[수능대비 심화개념] 도함수의 연속성(feat. 미분 가능성 풀이법의 함정) (서울대학교 수학교육과 출신 선생님이 알려주는 수능 고득점을 위한 필수 심화 개념) 

우선 영상 내용에 관한 댓글을 달아주셔서 감사합니다. 솔직히 이런 댓글이 달리기를 기대하기도 했습니다. 제가 굳이 사람들이 잘 쓰는 풀이법에 대하여 의문을 제기하면서 이 영상을 제작한 데에는 다음과 같은 이유가 있습니다. 첫 번째, 도함수의 연속성을 가정하고 도함수의 극한을 활용하는 이 풀이법(아래부터는 “이 풀이법”으로 표현하겠습니다)에 대해서, 푸는 방법만 알고 원리를 모르는 학생들에 대한 안타까움이 컸기 때문입니다. 제가 너무 존경하는 서울대 수학교육과 우정호 전 교수님께서 가장 유명한 저서인 학교 수학의 기초 책의 머리말에서 서울대 수학교육과에 입학한 학생들이 부정적분과 정적분의 차이점조차도 잘 모르는 경우가 많다며 탄식하시는 내용이 나옵니다. 저 또한 한 수학 교사로서 지금까지 수많은 제자들을 가르쳐오면서 이러한 경우를 많이 봐서 안타까움을 금할 수가 없었습니다. 예를 들어 미분을 할 줄 아는데, 미분이 뭔지 모르는 학생들이 너무나 많았기 때문입니다. 이 경우도 마찬가지입니다. 수학에서 이 풀이법을 통해 “결과”만 잘 나온다면 그 “과정”, 즉 “원리”따위는 중요시되지 않는 상황이 안타까웠습니다. 더 나아가 학생들이 결과만 잘 나온다면 과정 따위는 아무래도 괜찮지 않은가라는 생각을 심어준다면, 그런 생각이 팽배한 사회가 만들어질 것 같은 두려움도 갖게 되었습니다. 그래서 저는 개인적으로 수능보다 수리논술을 좋아하고, 수학 선택형 문항보다는 서술형 문항을 좋아합니다. 그래서 저는 “이 풀이법”을 버리라고 한 것이 아니고, “이 풀이법”을 쓰더라도 그 “원리”를 알고 쓰는 것이 좋겠다는 취지에서 영상을 제작하게 되었습니다. 실제로 그 원리를 배우는 과정에서 미분에 대해 더 높은 이해로 올라갈 수 있다고 확신하기 때문입니다. 두 번째, 앞서 도함수의 극한을 활용하는 방법이 “결과”가 잘 나온다고 말씀드렸습니다만 “결과”조차도 잘 안 나올 수도 있습니다. 말씀하신 것처럼 실제로 도함수가 불연속인 예는 지금까지 수능에서 등장한 적이 없고, 사설 모의고사에서만 출제된 적이 있습니다. 하지만 지금까지 등장하지 않았다면 앞으로도 출제되지 않는다고 장담할 수 있을까요? 물론 가능성은 높지 않겠지만, 언제든지 수능에서는 이 풀이법의 논리적 맹점을 찌를 수 있습니다. 왜냐하면 이 풀이법은 교육과정을 준수하는 공식적인 수학 교과서, EBS 교재, 교육청 모의고사 해설지 그 어디에도 등장하지 않는 풀이법이기 때문입니다. 따라서 언제든지 이 풀이법의 맹점을 찌르는 문제가 나올 수 있습니다. 사실 수능이나 교육청, 평가원 모의고사에서는 제가 알기로는 출제된 적이 없으나, 가장 최근 2020 서강대 수리논술 문항을 살펴보시면 도함수가 불연속인 예(2x+3x^2sin(1/x^2))가 등장합니다.(해설 영상을 올리려고 계획 중이나 요새 너무 바빠서 미뤄지고 있습니다.) 수리논술에서는 이 풀이법을 사용하시면 과정 점수 거의 못 받는다고 보시면 됩니다. 세 번째, 이 영상은 초보자가 아닌 수학 고수를 위한 심화개념 영상입니다. 초보자들은 그냥 이 풀이법을 참이라고 생각하고 쓰셔도 무방하겠으나, 미분에 대한 깊은 이해를 바탕으로 한 진정한 수학 고수로 거듭나기 위해서는 이와 같은 이해를 하시는 것이 좋습니다. 네 번째, 사교육 없이 수리논술을 준비하는 학생들을 위해서 제작했습니다. 앞서 말씀드린 바와 같이 수리논술에서는 출제된 적이 있고, 만약 수리논술 논제에서 도함수가 연속인 함수가 출제되었더라도 이 풀이법이 아니라 미분계수의 정의에 의해 답안지를 작성하셔야 점수를 제대로 받으실 수 있습니다. 그런데 제가 이 풀이법의 맹점을 알려주지 않는다면, 사교육을 받지 않는 학생들은 아무것도 모르고 이 풀이법으로 수리논술 답안지를 작성하는 학생들이 많을 것이기에 너무나 안타까운 생각이 들었습니다. 따라서 이런 학생들에게 이 풀이법으로 답안지를 작성하면 안 된다는 설명을 꼭 하고 싶어서 제작한 것이기도 합니다. 사실 이렇게 많은 생각을 하다가 영상을 제작하게 된 것인데, 님의 댓글 덕분에 제 생각을 표현할 수 있게 되어서 감사드립니다. 그리고 제가 영상에서도 여러 번 얘기했지만, 이 풀이법을 제가 절대 비난하거나 버리라는 뜻이 아니며, 공식적인 풀이법과 함께 병행하는 것이 가장 이상적이라고 말씀드렸습니다. 사실 이 풀이법만을 고집하셔도 웬만하면 수능에서는 큰 문제가 없으리라고 생각되지만, 수능이든 수리논술이든 뭐가 출제될지는 아무도 모르는 것입니다. 마지막으로 다시 한 번 댓글에 감사드리고, 제 영상 제작 의도를 이해해주시기 바랍니다.

