영상에서 추구하는 바는 이해하지만 제가 보기에는 조금 더 엄밀한 증명이 필요해 보이네요 채널 영상에 전체적으로 수학을 직관으로만 설명하신다는 느낌이 있어서요 물론 직관은 쉬운 풀이 방법을 생각해내는 데에는 중요한 역할을 합니다만 그 방법이 왜 성립하는지 수학적 언어로 명확히 설명해주셨음 더 좋겠어요 이와는 별개로 수학의 이미지를 좀 더 친근하게 바꾸시고 창의적인 풀이법을 소개해주시는 것 자체는 굉장히 좋다고 생각합니다 시청자들의 머릿속에 그 방법을 사고해내는 과정을 자세히 소개해주시는 것도 괜찮네요 이상 수학 좋아하는 급식의 생각이엇슴다
첫 번째 방법은 '정삼각형 내부의 임의의 한 점에서 각 변에 내린 세 수선의 길이의 합은 일정하다'라는 사실을 알고 있어야 가능한 생각입니다. 점을 옮겨도 수선의 길이의 합이 변하지 않을 것이라는 확신이 필요하지요. 물론 영상 초반에 새롭게 제시된 문제처럼 '~ 세 수선의 길이의 합은 무엇과 같을까?'라고 묻는다면 '아. 점의 위치에 상관없이 일정하다는 뜻이구나!'라고 생각할 수 있지만, 썸네일처럼 각 수선의 길이가 2, 3, 5와 같이 특정한 값으로 주어진 상황에서 면적을 구하라는 문제에서는 수선의 길이의 합이 점의 위치와 관계없이 일정하다는 사실에 대한 확신이 없다면 그러한 방법을 쓸 수 없습니다.
저는 삼각형의 세 변이 같으니 저 점을 기준으로 2,3,5인 선분을 다른 삼각형의 높이로 봤음 따라서 높이비=넓이비 라서 저 정삼각형은 10의 넓이(x변수)를 가졌다 생각했고 따라서 높이비=넓이비라고 알고 있었으니 이걸 이용하면 정삼각형의 한 선분을 밑변으로 잡았을 때 정삼각형의 높이가 10이라고 추론할 수 있었음 그 이후는 영상과 같은 풀이... 저도 영상에서 나온 정의는 까먹었지만 그래도 바로 추론해서 유도하는것도 실력인듯?
100프로 공감합니다. 미국에서 수학과 물리를 가르치는 은퇴를 앞둔 사람으로서 이편은 아주 무리가 있는 자기과시형 답안이라고 보이네요. 문제 자체에 점을 찍어 길이가 얼마냐라고 묻는 등의 힌트도 없고 이런식의 아이디어가 필요한 문제는 내가 만들어도 이분도 못풀게 만들수 있습니다. 매우 아이디어에 놀라고 존경했으나 이번은 실망이네요.
개인적으로… 삼각형 내부의 임의의 점에서 세 변까지의 수선의 길이들이 제시되어 있고 삼각형의 면적을 구하라는 물음에 대해서 “이 세 수선의 길이의 합은 어떤 값으로 일정할까?” 라는 생각을 하는 것 자체가 “정삼각형 내부의 임의의 점으로부터 세 변에 내린 세 수선의 길이의 합이 높이의 값과 동일하다”라는 정삼각형의 성질을 알고 있지 않은 한 굉장히 위험하고 부자연스러운 사고의 흐름이라고 생각합니다. 점을 마음대로 옮기는 것 또한 마찬가지고요. 하지만 그러한 성질에 대한 두번째 증명과정은 아주 유익한 것 같습니다.
이 말이 맞아요. 애초에 이 풀이는 세 수선의 길이의 합이 내부의 어떤 점을 찍어도 일정하다는 것을 먼저 증명해야 합니다. 그 다음 어떤 값으로 일정할지 찾아야 하는 순서죠. 본래 수학에서는 이런 엄밀성 없이 다음 단계로 나아갈 수 없습니다. 제시된 풀이처럼 푸는 과정 역시 조금 억지스럽다는 것을 느낄 수 있어야 합니다. 물론 두번째 풀이는 참 좋은 것 같습니다.
