n이 아무리 커도 4개의 수가 등간격이 되지 않도록 놓을 수있는 순열이 반드시 존재한다는게 신기하네요 수학도는 아니지만 수학을 좋아하는 공학도로서 너무 참신하고 기발한거같아요 설명을 들으면 이해는 되는데 이걸 노베이스로 오롯이 자기 머리에서 만들어낸 수학자들 리스펙...
최근 확률론을 배우면서 확률 변수 X의 기대값은 X의 합으로 나타내지는 확률변수들의 각각의 기대값의 합과 같다 라는게 무슨의미로 받아들여야할지 모르겠었는데 이 영상에서 바로 보여주네요;;; 기대값을 쉽게 구할 수 있는 확률변수로 나눠서 각각 구하는편이 더 쉬워지는것 같네요
얼마전에 책에서 쿠폰수집 문제에 비슷한 풀이를 활용한 걸 봤는데, 인디케이터 확률변수와 기댓값의 선형성을 활용한 정말 아름다운 풀이네요! 1에서 n까지 순서대로 배열했을 때만 생각해도 X값이 n이 나오는데 X의 평균이 1미만이라는건 심지어 X=0이 되는 배열의 수가 꽤나 많다는걸 의미하기도 하겠네요! X=n이 존재한다는 평균이 1미만이 되기 위해 X=0이 되는 배열이 최소 n개는 더 존재한다는 말이니까 이런식으로 'X=0이 되는 배열이 존재한다'에서 더 발전해서 'X=0이 되는 배열의 비율은 전체의 어느 정도인가?'에 대해 생각해봐도 흥미로울 것 같아요.
가장 간단한 예시는 ..., 12, 10, 8, 6, 4, 2, 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...와 같이 짝수는 한 쪽에 몰고 홀수는 다른 쪽에 몰아서 쓰는 방법이 있습니다. 이렇게 되면 간격은 n-1, 2, n-3, 4, n-5, 6, n-6, 8, ..., 와 같이 되고, 이 중 세 개가 연달아 같을 수는 없음을 바로 알 수 있습니다. (n은 4 이상이라고 가정합니다.) 특히, 연달아 두 개가 같은 것조차 n이 홀수일 때만 가능하므로, n이 짝수일 때는 등간격으로 배열된 수의 열이 아예 없다고 볼 수 있습니다. (최대 길이가 2이므로)
풀어가는 과정은 고등학교 수학시간에 다 배운거고 시발점 또한 간단한 것인데 목적을 위해서 만든 조합이 참.. 기가막히게 그려놓은 그림을 보는 듯한 느낌이네요 이걸 어떻게 연필로 그렸지? 하는 느낌이랄까요 저도 집중하고 종이에 끄적이며 본게 아니라 머릿속에서 빵! 하고 역시 수학은 그 특유의 표현할 수 없는 아름다움이 있어 하는 느낌은 아직 못 받았는데 책상에서 각잡고 볼걸 그랬습니다
12Math 님의 영상은 다른 영상들에 맞춰 놓은 속도도 좀 늦춰야 하고, 몇몇 군데는 어려워서 영상을 멈추고 생각을 해봐야 하고, 어떤 경우는 앞 부분을 되돌려서 다시 봐야 하고, 그렇게 하고도 시원하게 이해되지 않는 대목들도 많긴 하지만, 그래도 이해되는 부분들만으로도 참 놀랍고 멋집니다. 그런 신빡한 수학적 아이디어를 수학 비전공자들, 심지어 문과생들도 이해할 수 있게 풀어주시는 솜씨도 또한 놀랍고 멋집니다.
예전에 게임이론에 흥미가 있어서 찾아봤을 때 게임에 대한 매우 약한 증명이 강한 증명보다 수학적 가치가 높은 경우가 많다 해서 직관적으로 이해가 잘 안갔었는데 비슷한 느낌인 것 같아요 어떤 임의의 n에 대해서 좋은 순열의 배치를 찾아 내는 것(perfect play를 생성하는 것)보다 어떤 n에 대하여 어떤 조건을 만족하는 좋은 배치가 무조건 존재하는 지를 판단할 수 있는 게(물론 순열을 '잘' 배치하는 일반화된 방법을 제시한다면 자연스레 대답되는 문제지만) 문제에 대한 더 깊은 이해가 필요한 느낌...