@@user-jj2tj1mr9t 장문의 글로 선생님의 교육관, 가치관 등을 느낄 수가 있네요. 이러한 진심들이 학생들에게 잘 전달되리라 믿습니다. 좋은 내용의 영상들 지속적으로 잘 만들어지길 응원합니다!!! 고맙습니다. ^^

영상에 그에 대한 설명 다 나와있는데 어휴 진짜

영상에서 다 설명 했어요;;;

말그대로 우문현답이네요

지금이라도 이렇게 깨달으신건 정말 대단하신겁니다 훌륭합니다 앞으로도 그러한 깨달음을 바탕으로 공부하신다면 진정한 수학 고수가 되시리라 생각합니다

제가 요새 너무 바빠서 답글이 늦었네요. 양해 바랍니다. sin2x는 2x로 바꾸고, 1-cosx를 x^2/2로 바꾸면 됩니다. 아래 영상을 참고하시면 더욱 자세한 방법을 안내받으실 수 있겠습니다. ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-J1m1UUZf558.html

우선 좋은 말씀 감사드립니다. 아마 수학 선생님이신 것 같은데, 부족한 영상을 봐주시고 의견을 주시니 부끄러울 따름입니다. 저도 주신 의견에 대한 제 생각을 말씀드리겠습니다. 저도 jh p님의 의견과 마찬가지로, 수능에서는 예전에도 그랬고 앞으로도 도함수가 연속인 예가 주로 등장할 것으로 예상되는 만큼, 미분계수의 정의 뿐만 아니라 적절히 도함수의 극한을 활용하는 방법까지 잘 병행하여 유연하게 잘 대처할 수 있어야 한다고 생각합니다. 그런데 본 영상에서도 밝혔듯이 가장 큰 문제는, 학생들이 도함수의 극한으로 스스로 풀고 있다는 사실을 인지하지 못하고 이 방법을 사용하거나, 이 방법이 교과서에 나오는 방법인 줄 안다는 점과, 미분가능성이 도함수의 연속성을 보장한다고 믿어버리는 것라는 생각이 들었습니다. 이와 같은 생각에서 출발하여 이 심화개념 영상을 제작하게 되었습니다. 논술이나 수능에 대한 jh p님의 생각도 존중하며 충분히 공감합니다. 저도 그런 측면을 충분히 느끼고 있습니다. 혹시 제 다른 댓글을 보신 건지 모르겠는데, 다른 댓글에서도 수리논술을 수능보다 제가 더 선호한다고 밝혔습니다. 그 이유는 "결과 도출"보다는 "과정의 논리적 서술"을 더 중요시하는 수리논술의 기본특성 때문입니다. 이건 개인취향이라고 생각합니다만, 그렇다고 해서 제가 수능을 싫어하는 건 결코 아닙니다. 사실 수리논술을 더 선호할 뿐, 수능과 수리논술 둘 다 좋아해서, 수능이든 수리논술이든 나오면 거의 다 풀어보는 편입니다. 현실적으로는 말씀하신 것처럼 수리논술이 워낙 어려운 경우가 많기 때문에, 제 경험상 사교육에 의존하는 학생들이 많았습니다.