개멍청하네 ㅋㅋㅋㅋ 정삼각형이고, 삼각형 내부 어느 곳이든 한 점에서 각 변까지 수선을 내렸을 때 그 각 수선의 길이를 a, b, c 라 하고 정삼각형 한 변의 길이를 s라 하면 정삼각형의 넓이는 (as+bs+cs)/2 인 건 알겠지? 이는 즉 (a+b+c)s/2 가 됨. 근데 삼각형의 넓이는 (밑변×높이)/2 지? 저 정삼각형에서 밑변의 길이는 s고 그럼 세 수선의 합 a+b+c = 높이 가 당연히 도출됨. 이걸 무슨 정삼각형의 성질까지 알아야 되니 마니 하는 거부터가 수학을 외워서 풀던 수준이라는 거임. 딱 너네 같은 애들이 암산으로는 절대 못 푸는 문제라는 거지.
@@Harry_Mione 와 진짜 멍청하시네.. 그걸 누가 모릅니까 ㅋㅋ 그러니까 지금 언급하신 그 모든 과정을 생각과 논증 없이 '바로' 가정하고 적용한다면 그게 바로 외워서 푸는 수준이라는 거에요. 스스로 자폭하고 있네. ㅋㅋ 너무 웃기다. 본인 말이 얼마나 모순적인지도 모르고.
저는 정삼각형의 세 각이 각각 60도인 걸 이용해서 노란 선의 수선의 발에서 빨간 선의 수선의 발이 있는 변으로 다시 수선의 발을 내리고, 파란 선의 수선의 발에서 빨간 선의 수선의 발이 있는 변으로 수선의 발을 내린 후 세 선분이 만나는 점을 지나는 빨간 선의 수선의 발과 평행한 직선을 그은 후 만들어지는 2:1:루트3의 비율의 직각삼각형들을 이용해서 한 변의 길이를 구한 후 루트3÷4×R^2를 이용해서 구했습니다. 깨봉 선생님 풀이는 참 생각도 못한 풀이었네요 하나 배워갑니다
알고리즘 따라 왔습니다. 저는 문제 보고 아래와 같이 구했었는데 보시는 분들 다양한 접근법 알면 좋을거 같아서 남깁니다. 각 수선을 높이로 하고 정삼각형의 한 변을 밑변으로 하는 세 삼각형의 넓이의 합 == 정삼각형의 넓이 쉽게 정삼각형 한변의 길이를 x라 하여 수식화 하면 1/2x(세 수선의 길이 합) == 1/2x(정삼각형의 높이) 따라서 세 수선의 길이 합 == 정삼각형의 높이
현직 치과의사입니다. 중,고등학교때 수학을 너무너무 좋아해서 졸리면 잠깨려고 수학문제 풀고, 수학문제 다 푸는게 아까워서 다른 과목 먼저 다 풀고 마지막에 놀면서 수학문제 풀곤 했었던 기억이 나네요... 요즘 첫째 딸아이 수학 공부하는 모습을 보면 현실이 너무 아쉽습니다. 제가 했던 방법대로 즐겁게 수학을 알려주고 싶어서 같은 문제를 이렇게도 저렇게도 풀어보면서 답이 같다는 것도 알려줘보고. 어려운 문제는 2~3일 고민도 해보고 하고 싶은데~ 요즘 아이들은 문제 해결능력을 생각의 힘이 아닌 수많은 문제 유형을 풀어봐서 적응시키는 것으로 해결해버리고 있네요. 알파고가 수많은 기보를 외워서 이세돌과 커제를 이긴 것처럼요. 중 3때였나요?... 수학문제 하나가 안풀리고 머리를 떠나지 않는데 답안지보면 지는 것 같아서 일주일을 끙끙 머리속에서 앓았던 적이 있습니다. 주말에 낮잠자다가 갑자기 그 문제가 떠올랐는데 해결방법이 생각나더라구요. 그런 기쁨을 아이들에게도 알려주고 싶은데 그렇지 못한 현실이 너무 아쉽습니다. 좋은 영상 보면서 예전 생각이 나 댓글 달아봅니다. 수학적 직관이 조금만 있다면 참 문제 푸는게 쉽고 즐거운데 말이죠.