저런 식의 발상이 가능하다니 재밌게 잘 보았습니다! X의 정의가 i,...,i+3이 등간격이 되는 i의 개수라면 X의 기대값은 n이 커지면 1보다 커지지 않나요? n/(n-2)(n-3)는 i와 i+1이 주어졌을 때의 각 개수들의 기대값인 것 같습니다. 혹시 같은 설명이셨는데 제가 잘못 이해했는지 모르겠네요^^
네 같은 말 맞습니다. i와 i+1이 간격 d로 위치해 있다고 가정을 해야 i+2와 i+3이 등간격이 되는 위치를 알 수가 있고 등간격이 될 확률을 구할 수 있죠. 따라서 영상대로 하면 x의 기댓값은 n/(n-2)(n-3)이하가 되므로 n이 커진다 해도 1보다 커지지 않습니다. 혹시 직관적으로 n이 커질 때 등간격 길이가 4인 배열의 갯수를 많이 만들 수 있으니깐 x의 기댓값이 1이상이 된다고 착각 하신거라면 n이 커질 때 x=0, 즉 등간격 길이가 4 이상인 수 배열이 하나도 없는 경우도 많아진다는걸 생각해보면 n이 커지더라도 x의 기댓값이 1보다 작은 것이 이해되실 겁니다.
와 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 수학 하나도 모르는데 이거 보고 저절로 입에서 오... 소리 나왔어요 ㅋㅋ 가능할까 라는 질문에 당연히 가능한 모델을 직접 보여줄거라고 생각했는데 평균 계산을 통해 여기에 0이 껴져있다는게 증명됐으니 아무튼 가능함! 이라고 해버리다니 ㅋㅋㅋ 정말 천재적인 발상입니다 ㅋㅋ 간단하고 자명한 사실을 이용해서 복잡한 문제를 풀어버리는 아이디어가 정말 획기적이네요
조금 확장하면 불연속적인 공간에서 minimum을 제외한 모든 값이 자기보다 크거나 같은 n에 대해 같은 공간에서 추출한 표본들의 평균이 n보다 작으면 표본 중에 minimum이 무조건 존재하겠네요 제가 생각하는 바를 최대한 잘 정의해서 써 봤는데 수학 전공이 아니라 잘 정의된 건지 모르겠네요 ㅠ 그래도 신기한 영상 잘 보고 갑니다!
항상 증명하는 방법들보면 다들 관찰력이 대단하신 것 같아요. 다른 건으로부터 유사점을 도출해서 적용시켜서 증명을 하는 경우들이 많으니까요. 복잡한 문제일수록요! ... 그나저나 수리 불수능이었던 09문과수리 1등급이었는데... 중간쯤부터 이해를 못하고 길잃은 어린양되었네요. 개인적으로 확률이 어려웠던 기억이나네요. 디테일을 놓치지않아야하는데도 항상 문제풀기전부터 실수할까봐 두려웠던 기억이 나요 ㅎㅎ 자리가 달라도 순서배치는 같으니 n!이 아니라 (n-1)!아닌가 바로 유추해내신분들은 아직 수학적인 감이 살아있으신것같네요. 너덜너덜이가되었습니다
d가 결정될때 i+3의 위치가 남은 n-3개 자리 중 생랜덤이 아니고 앞의 i i+1 i+2 위치에 종속돼서 한자리 고정이라는 정보가 있음에도 어디 한자리 할 확률은 상관없이 계속 1/(n-3)인게 신기하네 어떤 규칙이 있어도 결국 그게 돌고돌아 어느자리에 있을진 모르니까 확률이랑 상관이 없다 떠돌이 부이끼리의 거리같은 상대적인 좌표는 확률을 얘기할 땐 아무 규칙이 아니란거네 지평좌표계에 고정된 절대위치와 관련된 정보만이 어느 자리에 존재할 확률을 결정하는거군 우리가 우주의 어떤 구조물 4개와 등간격으로 존재할 확률이 1/(n-2)(n-3)이고 n이 물질이 위치할 수 있는 공간이면 n이 무한하다면 사방팔방 중에서 아무 물질과도 배치가 등간격하지 않은 방향이 하나 이상 있다는건가 그럼 그 방향으로 선이 지나가면서 만나는 모든 물질과 그 다음물질 사이의 거리 d는 랜덤 순서로 수직선 상의 세상 모든 데이터를 포함하나? 으깨진 셔플된 수직선인가 세상에 그렇게 랜덤 무한한게 있어도 세상 모든 질문에 다 증명이 있는게 아니라니 랜덤 무한한 데이터는 무한한 정보를 담을수 없나? 아니면 n과 세상이 무한하지 않은건가 그러면 그 선 안에서 순서대로 나타나는 길이는 규칙이 없나? 순서가 없고 어느 구간이든 반드시 서로 다른 길이를 갖는다는 규칙이 있는거 아닌가? 그런 규칙이 있어서 못 담는 정보가 있는건가 자 이제 앞통수도 쌔려드렸읍니다.
