下半身の布の角度は覚悟キマッてる方がいいよね(そういう話ではない)

ゆっくりと幾何学

立体である時点で直線じゃないから、三角形とは言わない。 別物ってだけ

動画をありがとうございます。球面の場合に赤道に直角な経線を二本だけ使うと 2 角形ができるというのが，私は最初とても面白いと思いました。😀

2:02 「A=BかつB=C→A=C」が「A=BかつA=C→A=C」になってますよ

でもよう…曲率が負の曲面に三角形を置いても反対側からみたら曲率は正になるんじゃないか？見る視点で内角が変わるってことか？

曲線にしたら、そりゃ180度じゃなくなるよね ┗┛　みたいにして、上をググっと曲げて弾丸みたいな形状にしたら 直角が2つある三角形モドキになるわけで・・・ それを球体に貼り付けて三角形だよって言ってるだけだよね

私の手書き三角形は180度になりませんので例外扱いだったようです。

〆のダジャレは素晴らしかった😍

ユークリッドは八手三郎みたいなもんか

5つにしたほうがキリが良いかなっておもったけど いいのが思いつかなくてちょっと雑になっちゃった

ユークリッドは直線であるが故に証明される公理だが、非ユークリッド空間では歪曲により直線と90度の証明がそもそもできてないのでは？ 5の公理だけが違うではなく、(ユークリッド)90度≒(非ユークリッド)90度と似て非なるものだからそもそも三角形という定義自体が証明されてないのだと思う。

まぁるくって、ちっちゃくて、さんかくだ　　 もきっと非ユークリッド幾何学で説明できるのですね

「直線」というから野暮なツッコミが入るわけで「測地線」と言った方がいいかと 局所的には直線に見える測地線で作った三角形の内角の和が180°とは限らない 別にユークリッド幾何が間違っているわけではないです

この話題、夏休み日誌(小学校の宿題)に書かれてて当時「ほぇ～なるほど」ってなったんだけど覚えてる人いるかな？ 確か夏休み日誌だったと思うんだけどなぁ...

1分25秒あたり ユークリッドが古代エジプト？ 冗談のつもりですか？笑 第5公準の証明を試みた人の名前は知らなかったので参考になった

東経135度と西経45度の場合　二直線で面積を囲ってしまうんじゃ…公理9ェ…

地球上の3点を結ぶ三角形の内角の和は180℃じゃ無いからね　と書こうと思ったら動画でやってた　まあ当たり前か　宇宙論を考える時の前提になるからちゃんと理解しましょう

3点結ぶなら最短結べよとずっと思ってるんだけど

同一平面上において、というのがあってだな。

非ユークリッド空間ってBackroomsのレベル解説でよく聞くやつだ！！

ユードリックってここからきてたのかぁ…（わかる人だけには分かるネタ

日本の場合は、内角の和というよりも、内閣のわ～っというお騒がせ。

ここでの3角形の内角の和の証明はインチキだね。て言ふか第五公準と同値なプレイフェアの命題を使っちゃってる。

複数の人の筆名ってブルバキみたいなもん？

球体上の直線は、直線ではなく曲線に見える

次は、この動画を元に、平行線が何本あるかの動画を作っていただけることを期待します。

穿かれているビキニが作る三角形の内角の和は

我々は微小な球面上に居てるわけやな。。。

地球上で考えるのが理解しやすいだろう。北極点（南極点）から反対極に赤道までを中心線としてその線の距離の1/2を赤道上で東西方向位置から元の極に対しての三角形の内角の和は180度より大きい。 平面上では正三角形だが、球面上で描く線は赤道上以外は湾曲している。直線であったものが実は湾曲していることが、この理論の答えとして求めるところ。40年前に読んだ本に書かれていた。 そして頂点が球体の大きさ、緯度経度の高さや頂点の長さにより、内角の和が変化する。平面に近いほど（三角形の頂点までの距離が近い）180度に近づく。 球体上の三角の和に対しての公式もある。非ユークリッド幾何学の本が、なぜか田舎の公立中学校の図書館にある時点で、おかしいと思うよ。 あとは忘れた！

ユークリッドはブルバキだったのだあ

曲線使ったら〇角形の定義がおかしくなる。

チーム・ユークリッド

ハイリハイリフレ背理法

紀元前3世紀の主張を紀元前5世紀に研究するの？ 時代の流れも非ユークリッドは変えてしまうのか？

プラトンは「平面に書いた直線で構成された三角形の内角の和は180度」と定義したかったんだろ。幾何学の分野まで考えちゃいないよ。

プールの水を出しっぱなしにする事件多いので何分後に溜まるのか教えてあげてほしい。

高橋洋一先生っスカ？まさか？

球面三角形の内角和が540°より小さいについての説明の例が間違っている。 なぜなら球面上の二点を結ぶ線分とはその二点を通る大円の劣弧の部分（180°より小さい部分）を指すので東経135°と東経136°の例での三角形の内角の和は539°ではなく181°。もしその例を認めるなら内角和が540°より大きい三角形も作ることが可能になる。 内角和が540°になる三角形の一番シンプルな例は赤道上の等間隔の3点からなる三角形。その三角形の内角はそれぞれ180°なので内角和は丁度540°になる。

8:32 背理背理振れ背理法、背理背理振れ方法。

いつの間にかサムネ変わってる。

非ゆーくりっどしていってね

平行線問題に関わる事？ガウスの功績が大きいのでは。

唐突な金沢市に草

トゥララトゥララ トライアングール～🎶

タイトルが「つい最近に解決された問題」と誤認しやすいかと。 サムネを見て、非ユークリッド幾何学なんてだいぶ昔に成立してるよな、と思って動画を見ましたが「紀元前3世紀から2000年後」の意味でしたか。

ただの”いちゃもん”やん

球の表面を通る線は「直線」ではないからな

幼卒に毛が生えたぐらいの脳みその俺にゃ局面に直線てのがどうも受け入れがたい そいでもま重力場で直進するべき光が曲がる感じで納得はさせるが 三角形の定義に平面ではなく厚み方向のベクトルを許す理由付けが出来るなら瓢箪のように複数の重力場が干渉する状態も許す必要ができて複雑になりそうだと思った

日教組の話かと思った

そもそも論、"ユークリッド"と云ふ名前自体、"エウクレイデス"の英語版(発音と共に綴りも変はる)。

湾曲させて良いならどんな角度も作れると思うけど、それを三角形としても良いの？ アホだからよくわからん

緯度と経度で三角形って無理があるだろ

地球のは直線三角形やないやん。