안녕하세요! 실례되지만 궁금한게 있어서 댓글남겨요. 저는 현재 고2이고 수학을 좋아했던? 사람이었습니다 선생님처럼요 ㅎㅎ..남기신 댓글이 공감이 굉장히 많이가요 전 중3때 공부를 시작해 처음엔 잘하진 않았지만 수학이 너무 좋아서 열심히 했고, 실력은 저절로 늘더라구요. 지금 생각해보면 그 이유는 그나마 할 줄 아는게 수학뿐이었고, 어느정도 머리도 따라주고 하루종일 고민하며 푼 후 오는 성취감때문이었던거 같습니다. 부모님이 좋아하시기도 했구요 ㅎㅎ.. 하지만 고2에 올라오면서 성적은 그대로 상위권을 유지중이지만 그리 즐겁지가 않아져 고민이예요..다른 자극들에 노출되어서인지 아니면 제 실력이 그리 특별하지않다는것과 저는 그리 잘하는편이 아니라는걸 깨달아서인지..수학이 그때만큼 좋지가 않아요.순수히 그때처럼 즐기고싶은데.. 제가 여쭤보고싶은건 선생님께서는 수학이 왜 좋으셨나요? 남에게서 이유를 찾는게 해답은 아니라 생각하지만서도 궁금합니다. 그리고 댓글에서 말씀하신 선생님께서 하셨던 그 즐거운 방법이 무엇인가요? 공부법인가요? 전 요즈음 꽤 좌절감을 느낍니다. 남에게는 별거아니고 한심해보일수있지만 전 그저 수학을 좋아하던 그때로 돌아가고싶어요. 마땅히 조언구할곳이 없어 여쭤봅니다. 지저분하고 긴 글 읽어주셔서 감사합니다. 좋은 하루 되셔요
@@chlwngus 먼저 질문에 대한 답을 먼저 말씀드리면 수학이 좋았던 이유는 첫번째는 숫자가 주는 확실함이 너무 좋았습니다. 정답이 명확했기 때문에 좋았습니다. 국어나 사회처럼 애매하지 않고 명확한 정답이 존재했거든요. 인문학에서는 생각의 차이에 따라 답이 조금씩 달라질 수 있는데 수학에서는 0.01 이라도 틀리면 정답이 아니니까요. 수학 문제를 틀렸다면 제가 못한거지 저와 생각이 다름을 고민할 이유가 없었습니다. 같은 문제를 여러 방식으로 풀어도 답이 같게 나오는 것을 보며 제 풀이에 대한 확신도 가지고, 개념도 잡아갔던 것 같습니다. 문제를 그리 많이 풀어보지는 않았고, 그냥 특정 유형 2~3 문제 풀어보되 다른 방법으로도 풀어보고 정답에서 문제를 거꾸로 유도도 해보면서 개념을 잡으면 넘어갔던것 같습니다. 고1 말까지는 주로 그렇게 문제를 풀었고, 집근처 지방에 있는 일반 학원에서 선행으로 고1 여름 방학쯤에 거의 다 배운것 같은데 그 이후로는 별도로 수학공부를 해본 적은 없었던 것 같습니다. 즐거운 방법이라는 것은 별것은 아니고 위에서 언급했던 바처럼 같은 문제를 여러 방법으로 풀어보면서 같은 답이 나올때 좀 더 확실히 이해가 되면서 느끼는 확신과 좀 더 어려운 문제를 생각을 충분히 해보고 풀어서 맞췄을때의 쾌감이었 것 같습니다. 그리고 무엇보다도 잘해야 즐겁습니다. 수학을 좋아하던 그때로 돌아간다는 것은 지금은 수학이 어려워서 잘 이해가 안간다는 의미일 수도 있고, 지금도 수학을 잘하지만 문제푸는 것이 즐겁지 않다라는 의미일 수도 있는데 전자라면 잘 모르는 부분에 대해 다시 천천히 한줄씩 정확히 이해 해보려고 하는 노력이 필요할것 같구요. 후자라면 학업 자체에 대한 번아웃같은데 이에대한 해결책은 저도 잘 모르겠네요. 이미 25년이상 지난 저의 학창시절 이야기인지라. 현실의 상황과 잘 맞지 않을 가능성이 높을것 같네요.큰 도움이 되지 못할것 같지만 작은 도움이라도 될까 해서 답변드려봅니다. 좋은 결과 있으시길 바랍니다.
