이 주제가 정말 곱씹어 볼 수록 너무 흥미롭고 재밌는 주제입니다. 현대 수학에서는 집합론에서 선택공리를 채택할 경우 모집단의 표본의 발생을 허용하기 때문에 무작위 시행을 인정하면 자동으로 무작위 시행으로부터 모집단에 속한 표본의 발생도 가능한 것으로 규정됩니다. 0%가 나와도 말이죠... 무작위 시행을 통해 확률이 0%인 근원사건이 뽑히는 것을 부정하면 확률이 0%가 나오지 않는 값은 존재하지 않으니 모든 값의 발생을 부정하는 것처럼 보이고 그럼 무작위 시행 자체를 부정하는것처럼 보이니 맞는말 같습니다. 하지만 무작위추출로부터 확정된 단일 값들이 출현하는 것을 부정하는 것이 곧 무작위 시행자체에 대한 부정으로 이어지는 것은 아닙니다. 실수집합이 비가산집합이기 때문에 근원사건들의 무한합이 실수집합 전체가 되지 않기 때문이고 또한 무작위 시행 자체가 확정되지 않는 특징이 있기 때문입니다. 무작위 실수에서 유리수가 나올 확률이 0%로 나오지만 발생으로 정의되는 부분에 대해 접근하기는 일반인 입장에서는 직관적으로도 수학적으로도 이해하기 너무 어려운 문제입니다. 그래서 조금 더 쉬운 주제를 가지고 한번 이야기 해볼까 합니다. 이 문제에서 발생하는 아이러니에 대해 갸우뚱하시는 많은 일반인 분들께 작은 선물이 될 수 있으면 합니다. 동전 던지기 무한 시행에서 모두 앞면이 나올 확률은? 당연히 0%입니다. lim(n은 무한)0.5^n=0 이기 때문입니다. 하지만 모집단의 표본에 속하기 때문에 이 역시 발생 가능으로 규정됩니다. 어디서 괴리가 발생했다고 생각되시나요? 극한값이 이런 괴리를 만든 것입니다. lim는 목표지향점 같은 개념이지 실제로 닿을 수 있는 값이 아닙니다. 0.5를 아무리 거듭제곱해도 절대 0이 나오지 않습니다. 또한 동전던지기 무한시행이 현실에서 어떻게 발현되는지에 대해서도 고민을 해볼 필요가 있습니다. 우리는 무한시행이 진행중인 상황만 상상할 수 있을 뿐 무한시행이 끝난지점에서 무슨 일이 일어날지에 대해 생각할 수 없습니다. 무한이라는 말 자체가 끝도 없는 시행이기 때문입니다. 동전 던지기 무한시행으로 모두 앞면만 나오는 확률뿐만 아니라 앞면이 한번도 안나오는 경우, 한번만 나오는 경우, 두번만 나오는 경우, ..., 백번, 천번, 일억번, 일조번, 다 마찬가지입니다. 전부 확률은 0%입니다. 하지만 전부 모집단의 표본이기 때문에 발생 가능으로 규정됩니다. 동전던지기를 무한히 반복해서 시행하는데 특정면이 특정횟수만큼 나온다? 이게 가능하다고 생각되시나요? 동전던지기 시행이 무한으로 발산한다면 앞면이 나오는 횟수든 뒷면이 나오는 횟수든 발산하는 것이 맞지요. 그래서 시행이 무한으로 반복되는 사건은 확정될 수 없고 따라서 확정된 사건(앞면 혹은 뒷면이 나오는 횟수가 정해진 사건)이 나올 수 없는 것입니다. 무한시행사건 자체가 수렴할 수 없는데 여기에서 값이 수렴한 사건이 나올 수 있다고 생각하는 것이 모순이죠. 물론 무한시행사건 자체에 대한 부정은 아닙니다. 동전 계속 던지는게 왜 불가능하겠습니까? 확정될 수 없는 사건을 확정된 사건으로 규정하려는 것이 모순인 것입니다. 다시 무작위 실수를 뽑는 행위에 대해 생각해보겠습니다. 0과 1사이에서 무작위 실수를 뽑아 0.5가 나올 확률은? 당연히 0%입니다. 하지만 0.5가 나올 때까지 한번 무한한 도전을 해본다고 생각해봅시다. 어느 순간 0.5000000000.... 이 나왔는데 아래 자리수를 계속 보니 한 1조번 자리 밑에까지 전부 0이었습니다. 그럼 이 값은 0.5라고 할 수 있을까요? 여전히 0.5라고 단언할 수 없습니다. 