1. e가 무리수임을 보이기 위해 e=p/q, p는 정수를 만족하는 정수 q가 존재하지 않음을 보인다. 2-1. 예를 들어 q=90이면, 90의 배수를 아무거나 잡아도 그 수의 역수 단위로 눈금을 매기면 e가 눈금 위에 있어야한다. 2-2. 1/90!로 쪼갠 눈금 위에 있지 않다. 2-3. 따라서 q는 90이 될 수 없다. 3. 같은 방식으로 q는 어떠한 정수도 될 수 없음을 보일 수 있다. 저도 밑의 반박(?) 댓글들처럼 처음에는 증명이 부족하다고 생각했었는데, 몇 번 돌려보면서 위 과정으로 증명을 설명하신 걸로 이해했습니다. 제가 이해한게 맞다면, 2-2가 가장 low level로 들어가기도 하고 키포인트라 강조가 되면서 3번 과정이 영상 끝나면 잊혀지는 것 같습니다..! 그래서 3^(-1)+3^(-2)+...에 q=3 안 되니까 무리수인가? 하는 생각이 들면서 헷갈리는 것 같습니다. 2-2를 전체적인 흐름과 분리하여 설명되었다면 바로 납득이 되었을 것 같다는 개인적인 의견입니다 ㅎㅎ 얼핏 보면 1/(n!)의 합이 수렴함을 보이는 것 같기도 했구요,, 좋은 영상 감사합니당
이 증명방식이 무한등비급수나 (1/pi^2)*(sum(1/k^2)) 같은 곳에는 적용이 안되어야 하는데 왜그럴까를 생각해보니 (1) 분모로 어떤 정수를 골라도 논리 전개가 가능해야 한다 (2) 급수에서 '앞부분'은 눈금으로 표현되고, '뒷부분'은 눈금으로 표현되지 않아야 한다 (눈금 정수개가 아니어야 한다) 이래야 e 증명법을 쓸수있겠네요
납득하기 위해 가장 좋은 비유는 문이 3개가 아니라 100개라고 가정하는 겁니다. 100개의 문 중에 상품이 한 문 뒤에 존재하고 사회자가 님이 선택한 문 외의 98개의 문을 열어서 뒤에 상품이 없다는 걸 보여줬다면, 선택한 문을 바꾸실 건가요 아니면 처음 선택한 문 뒤에 상품이 있을 거라고 믿으실 건가요?
@@bobddOKGG 문 4개 이상과 문 3개가 왜 다른 전제가 될까요? 어쨌거나 문을 하나만 남기고 연다는 전제는 동일한데요. 이해가 안 되고 납득이 안 되신다면 다른 설명을 해보겠습니다. 몬티홀 문제의 맹점은 "바꿀 것이냐, 유지할 것이냐"라는 양자택일 질문을 이용해 마치 확률이 1/2인 것처럼 속인다는 점에 있습니다. 만일 '거짓 문을 열어주면 반드시 문을 바꿔야 한다.'는 규칙이 있다면, 이 게임의 승률은 어떻게 될까요? 이 경우 이 게임에서 이기기 위해서는 처음 선택하는 문 뒤에 상품이 없어야 합니다. 문 세 개 중에서 상품이 있는 문은 오직 하나이므로, 처음 선택하는 문 뒤에 상품이 없을 확률은 2/3이 되고, 이 확률이 그대로 이 변형 몬티홀 문제의 승리 확률이 됩니다. 즉, 반드시 문을 바꾼다는 룰이 있거나 선택자가 그런 전략으로 임할 경우, 몬티홀 문제에서 문을 바꾸는 경우의 승률은 2/3이 되는 것입니다.
가령 0.5의 경우는 q를 2로 특정할 수 있겠지만 (그래서 0.5가 유리수임을 보이는 증명에서 q값을 지정할 수 있겠지만) e의 경우 q는 어떤 수로 특정할 수가 없지 않습니까? 그러니 e의 경우 특정의 q가 존재한다는 가정이 불가능한 거 아닌가요? 그렇다면 불가능한 것을 가정하여 가정이 틀렸다는 귀류법으로 증명(반증)이 되었다는 것은 틀린 거 아닌가요? 제가 수알못이라 조심스레 의문을 제기해 봅니다...
영상이 의미하고자 하는것은 알겠지만 오류가 있네요 뒤에있는 항의 합이 앞의 한눈금보다 작다는 것으로 증명했는데 1/4^(n-1) 수열을 예로 들자면 q항인 1/4^(q-1) 을 한 눈금으로 잡았을때 뒤의 항의 합이 1/(3*4^(q-1)) 이여서 q항보다 작지만 수열의 합은 무리수가 아닙니다. 뒤의 항의 합이 앞의 항보다 작다면 그것을 한 눈금으로 했을때 어떻게 되는지 보여야 할것입니다
@@user-of8dp7xk2u 그래서 분자 q를 90으로 두어서 눈금의 간격을 1/90으로 고정한 것이죠. 나머지 항 들을 더 해도 눈금 하나를 채우지 못하니 모순이 발생하는 것입니다. 더 작은 눈금에 대해서도 설명해야 한다는 것은 처음 q=90이라고 둔 전제에 어긋나는 것입니다.