정선스러운 답변 정말 감사합니다. 댓글 에는 작성하지 않았지만 저도 수학이 주는 명확함을 참 좋아했어요. 약 하루간 꽤 많은 생각을 했습니다. 생각을 정리해보자면 (Tmi이긴하지만) 저같은 경우 후자에 속하는거같습니다. 중3, 즉 공부를 처음 시작했을때는 수학을 풀며 보내는 시간동안 순수하게 수학을 즐겼던거같습니다. 나름의 자부심도 있었고요. 하지만 서울로 이사오고 입시에 대해 알게되며 수학을 그저 재미가 아닌 경쟁과 앞으로 나의 존재가치라 여겼던거 같습니다. 우물안 개구리라 그 자부심?은 빠르게 무너졌고 그저 잘해고싶은게 아니라 잘해야한다는 생각하에 공부했었습니다. 해결책까지는 아니지만 생각은 어느정도 정리되었습니다. 이젠 나이도 얼추 먹었으니 어느정도 부담감은 가지고 사는게 당연하고 진로에 관한 고민 등을 가지게 되는거 같습니다. 공부가 인생에 전부가 아니라지만 제가 할수있는건 이것밖엔 없는걸요 ㅎㅎ..저 정도의 능력은 흔하지만 뭐 어쩌겠습니까 그게 뭐 어떱니까 예전을 떠올리며 앞으로 조금 더 열심히 해봐야겠습니다. 예전처럼요. 아마 그때처럼만큼은 순수히 수학을 즐기진 못하겠지만 배움의 즐거움을 다시한번 느껴볼겁니다 노력할거예요. 앞으로 수학이 즐거워진다면 그건 분명 선생님의 도움이 컸을것입니다. 정성어린 조언 다시한번 감사드립니다.
@@chlwngus 치과의사된지 20년이 넘은 지금도 기억나는 순간이 있는데 수학과 교수가 꿈이라고 진로 희망을 수학과로 적었더니 수학 선생님이셨던 담임선생님께서 먹고 살기 힘드니 의대나 치대를 가는게 어떻겠냐고 하셨어요. 그 순간 잠깐 많은 순간이 들었는데 결국 이쪽 길로 들어서게 되었고 그 선택에 아쉬움은 좀 있지만 후회는 없습니다. 치과의사로 여유있는 삶을 살아서가 아니라 이미 지나간일 고민한다고 달라지지 않기 때문이예요. 어니 젤린스키의 이란 책에서는 우리가 하는 걱정 중 4%만이 우리가 바꿀 수 있는 일에 대한 것이라는 글귀가 나옵니다. 96%는 일어나지도 않고, 내가 바꿀 수 없는 일이라는 것이죠. 너무 많은 고민을 하는 것보다는 계획을 세우고 하루하루 현실에 최선을 다하면서 노력하면 그것으로 충분하지 않을까 생각해봐요. 그 이상은 내 능력밖의 일인것 같습니다. 꼭 좋은 결과 있길 바라겠습니다. ^^
내접원의 반지름을 높이로 가지는 이등변 삼각형을 세개로 만들 수 있고, 그 세 삼각형의 넓이는 정삼각형의 넓이와 같으니 내접원 반지름 X 3은 정삼각형의 높이. 그래서 저 임의의 점을 찍고 세 수선들의 합은 정삼각형의 높이다. 로 추론했는데 훨씬 쉽고 직관적인 방법이 있었네요.
저는 저 점을 기준으로 삼각형의 각 꼭짓점을 연결했을때 나오는 직각삼각형들의 넓이를 더한 값이 꼭지각의 삼각비를 이용한 넓이 공식으로 나온값과 같다는 방정식을 세워서 변의 길이를 구해서 풀었어요 물론 삼각비가 아니라 정삼각형 넓이 공식을 써도 똑같지만영 1/2bcsin60°=(2+3+5)×한변×1/2 써서 삼각형의 한변을 a라 하면 1/2a²×sin60°=5×a a≠0 이므로 양변을 a로 나눈후 정리하면 a=20 ÷ 3½ = (20×3½) / 3 삼각형의 넓이는 아까 구해둔 5a 이므로 넓이는 (100×3½) / 3
z는 삼각형 한변일때 삼각형 넓이는 1/2z^2*sin60'=sqrt(3)/4에 z의 자승, z를 밑변으로 하는 삼각형 3개의 넓이의 합과 같으니 1/2(10z)= 5z와 같음 sqrt(3)/4*z^2=5z z=20/sqrt(3) 삼각형의 넓이는 5z와 같으니 5z = 100sqrt(3)
한 변의 길이를 k로 가정한 정삼각형이면 저 임의의 점에서 각 꼭짓점으로 직선을 연결하면 삼각형 3개가 나오고 각 수선의 발은 그 3개의 삼각형들의 높이가 된다. 삼각형 넓이는 밑변×높이×2분의1 인데 각 삼각형의 밑변은 모두 k로 동일함으로 이를 묶어서 정리하면 k×(2+3+5)×2분의1 이 정삼각형의넓이가 됨으로 즉 세 수선의 합이 큰 정삼각형의 높이와 같다라는 증명이 된다 그리고 높이가 10인 정삼각형은 반으로 가르면 비율이 1:2:루트3 인 직각삼각형이 됨으로 이를 활용해 정삼각형의 한변의 길이 넓이 등을 구할 수 있다.