자리수가 어디까지 내려가야 0.5라고 확정관측이 가능하겠습니까? 한도가 없습니다. 무작위 실수가 모든 자리수가 무작위로 무한히 발생한다 생각한다면 이 역시 확정될 수 없는 사건입니다. 확정될 수 없는 사건 자체를 불가능하다고 하는 것이 아닙니다. 무한히 자리수 내려가며 값을 정해나가는 것이 왜 불가능 하겠습니까? 그로부터 확정된 값이 단언해서 발생하는 것이 불가능 한 것입니다. 즉 무작위 시행 자체는 가능해도 (확정할 수 없는 시행의 가능성을 인정해도) 그로부터 확정된 값들(유리수를 포함해서 우리의 관념속에 있는 확정값을 갖는 모든 값들)로 전환되는 것이 불가능한 것입니다. 애초에 무작위 실수 자체가 수렴할 수 없는 값이니(자리수가 내려가면서 계속해서 무작위배정되니 진동형 발산으로 볼 수 있겠군요.) 모든 수렴된 값으로의 전환 자체가 되지 않는 것입니다. 무작위 실수와 인식가능한 관념의 값은 별개의 것이라는 겁니다. 그러니 우리가 인식가능한 관념의 값들(수렴된 값)이 무작위 시행으로부터 나올 확률은 전부 0%이고 이 모든 값들이 무작위 시행을 통해서는 전부 나올 수 없는 값이라고 규정해도 무작위 시행 자체에 대한 부정으로 이어지지 않을 수 있는 것입니다. 즉, 무작위 시행 자체는 가능하나 이 값이 인식가능한 값으로 전환되는 것은 불가능합니다. 이는 동전던지기 무한시행자체는 가능하지만 이 시행을 통해 동전의 특정면이 특정횟수만큼 나오는 사건으로 수렴하는 것이 불가능한것과 같습니다. 물론 현대 수학은 선택공리의 선택함수를 구분하지 않습니다. 확정될 수 없는 사건자체를 인정하면 그 사건이 확정된 사건으로 전환되는 것도 자동으로 인정되는 꼴입니다. 무한한 시행을 진행중인 과정으로 생각하는 것에 그친다고도 볼 수 있습니다. 동전던지기를 무한히 시행하는 행위에 끝맺음 점이 없으니 그 중간 과정에서야 어떤 확정된 사건도 나올 수 있다고 생각하고 결론을 지은것 같습니다. 요약: 1. 무작위 실수는 발산하는 값인데 인식가능한 모든 값은 수렴하는 값이기 때문에 무작위 실수로부터 인식가능한 모든 값이 나올 수 없는 것이고 이 둘은 별개 것으로 구분되어야 한다. 2. 실수집합은 비가산집합이기 때문에 무작위 실수로부터 인식가능한 모든 값이 나올 수 없다고 규정하는 것이 무작위 실수 자체에 대한 부정으로 이어지지 않는다. 가산집합 무한합으로 비가산집합이 나오지 않기 때문에 무작위 실수로부터 모든 인식가능한 값의 무한합에 해당하는 집합으로의 발생을 부정하여도 실수집합 전체에 대한 부정으로 이어지지 않기 때문이다. 3. 하지만 현대 수학에서 선택공리의 선택함수를 무작위시행과 지정시행(무작위 시행을 제외한 모든 가능한 시행)으로 구분하지 않기 때문에 무작위 실수가 발산하는 값임에도 불구하고 이를 인정하면 자동으로 무작위 실수가 수렴하는 것도 가능하다고 인정하는 꼴이 된다. 이것이 현대 수학에서 선택공리를 바라보는 관점의 한계이다.
신기하네요. 확률이 0인데도 발생할 수 있다. 그런데 전체 공간 길이의 집합은 뭐로 정의가 되어있는건가요?? 예컨대 전체 공간 길이가 무리수+유리수로 정의 되어있다면 유리수 전체 길이는 0이고 무리수 전체 길이는 1인건가요? 아니면 각 부분의 수의 길이는 모두 0이지만 다 더하면 1이 되는건가요?
너무 재밌는 영상 감사합니다. 루딘의 매운맛을 한 학기만 경험하고 도망간 비수학과 학생이었는데요, 겨우겨우 이해했던 칸토어 셋이 생각나는 영상이었네요 ㅋㅋ 사실 유리수 0, 무리수 1까지 갈 것도 없이 [0,1] 사이에서 1/2을 뽑을 확률이 0이라는 게 불가능과 확률0이 다르다는 걸 보이기 충분한 거 같긴 하네요ㅋㅋ앞으로도 잘 보겠습니다!!