@@JSH118 분모를 무한대로 두지 않는 이상 증명은 어렵지 않나요? q를 90으로 잡고 91부터의 합이 눈금을 다 채우지 못한다 하더라도, 그만큼 작은 눈금 또한 존재하기 때문에 결국 무한대로 보내야 증명되는거 아닌가요? 영상 내용 이해는 했지만 무한대에 관한 설명은 좀 아쉬운 것 같네요
3:35 잘 이해하며 보고있다가 유닛이라는 말에 이해가 안되네요. 유닛? unit? 단위 라는 뜻인가 아니면 한 조각 이라는 뜻인가 도대체 무엇을 뜻하는 건지 모르겠는데 영상을 계속 보다보니 이해가 되긴 하네요. 유닛이라고 하지 말고 저 숫자들을 90!분의1 눈금으로 표시한 수직선상에 놓아보자면~ 으로 설명했으면 더 좋았을 듯 합니다.
모든 유리수는 순환소수로 나타낼 수 있고, 모든 순환소수는 유리수이기에 원주율이 유리수이지 않느냐는 질문이랑 같은 질문으로 볼 수 있을 것 같습니다.(실제로 어떤 수가 실수라고 가정한다면 무리수가 아니라면 유리수니까요) 유리수를 '분수 꼴로 나타낼 수 있는 모든 수'로 뭉뚱그려 나타내는 경우가 많은데, 정확하게는 (정수)/(0이 아닌 정수) 꼴로 나타낼 수 있는 모든 수를 말하기 때문에 그렇습니다. 실제로 원주와 지름이 둘 다 정수가 되느냐고 묻는다면 그렇지 않죠.
그런데 영상만 본다면 1 1/2 1/4 1/8 같은 등비수열의 합이 유리수인 수열도 이 아이디어를 적용시킬 수 있을 것처럼 느껴지는데 어디서 차이가 발생하는 걸까요?? 물론 수식상으로는 그 차이가 명확하게 드러나지만 아이디어(통찰? 직관,,?)면에서는 별 차이가 없는 건 같아서요
영상의 내용은 무리수의 통약불가능이라는 주제로 중학교 교사용 지도서에서참고용으로 다루긴 합니다. 하지만 학교에서 무리수를 이렇게 도입하지 않는 이유는 이 방식에는 귀류법 즉, 모순을 통해 unit(공통척도, 공통단위)가 존재하지 않음을 설명해야 하는데 보통 수준의 중학생들이 받아들이기 쉽지 않습니다. 따라서 모순을 보일 필요가 없는 ‘순환하지 않는 무한소수’로 도입하는 방식이 훨씬 자연스럽고 받아들이기 쉽기 때문에 그렇게 정의하는 것으로 알고 있습니다. 교과서 정의를 학습한 이후에 심화 학습이나 창의적 과제를 통해 가르치시는 분들이 계실 수도 있겠네요.
@@sunwaptaaa 감사합니다. 무리수의 이런 성질을 통약불가능성(Incommensurability)이라고 하는군요. 어릴적 수학 공부를 할 때, 새로운 내용을 쉽게 쉽게 받아들이는 친구가 있고(보통 이런 친구들이 수학 성적이 좋았습니다) 이미지나 맥락 없이는 받아들이기 힘들어하는 친구가 있었는데, 저는 후자였습니다. 제게는 '정수, 소수, 순환하는 무한소수, 순환하지 않는 무한소수..'의 설명보다 무리수의 통약불가능성을 다루는 위 영상의 설명이 실수의 연속성에 대한 이미지가 만들어지면서 압도적으로 재밌고 의미있게 다가오는데요. 중학생 수준에서 증명까지 하지 않더라도 무리수는 '눈금 사이에 찍힌다'를 소개해줬더라면 더 재미있게 수학을 배웠을 것 같습니다. 상상의 나래를 펼치면서요 ^^
5개월전의 댓글을 지금봤네요. 일단 이 설명에서도 등비수열의 합 개념 등 중학교교과서에 싣기엔 다소 버거운 내용이있어 중학교과정에선 설명할 수가 없고요. 고등학교에서도 e가 무리수라고 알려져있다고만 기술하고있고 무리수임을 증명하지 않습니다. 이유는 직관적이지도않고 너무 어렵습니다… 무엇보다도 이 설명을 이해하셨다 하시니 원래 증명도 똑같이 전개되는 같은 내용이기에 쉽게 이해하실 수 있을텐데요. (물론 12math님이 너무나도 설명을 잘해주시긴했지만요). 단지 이번 영상은 왜 증명과정이 갑자기 왜 저렇게 튀어나오나에 대한 설명이라 생각하심 됩니다.
그냥 정성적으로 말하자면 e=p/q일때 p/q=1+...+1/q!+1/(1+q)!... 이어야 하는데 양변에 q!를 곱하면 p*(q-1)! = q!+(q-1)!+...+1+ 1/(1+q)+..... 이 되서 왼쪽 변의 값은 정수인데 오른쪽 값은 정수가 아니므로 증명이 된다. 와 같은 논리겠군요.