제가 푼것이랑 식은 같지만 접근법이 기발하네요! 저는 첫번째 식에 도달하는데 한변의 길이=a라 봤을때 1.가운데에 있는 점에서 세 꼭짓점을 잇는 세 점을 긋는다 2.그렇게 생긴 세 삼각형의 넓이는 1/2 x (3+2+5) x a 이렇게 두고 다음식은 접근법이 같습니다 님 풀이법이 많이 신기하네여 님처럼도 생각할수 있으면 재밌겠네요
각변의 길이를 x라 두고 넓이를 구하면 2가지 방식이 있음, 1. 정삼각형이므로 삼각비를 이용 높이는 x곱하기 (루트3)/2이므로 넓이는 x제곱 곱하기 (루트3)/4 2. 수선의발을 높이로하는 삼각형으로 3등분하면 밑변이 x 높이가 각수선인 3삼각형이나옴 각삼각형의 넓이를 더하면 1/2 곱하기 (2+3+5) 곱하기 x = 5x 1과 2에서 구한 넓이가 같으므로 x는 20/(루트3) 이걸 2번이 대입하면 넓이는 100/(루트3) ///// 수선의 발의 합이 높이인건 2번식을보면 1/2 곱하기 (수선의발의합) 곱하기 밑변 이걸 삼각형 넓이로 보면 높이가빠져잇음 즉 수선의발의합이 높이임,
증명과정이 매우 중요하다고 봅니다. 무작정 ‘무엇과 같을까?’ 라는 문제의 발문만 보고 어차피 어디에 점을 찍든 같은 값이겠구나 하고 아무 원칙도 없이 가운데 찍힌 점을 한 곳에 수렴시키는 그 사고 자체가 매우 위험한겁니다. 실제로 그런 편법을 통해 중학생 내신문제까지는 찍다시피해서 좋은 점수 받다가 고등학생 이후 피보는 애들 많이봤구요. (특히 수능시험) 이 영상의 핵심은 후반부 증명과정을 그림으로 보여주는 장면입니다. -지나가던 의사 올림-
이 영상은 아르키메데스의 기하 문제 풀이 과정을 잘 재현했다고 생각합니다. 물론 제가 딱히 아르키메데스의 업적을 연구한 것은 아니고 책들을 읽으며 나온 아르키메데스의 문제 풀이 사례들을 보며 비슷하다고 느낀 것뿐입니다만, 보통 아르키메데스는 가상의 저울을 만들어 알고자 하능 길이를 뜯어내 무한소의 폭이 있는 넓이가 상징하는 무게를 다른 길이와 비교해서 같은지 판단하도록 문제 구조를 바꿔 일단 정답 가능성이 높은 답을 찾고 그 다음에 후자와 같이 엄밀하지만 직관적인 답을 찾는 천재였다고 하던데, 이미 아르키메데스가 모범 답안을 여럿 보여주었기 때문에 현대에 도형을 조물딱 만져서 푸는 풀이가 나름 인터넷에서 어렵지 않게 찾을 수 있지만 그 전 과정을 보여준 영상은 드문 것 같은데 딱 이 영상이 그러네요.