예전 고등시절에 나름 고민했던 문제와 비슷하네요.. 1. 0-1 사이의 숫자를 하나 선택했는데 , 그런데 특정 수가 선택될 확률이 0 인데? .. 내가 선택한 이 수는 뭐지..?... 2. 책에서 읽은 게임. A,B 두사람이 동시에 지갑을 꺼내 가진 돈을 비교하고 돈이 적은 사람이 모든 돈을 다가져 간다. A 의 생각 : 이긴다면 내가 가진 돈보다 많은 돈을 따게 되고, 내가 진다면 내가 가진 돈만 잃게되므로 이 게임의 기대값은 0보다 크다.즉 나에게 유리한 게임이란 뜻.. B 의 생각 : A의 생각과 똑 같다. 그렇다면 A,B 모두에게 유리한 시합일까? 저 나름대로는 이 모순이 균등분포라는 확률분포에 문제가 있기 때문이라는 결론냈습니다.. 이제 딱히 수학적 문제 같은 것을 고민하지 않은지가 벌써 몇십년...세세한 기억은 잃었지만 확률분포 말고 다른 상황은 너무 자명해보여서 였던 것 같기도 합니다.. 수학적 확률이 본래 그런거야..라는 설명을 듣고 있으니 ..콜럼버스의 달걀로 머리를 쳐맞는 기분... 하지만 어째든 옛생각이 떠 올라 좋네요..^^
1번 문제는 제가 댓글 단거 하나 있는데 한번 읽어봐주세요 ㅎㅎ 당신이 선택한 수는 반드시 무리수입니다. 그리고 그 수는 확정될 수 없습니다. 임의의 실수를 뽑았는데 그 수를 애초에 표현하는게 가능할까요? 547.15345541321048040564549...... 이런식으로 계속 소수점이 밑으로 한 없이 내려갈텐데 어디서 이 행위를 중단할 수 있겠습니까... 임의의 실수인데.. 2번 문제는 너무나 흥미롭습니다. 깊이 생각해 보았는데 내가 가진 돈을 N이라고 할 때 상대의 돈을 임의의 값으로 정하고 그 값에 대해 최소값 0에서 최대값 (루트2+1)*N 구간에서 뽑는다는 전제가 있다면 이 게임은 공정한 게임이라 할 수 있겠죠.(왜 (루트2+1)*N인지는 한번 생각해보시고 여기서는 언급을 아끼겠습니다.) 문제는 그럼 최대값에 상한을 두지 않으면 무조건 유리한거 아냐? 이렇게 생각할 수 있겠지만 이는 애초에 전제 자체가 틀린겁니다. 상대방 입장에서도 내 입장에서도 나의 값은 이미 정해져 있습니다. 나의 금액만 알고 있는 제한된 정보에 놓인 상황에서 상대방의 금액범위를 멋대로 상한제한도 없이 산정해버리고 이것을 근거로 내가 이득인 게임이라고 추정하는 행위 자체가 틀린 것입니다.
그리고 이런 의문도 가능하겠네요. 어쨋든 어떤 수를 뽑는데는 성공했으니 불가능한건 아니지 않냐? 이런생각 드실 수 있는데.. 그게 아니죠... 다트게임으로 비유하자면 애초에 내가 뽑은 수는 첫번째 다트이고 특정한 한 점을 선택하는 문제는 첫번째 다트 위에 두번째 다트를 꽂는 문제인겁니다. 이게 현실의 다트라면 다트위에 다트를 꽂는게 가능하겠지만 어떤 값으로 특정된 한 점을 임의의 한 점을 뽑아 정확하게 그 점이 다시 나오는 것은 불가능하다는 이야기 입니다.
근데 궁금한 게 왜 시계를 봤을 때 12시일 확률이 0인가요? 이 부분이 잘 이해가 되지 않아서요. 그냥 현재 시각이 정확하게 12시일 확률이라면 확실히 0이라고 할 수 있습니다. 다만 시계를 기준으로라 한다면 시계의 종류마다 다를 수는 있지만, 대부분의 시계는 최소 단위가 1초임을 고려하면 0은 아니지 않나요? 혹은 놓친 점이 있는지 모르겠어요.
@@bsj3002해당 질문은 1초단위로 움직이는 실제 시계보다는 지속적으로 움직이는(최소단위가 없는) 가상의 시계를 가정하고 한 것이라고 이해하시면 됩니다. 시계는 단지 시간을 비유한 것일 뿐이죠. 초침이 있는 시계가 아닌 디지털시계에서 스탑을 눌러서 12:00을 정확히 찍을 수 있는가? 하는것이죠. 근데 그 디지털 시계는 무한히 작은 단위까지 표기되는.. 쉽게 말하면 12:00:000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.... 에 멈출 수 있는가 하는거죠. 이걸 간단하게 "시계를 보았을 때 12시가 될 확률은 0이다" 라고 말하는 것입니다.