(사교육을 나쁘게 생각하는 것은 결코 아니니 오해하지 마시기 바랍니다.) 그래서 이러한 상황이 안타까웠기 때문에, 제가 사교육 혜택을 충분히 받기 힘든 학생들을 위해 수리논술과 관련된 영상을 많이 올렸던 것이기도 합니다. 하지만 말씀하신 서강대 기출문제의 경우, 제 개인적인 의견으로는 교육과정을 벗어나기보다는 오히려 교육과정을 준수하려 했다는 의도가 엿보입니다. 분명 다루기 어려운 함수입니다만, 논제에서 요구하는 답을 구하는 과정은 교육과정을 벗어난다고 보기 힘들 것 같습니다. 예를 들어 미분계수를 구할 때, 도함수의 극한을 활용하는 방법이 사실 교육과정을 벗어난 방법인데, 이와 같은 방법이 통하지 않고, 교육과정에 나와있는 미분계수의 정의대로 푸는 방법을 의도한 논제이므로 교육과정에 오히려 더 충실한 문제라는 생각이 들었습니다. 물론 서강대 그 문제 말고 다른 경우에 까다롭다고 느껴지는 경우들이 꽤 있었는데, 대학 입장에서는 변별을 위한 고육지책이 아니었나 싶습니다. 또한 선행학습영향평가 결과보고서에서와 같이, 검토과정을 거치기 때문에 예전에 비해서는 많이 좋아졌다고 생각합니다. 하지만 이건 순전히 저의 개인적인 생각일 뿐입니다. 제가 여러가지로 바쁘다보니, 댓글을 오래 잡고 있을 수는 없어서 두서없이 글을 작성한 것 같아서 죄송스런 마음입니다. 마지막으로 선생님의 소중한 의견, 다시 한 번 감사드립니다.^^

추석 연휴에도 열심히 공부하시고 질문하시는 모습 훌륭합니다 제가 제시한 독특한 반례를 잘 살펴보시면, f가 실수 전체의 집합에서 미분가능하지만 x=0에서의 f'의 좌극한과 우극한 자체가 존재하지 않으니까 말씀하신 식처럼 비교하는 것 자체가 안 되는 것입니다 그리고 f가 미분 가능하다는 것은 도함수의 좌극한과 우극한을 보는 것이 아니라 도함수의 함숫값, 즉 미분계수가 존재함을 의미하므로(정의를 다시 확인해보세요) 우리가 주로 활용하는 방법은 도함수의 연속성이 전제될 필요가 있습니다 즉 f'이 연속임이 보장되면 우리가 편하게 쓰는 도함수의 극한을 활용하는 방법을 자유롭게 쓰실 수가 있겠습니다만, 그렇지 않은 경우에는 주의해야 합니다 상당히 어려운 얘기라서 처음 접한 학생들 중에 곧바로 이해한 학생을 거의 보지 못했습니다 따라서 영상을 반복적으로 보시면서 고민을 많이 해보셔야 이해하실 수 있을 겁니다 제가 본 영상에서 제시한 반례를 좀 더 고민해보시길 권하고요, 그래도 이해가 안 되시면 2020학년도 서강대 기출문제 2번 논제를 풀어보시고 제가 올려놓은 접근법 영상과 함께 이에 관한 해설 및 출제의도가 담겨진 2021 서강대 논술가이드북을 참고하시기 바랍니다