공식으로 충분히 알 수있는데.. 일단 삼각형에서 높이 2인 곳을 중심으로 봐서 정삼각형의 한변을 A로보면 넓이는 A가되고 높이 3인곳을 높이 2와 1로 한개의 삼각형과 1개의 내각 사각형으로 나누면 높이2인부분의 넓이는 A여기서 내각 사각형을 잘보면 수직선으로 보면 위부분과 아래부분의 삼각형으로 나뉘고 그것을 잘보면 결국 인접 삼각형과 넓이비가 2:1이란 것을 알수있음(삼각형에서 밑변을 A:B로 나눈선을 그을때 두 삼각형의 넒이비는 A:B이다)높이 5인 곳도 마찮가지.. 그럼 정삼각형의 넓이는 A+A+1/2A+A+3/2A=5A 그런데 정삼각형의 넓이는 1/2*A*A*sin60 고로 루트3/4A2 두개가 같아야하니 루트3/4*A2=5A 양변을 A로 나누면 루트3/4A=5 고로 한변의 길이는 20/루트3 넓이가 5A이니 100/루트3 공식을 외운다고 못푸는 게 아니라 공식이 어떤 의미인지를 모르니 못푼것이라 봐야합니다. 저도 공식을 별로 좋아하지 않지만... 어느정도의 공식은 외워야하고.. 특히 그 의미를 파악해야합니다. 공식은 그 공식이 나오기까지 엄청난 고민이 있었는데 그 고민이 뭔지를 생각하지 않고 공식만 외우는 것은 저도 미친짓이라 보지만.. 무조건 적으로 공식을 배제하는 것 역시 아니라고 봅니다 참고로 공식을 사용하지 않았다면서 정삼각형에서 높이를 알때 넓이를 구하는 것도 결국 공식을 이용한 겁니다. 기본공식은 알고있어야합니다.
가운데 점에서 정삼각형의 세개의 꼭지점으로 세개의 보조선을 그으면 삼각형 세개가 나오는데 빨강 ,노랑,파랑이 세개 삼각형의 높이므로 각각의 넓이가 1. 정삼각형의 변의 길이 × 높이(빨강)÷2 2. 정삼각형의 변의 길이 × 높이(파랑)÷2 3. 정삼각형의 변의 길이 × 높이(노랑)÷2 1,2,3 삼각형의 넓이의 합이 정삼각형의 넓이와 같고 밑변의 길이가 모두 같기에 정삼각형의 높이는 빨강+노랑+파랑과 같다. 는 증명방식도 설명드립니다. 깨봉님의 틀을 깨는 설명 늘 감사드립니다.
교착점 이동은 세개의 선분 길이의 합이 같다는 가정하에 할 수 있는 증명이라 생각합니다. 세 선분의 합이 삼각형 높이와 같다는 증명으로서는 부족해 보입니다. 두번째 방법은 좋은 증명으로 보입니다. 그리고 제가 생각한 증명은 내부 점으로 부터 삼각형 끝으로 선을 그는 다면 내부에 세개의 삼각형이 됩니다. 그 세개의 삼각형 면적의 합은 정삼각형 면적이 될 것입니다. 한 변의 길이가 x라고 한다면 내부 점으로 부터 정삼각형 변과 직교하는 선을 각각 abc 라고 할 때 정삼각형의 면적은 1/2ax+1/2bx+1/2cx가 될 것입니다. 이걸 1/2(a+b+c)x로 묶을 수 있으니 정삼각형의 면적 공식 1/2hx = 1/2(a+b+c)x 가 됩니다. 즉 a+b+c = h라고 증명할 수 있습니다.
저는 높이10과 한변의 길이 루트3분의 20까지 계산해서 답이 루트3분의 100나왔는데 풀이랑 답이 다른 아유를 모르겠습니다 제가 루트3을 어디서 빼벅었을까요? 정삼각형 넓이 구하는 공식으로 구하면 풀이 값이 나옵니다만 밑변 곱하기 높이 나누기2 하면 왜 값이 다른지 모르겠습니다
아르키메데스가 증명이 아니라 도구에 불과하다고 생각했던 무한소 기하 접근 방식인데, 이 영상은 아르키메데스가 그랬듯 그것을 직관적이면서도 엄밀하게 증명하는 증명법을 같이 제시하였기에 의의가 있다고 봅니다. 가끔 수학 책에서 아르키메데스의 기하 풀이들 볼 때마다 수식을 줄줄 써서 증명하는 대수학에서는 볼 수 없는 경이로움이 느껴지는데 비슷한 것 같습니다.