개별 점을 테이프로 덮는 방법이 동일한 epsilon만큼의 테이프로 덮는방법도 있고, epsilon/n으로 덮는 방법도 있고 방법 자체는 여러개입니다. 그런데 집합의 길이를 테이프의 최솟값(엄밀히 얘기함면 infimum)으로 정의한다면, 해당 집합의 길이는 가능한 테이핑 조합이 주는 테이프 사용량의 최솟값이 될텐데, epsilon(1/2 + 1/3 + ....)
안녕하세요 방금막 확률에 대해 이야기 하던중 본인의 무지로 인해 답답한 상황이 생겼는데 도저히 스스로 해결이 안되어서 질문 남겨봅니다.. 간단히 설명하면 1/10확률에 대해 이야기 했는데 저는 '1/10확률'이 '무조건'적으로 나온다고 주장했는데 수학에서 확률은 100%가 아니라면 무조건이라는 수식일 사용할 수 없다고 하더라고요.. 그래서 드리고자 하는 질문은 확률을 설명하는데 있어서 무조건 나온다는 전제를 하는 것 자체가 수학적으로 결코 불가능한지 궁금합니다.. 미칠거 같아요 정말 ㅠㅠ
정사각형의 한변을 삼각형의 한변으로 해서 정사각형 공간 내부에 한 점을 임의로 찍을 때 직각삼각형이 될 기하적 확률을 구하는 문제에서 반구를 찾아 지름을 한변으로 하고 반구의 호에 점이 찍히면 직각삼각형의 외심을 활용해 반구의 호에 점이 찍힐 때만 직각삼각형이 만들어진다는 사실과 선의 넓이가 0이라는 사실로 확률이 0이다라는 걸 이해할 때 점이 찍히는 데 왜 확률이 0인지 이해할 때 어려움을 겪었는데 비슷한 소재로 이야기를 다뤄주셔서 이해가 어느정도 되었습니다 감사합니다!
잘 보았습니다. 옛날 교육과정 기준으로 이런 예시를 학생들에게 설명할 수 있는 것은 기하학적 확률을 이용한 것이 기억나는데, 결국 그것도 측도론을 이용한 것과 일맥상통하겠지요. (물론 기하학적 확률은 교육과정에서 빠진지 오래 되었습니다...ㅎㅎ) '기하학적'인 뭔가가 들어간? 말이 좀 넌센스하긴 한데... 어쨌든 그런 무언가와 상관없는 예시는 혹시 있을까요? 결국 measure 0를 생각해야 하니 '기하학적 직관'은 필수불가결인 걸까요?
경우의수를 몇개 또는 무한개라고 하는건 그렇다는 전제를 한 후에 확률을 계산하는 것인데 발생할 수 있는지 없는지는 구체적이고 물리적인 문제이기 때문에 추상적인 전제로부터 계산해서는 답을 할 수 없는 별개의 문제 같습니다. 주사위의 경우의수가 정확하게 6개만 되게 구현할수있는지도 뭔가 복잡해지는 문제인데, 경우의수 무한개는 과연 어떨까요...
4번 문제에서 {1/2, 1/3, 1/4, •••}의 길이를 구할때 테이프의 길이를 @, @/2, @/4, •••로 정하셨는데 각 점의 위치가 어떻든(1/2이든 1/3이든) 다 똑같은 점이니까 각 점을 덮을 테이프의 길이는 전부 @로 같아야되지않나요? >>총 길이는 2@가 아니라, n@가 되야한다고 생각하는데 뭐가 틀렸나요?(n은 점의 갯수, @는 입실론 대체문자)
충분히 오해할 수 있는 부분인데 임의로 하나의 수를 뽑는다고 확률이 0인 사건이 일어나는건 아닙니다. 애초에 특정된 값을 뽑은 것이 아니니까요... 다트게임에 비유하자면 임의로 뽑은 하나의 수는 처음으로 던진 다트인 것이고 특정값을 찝어야하는 부분은 이미 던진 다트 위에 또 다른 다트를 꽂는 문제가 되는 것입니다. 수를 뽑는 것 자체가 불가능한 것이 아니고 특정된 값을 연속선상에서 뽑는 것이 불가능 한 것입니다. 자세한 내용은 제가 댓글 달아놓은게 있으니 읽어보셔도 좋을 것 같습니다. ㅎㅎ
단순히 확률을 숫자가 아닌 문자를 쓴다 했을때 n이 무한대로 갈때 1/n은 극한값이 0으로 확률이 0이겠지만 실제로 발생하는 경우의 수가 1이 존재하는 상황이고 반대로 n/(n+1)은 극한값이 1로 확률이 1이겠지만 1/(n+1)이라는 경우의 수가 존재하기때문 뭐 이런거 아닐까요
리만적분에서 구분구적법을 쓰면 x= k/n 에서의 함수값과 1/n을 곱한 사각형의 크기를 모두 더하는건데 n이 자연수이기때문에 n이 무한대로 가더라도 함수값이 항상 0으로 나올것같습니다.. 혹시 n이 자연수가 아닌가요? 고등학교 수준의 구분구적법까지 밖에 못배워서 여쭤봅니다..