@@user-jj2tj1mr9t 감사합니당 전부 이해가지는 않았지만 그래두 도움이 많이 됐어요~

일반적인 설명 하나 추가드리겠습니다. '(a,b)에서 정의된 함수 f가 (a,b)에 속하는 점 c를 제외하고 미분 가능하며, lim_(x->c)f'(x)=A 가 성립하면, f는 c에서 미분가능하며, f'(c)=A 가 성립한다' 는 사실이 성립하기에(증명은 평균값정리를 이용하나, 고교과정이 아니라 생략하겠습니다), 사실은 한점 c에서의 도함수 f'의 극한이 존재하기만 하면 f'는 c에서 연속입니다. 따라서 f'가 항상 연속이 아니더라도 사용할 수는 있습니다.

‘함수 f(x)가 x=a에서 미분이 가능하지 않으면, xa에서의 f(x)를 하나의 같은 식으로 나타낼 수 없다’가 참인지 질문하신거라고 생각하면 될까요?(엄밀한 명제라고 보기는 힘들 것 같아서, 저도 적당히 rough하게 설명하겠습니다.) 쉽게 생각해서, 만약 f(x)=tanx나 f(x)=1/x와 같이 불연속이라서 미분이 가능하지 않은 점을 가진 예를 생각해보면, 그러한 점의 좌우에서 f(x)는 동일하지만 미분 가능하지 않으므로 말씀하신 부분은 거짓이라고 말할 수 있겠습니다. 만약 연속 조건을 추가하여, ‘연속함수 f(x)가 x=a에서 미분이 가능하지 않으면, xa에서의 f(x)를 하나의 같은 식으로 나타낼 수 없다’는 참일까요? 그런데 사실 f(x)=|x|의 경우에도 x=0에서 미분 가능하지 않지만, x>0에서와 x

@@user-jj2tj1mr9t 음... 1/x는 x=0에서 정의가 안되서 제외하고 다른점은 미분이 가능하지 않나요? 저는 아직 수2하는 중이라 좌우f(x)식이 다르다->그 점에서 미분이 안될 가능성이 존재한다고 생각해야 할것같네요

@@user-jj2tj1mr9t 좌우 f(x)식이 같다와 미분이 가능하다는 진리집합은 명제가 아니라 벤 다이어그램으로 나타내야겠군요

@@user-jj2tj1mr9t 그러면 미분법 사용조건이 모든 점에서 미분이 가능 할때 인거 아닌가요?