안녕하세요. 저도 무한등비급수를 생각했는데, 1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 +1/16 + ..... 이 합의 결과는 2로 알고 있는데, 위와 똑같은 방식으로 증명하면 무리수가 되는 거 아닌가요... 1.99999999. .. 1/64을 생각하고 64등분을 해도 다음의 1/128 은 표현하지 못함.. 대략 이렇게요..
이런 혼동을 겪고 있는 사람이 많은 것 같은데요, 영상 7:21부터 다시 보시면 됩니다. 쓰신 경우에서 1/128을 표현하지 못하는게 아니고, 1/128 부터 나머지 다 더한게 1/64보다 작음을 보일 수 없기 때문에(사실은 1/64 그 자체이지요.) 무리수임을 증명할 수 없습니다.
대수적으로 나타낼 수 없는 수를 초월수라고 합니다. 예를 들어서 √2는, 'x²=2' 라고 대수적인 정의를 내릴 수 있지만, 𝛑는 위처럼 대수적인 정의를 내릴 수 없으니, √2는 초월수가 아니고, 𝛑는 초월수인겁니다. 마찬가지로 e도 초월수이죠. e는 1/n!의 합(n=0,1,2•••)로 나타낼 수 있긴 하지만, 유한급수가 아닌 무한급수이기 때문에, 대수적인 수라고 할 수 없습니다. 따라서 초월수인거죠.
@@12math 제가 시간이 없어서 중반부분까지만 보고, 수직선에 대응시킬수 없어서 무리수이다 로 논리를 전개하실줄 알고 답을 달았는데... 집에와서 끝까지 보고나니 무릎을 탁 칠 내용이네요. 좋은 영상 잘 봤습니다. e는 임의의 정수의 역수에 자연수배가 될수 없으므로 유리수가 아니다라는 논리는 아주 멋진것 같아요.
저도 첨언을 하자면 0.999....는 정확히 1이랑 같은 수입니다.3-2가 정확히 1인 거랑 같이요.결국 무한등비급수는 극한의 개념인데, 고등학교 때는 극한의 허술한 정의와 무한소의 애매함때문에 혼돈을 야기하는데 일단 넘어갑니다.마치 원의 넓이를 중학교때 배우는데 증명 안하고 넘어가는거랑 같은거에요.왜냐하면 결국 원의 넓이 증명은 적분을 써야하니까요. 마찬가지로 극한의 수렴값 또한 입실론-델타 논법으로 다시 정의하게 되고 이러면 모순들이 없어집니다.극한의 수렴값은 다가가는 값이 아니라 정확히 그 값입니다. 즉 초항이 a 공비가 r인 무한등비급수의 합의 수렴값은 a/(1-r)인데 이 과정중 n이 무한대로 갈 때 r^n의 극한값이 0에 가까워지는 무한소가 아닌 실제 0입니다. 무한소는 실수체계에서는 존재하지 않아요.단순히 생각해봐도 실수가 빽빽한데 무한소가 있다는 얘기는 모순입니다.왜냐하면 무한소의 절반도 무한소이니까요🤣즉 결국 무한소는 0이 될 수 밖에 없죠. 이렇듯 극한과 무한소는 양립할 수 없어요.애초에 미적분을 만든 뉴턴과 라이프니츠가 무한소가 애매한 개념임에도 사용했던 것이고, 자꾸 모순이 생기니 나중에 코시가 실수의 조밀성을 이용한 입실론 델타 논법으로 명확하게 정의합니다. 그리고 사실 극한까지 갈 필요도 없이 0.333....=1/3의 양변에 x3 0.999....=1임이 자명합니다. 사실 수학에는 "다가가는 수"라는 개념 자체가 없어요.수는 항시 고정입니다🙂 나중에 시간 되시면 입실론 델타 논법을 봐보시면 그 정의의 테크니컬함에 무릎을 치실겁니다😆
@@졸지마 "한없이" 다가간다는 표현이 잘못된 표현입니다. "한없이"라는 표현은 무한소를 전제로 했기 때문에 틀린 거에요. 0.999...는 1에 "한없이" 다가가는 수가 아니고, 정확히 1 입니다. 0.333.....=1/3인데 1/3은 그냥 유리수일뿐 어느 값에 다가가는 숫자가 아닙니다. 정리하자면 "한없이 다가가는 숫자"라는 거 자체가 수학에는 없구요.극한 또한 한없이 다가가는 것이 아닌 입실론 델타 논법으로 정확히 수렴값에 대응되는 그 값을 가집니다.🙂이게 현대 표준 해석학의 논지입니다. 고등학교에서 입실론-델타 논법을 가르치지 않는 이유는 중학교에서 원의 넓이를 정적분으로 증명하지 않는 것과 같은 이유입니다. 사실 그래서 저도 입실론-델타 논법을 배우기 전에는 똑같은 오해를 했었습니다. 이런 혼란은 교육 과정의 잘못이 아니라 그만큼 수학의 엄밀성을 반증한다 생각해요.