썸네일만 보고 신뢰도와 타당도를 떠올렸던 저는.. 다른 맥락을 짚었구나 하고 무릎을 탁 치고 갑니다. ㅎㅎ AI쪽에 계신 걸로 알고 있는데, 요즘 유행하는 mbti가 비판받는 이유가 많은데 통계적으로 분석하는 방법에 있어서 무엇이 문제다 라는 걸로... 한번 어그로 끌어서 구독자 아닌분들 설득해보시는건 어떠신지 한번 의견 드려봅니다.
좋은 영상 감사합니다!!ㅎㅎ 하나만 여쭤보고 싶은 부분이 있는데, 제 생각에는 도입부에 약간의 순환 논증이 있는 것 같습니다...! 구간의 길이를 얘기하기 위하여 테이프의 길이를 말씀하시는 것이 살짝 걸려서요,,,(a,b)의 길이는 b-a라고 인정하고 시작하시는 것이 어떨까요?
그렇게 해야 등비급수가 되어서 2입실론으로 수렴하기 때문입니다. 얘를들어 그냥 모든 점들을 입실론으로 덮으면 필요한 길이는 3입실론, 4입실론,...이 되어서 양의 무한으로 발산해 버립니다. 꼭 공비가 2분의 1인 등비급수가 아니더라도 수렴하는 무한급수 아무거나 이용해도 되는데 저게 제일 쉬우니까요
그거는 전제를 착각해서 해석하신거에요.. 특정수가 나올 확률이 0인건 맞지만 내가 뽑은 수는 특정수가 아니잖아요... 쉽게 설명하기 위해 다트게임에 비유하자면 첫번째로 던진 다트는 내가 뽑은 수 a인거고 그 수는 아마 0.64651325478945645.... 이런식으로 규칙성 없이 무한히 뻗어나가는 무리수일 것입니다. 만약 규칙성을 갖는다면 그것은 무작위로 뽑은 수라 할 수 없겠죠. 그리고 내가 뽑은 a를 다시 뽑으려 한다면 그것이 바로 특정수를 뽑는 시행이 될텐데 첫번째로 던진 a라는 다트 위에 두번째로 던진 다트가 과연 첫번째 다트위에 꽂히는게 가능하냐의 문제가 되는 겁니다. 물론 현실의 다트에서는 다트 위에 다트를 꽂는게 가능하겠지만 연속선상에서 특정된 하나의 값을 뽑는것은 불가능합니다. 앞서서 0.64651325478945645....이런 수를 뽑았는데 애초에 특정해서 표현하는 것 조차 불가능한 무리수를 계속해서 랜덤하게 나오는 소수점의 뒤에자리가 다 맞는게 가능할까요? 소수점의 뒤 자체가 끝이 없고 패턴도 갖지 않을텐데요...
이산확률과 구분해야 하는 내용이네요 ㅎㅎ 간단하게 직관적으로 보면 이럴까요 ? 이 우주상에서 지구와 같은 행성이 있을 확률을 생각하면 0%라고 봐도 무방하겠지요 그러나 우주상에서 지구는 존재해요 0%지만 사실상 무한소 ÷ 1인거죠 반대로 이 우주상에서 지구와 같은 행성이 존재하지 않을 확률은 어느정도일까요 ? 거의 100%에 가까울겁니다 (1 - 무한소) ÷ 1이면 100%라 표기할 수 있을 것 같네요 확률이라함은 무의식적으로 이산확률로 생각하게 되는데 막상 해석학에서도 역시 확률적 내용이 들어간다는걸 실제 삶을 살다보면 망각하고 지내는 것 같네요 ㅎㅎㅎ