우선 제가 너무 바쁘다보니 답글을 잘 달아드리지 못하는 점 양해 바랍니다. 그리고 솔직히 본 영상은 수2를 공부하고 있는 학생에게는 너무 어려운 내용일 수 있습니다. 제가 영상의 주의사항에서 말씀드렸던 것처럼, 수학 전 범위를 다 공부하시고 많은 수학 예들을 접한 다음에 이 영상을 자세히 공부하셔도 늦지 않으리라 생각합니다. 질문하신 부분에 답변을 드리겠습니다. 1. 1/x는 x=0에서 정의가 안되서 제외하고 다른점은 미분이 가능하지 않나요? (답변) f(x)=1/x은 x=0에서 정의가 안 되므로, f(x)는 x=0에서 불연속이고(연속의 정의에 의해), 따라서 f(x)는 x=0에서 미분 불가능하게 됩니다(불연속점은 항상 미분 불가능함을 이용). 이와 같은 미분 불가능점은 수학적으로 매우 무의미하기도 하고, 아마 이를 의도한 질문이 아닐 것이라 생각하여, 제가 연속함수라는 강력한 조건을 부여하여 질문을 수정한 다음에 더 설명을 드렸습니다. 즉 그와 같은 미분불가능점은 무의미한 얘기이므로 별로 신경 쓰지 않으셔도 되지만, 논리적으로 정확한 설명을 위해 설명해드린 것이라고 생각하시면 되겠습니다. 그리고 말씀하신 것처럼 x=0을 제외한 모든 실수 x에 대하여, f(x)=1/x는 미분이 가능합니다. 2.저는 아직 수2하는 중이라 좌우f(x)식이 다르다->그 점에서 미분이 안될 가능성이 존재한다고 생각해야 할것같네요 (답변) xa에서의 함수식이 다른 케이스들이 워낙 수능에 많이 등장해왔기 때문에, 본 영상에서는 이러한 케이스들로 말씀드린 것이지, 미분 불가능한 케이스는 항상 이렇게 식이 나눠져야 한다고 오해 없으시길 바랍니다. (물론 앞으로도 수능에서는 그러한 케이스들이 주로 등장하리라고 생각합니다.) 3. 미분법 사용조건이 모든 점에서 미분이 가능 할때 인거 아닌가요? (답변) 반드시 정의역에 속하는 모든 실수 x에서 주어진 함수 f(x)가 미분 가능할 때에만, 미분법을 쓸 수 있는 것은 아닙니다. 잘 아시는 바와 같이, 미분법을 쓴다는 것은 미분법 공식을 사용한다는 것이고요, 제가 영상에서 말씀드린 내용은 열린구간(정의역의 진부분집합일지라도)에서 미분가능한 하나의 함수식으로 표현되어 있으면, 미분법 공식을 편하게 쓸 수 있다는 얘기입니다. 주의해야 할 점은 본 영상에서도 말씀드린 바와 같이, 반드시 저러한 경우에“만” 미분법을 쓸 수 있다는 얘기가 아니라, 일단 저러한 경우에“는” 미분법 공식을 편하게 쓸 수 있다는 의미입니다. 수2 수준의 간단한 예를 제시해드리겠습니다. 열린 구간 (2,∞)에서 f(x)=x^2, 열린 구간 (-∞, 2)에서 f(x)=5x, f(2)=5과 같이 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)를 생각해보시기 바랍니다. 분명 f(x)는 x=2에서 불연속이고 미분 불가능하겠습니다. 그러나 열린 구간 (2,∞)에서는 f '(x)=(x^2)’=2x와 같이, 그리고 (-∞, 2)에서 f '(x)=(5x)’=5와 같이 각각의 열린 구간에서 미분법을 써서 구할 수 있다는 의미입니다. 즉 정의역인 실수 전체의 집합에서 미분 가능할 때만 미분법을 사용할 수 있는 것이 아닙니다. 제가 표현력이 좋은 사람이 아니다보니, 주위 선생님이나 친구들과도 함께 대화를 나눠보시길 권합니다.

네 참입니다

하지만 고교과정 넘어서는 수학개념. 여기까지 모르고 미분가능=도함수가연속 이렇게 받아들여도 수능만점받는데는 아무지장이 없답니다.미분계수정의로 풀건지 도함수로 풀건지만 케바케로 유형화연습하면 끝

@@user-uc3vr2ze7o 고교과정을 넘는 이야기는 없습니다. 미분계수의 정의는 고2때 배우니까요. 그냥 그걸로 풀면 끝인 겁니다. 수능에 앞으로 도함수가 불연속인 형태의 함수가 주어지지 않는다는 보장이 없기 때문에 님이 말한 것처럼 단정 지을 수 없습니다.

근데 미적분 교과서에 x^2sinx가 문제로 있긴 하더라고요

@@user-jg4my4ep5l 있기야 하죠 근데 2017 9월 30번처럼 미분계수로 풀려면 참 어렵습니다… 요즘은 공통과 선택으로 나뉜만큼 무조건 수2과정에서는 도함수 연속으로 풀라해요

x=a에서 연속이고 x=/=a에서 도함수가 존재하는 함수일 경우 lim x->a f'(x)값이 존재하면 f'(a)와 값이 같음을 평균값정리를 이용해 증명할 수 있습니다. 다만 이렇게 빡센 조건이 있는데도 조건 확인 안하고, 막 쓰는게 문제이고, 애초에 도함수 극한이 더 빠르지도 않습니다. 저도 해설지에 특별한 언급없이 도함수 극한을 사용하는건 정말 잘못되었다고 생각합니다

@@coindog5803 아하 특정조건을 만족하면 사용할 순 있나보군요 하나 배워갑니다ㅎㅎ