어차피 이문제를 풀려면 삼각비는 무조건 들어가야 되는데 삼각비 모르면 이해하기 쉽지않을꺼같네요. 다만 영상은 그림으로 높이를 설명한거고, 수식은2a+3a+5a*1/2에서 a는 밑변이므로 높이는 10인거랑 똑같습니다. a구하려면 삼각비가 있어야 되니 뭐 뒤는 다 똑같구요. 결국 편한데로 풀면됩니다.
애초에 주어진 한 변 자체가 루트가 아닌 이상은 절대로 상등하지 않을 식입니다. 님이 말한 주어진 세 변을 각각 a, b, c라고 가정하고, 주어진 한 변을 셋 중에서 임의로 a라 하면 님이 말한 대로의 식은 (a+b+c)a/2=√3a²/4가 되겠네요. 2a(a+b+c)=√3a²이면 a+b+c = √3a/2고요. a+b+c가 높이를 뜻하는데 만약에 a가 삼각형의 한 변이라고 했다면 이마저도 틀립니다. 애초에 그랬다면 a,b,c 모두 삼각형의 세 변을 뜻하므로 둘레가 되어야 했을 테죠. 본론으로 돌아와서, 결론부터 설명드리자면 a+b+c의 값이 님이 말한 세 변 중 한 변의 √3/2가 되지 않는 이상 성립하지 않는 식이라고 할 수 있습니다. "각 변"하고 "한 변"이 삼각형의 세 변에서의 변인지, 삼각형 내부의 한 점에서 세 변에 내린 수선의 발까지 이은 세 변에서의 변인지는 판단할 수가 없겠으나, 둘 다 옳은 식은 아닙니다.
저는 이렇게 풀었습니다. 먼저 정삼각형의 한 변의 길이를 a라고 하고, 선들이 만나는 점에서 정삼각형의 세 꼭짓점까지 선분을 그으면 밑변의 길이가 a이고 높이가 각각 5, 3, 2인 세 삼각형이 나옵니다. 따라서 정삼각형의 넓이(면적)을 1/2a(5+3+2)=5a라고 할 수 있죠. 삼각비를 이용하면 정삼각형의 한 각의 크기는 60°이므로 1/2×a^2×sin60°=(a^2×√3)/4 이것도 정삼각형의 넓이죠. 따라서 5a=(a^2×√3)/4, 20a=a^2×√3, a^2×√3-20a=0, √3a(a-20/√3)=0 이때 a는 양수여야 하므로 정삼각형의 한변의 길이 a는 20/√3 즉 20√3/3이 됩니다. 이거를 위에서 구한 정삼각형의 넓이=5a 에 대입하면 정삼각형의 넓이는 5×20√3/3=100√3/3 이 나오게 됩니다.
기본개념의 중요성이죠 정삼각형이 무어냐 수직 수선이 무어냐 삼각형의 높이란 이런 아주 기초적인 개념이 머릿속에 정확한 용어로 완벽하게 체화되어 있지 않으면 절대로 저런 식으로 생각을 풀어내지 못합니다 그래 저게 공부지 창의력은 저렇게 생기는거지 라고들 하실테지만 저런 응용력의 밑바탕엔 기초개념들의 숙지, 이해, 암기가 반드시 깔려 있어야 한다는 걸 아는 사람들은 거의 없습니다
좀 더 무식하지만 쉬운 방법이 하나 더 있음. 1. 세 꼭지점에서 중간에 점까지 선을 그은 다음에 그걸 다 잘라버리면 밑변의 길이가 똑같고 높이가 각각 2, 3, 5인 직삼각형 3개가 나옴. 그리고 그 각각의 삼각형의 넓이를 구한 다음에 다 더해버리면 됨. 2. 앞에서 잘라버린 직삼각형 3개를 밑변에 평행하게 쌓으면 그게 정삼각형의 높이가 됨. 왜냐하면 삼각형은 밑변 곱하기 높이 나누기 2이니까 직관적으로 높이 2인 박스 하나 3인 박스 하나 5인 박스 하나 이렇게 3개가 쌓여 있는 거고 그 넓이를 다 더한 다음 한꺼번에 2로 나누면 되는거임. 3. 앞에서 쌓은 삼각형 탑을 좀 더 직관적으로 전환을 할 수 있음. 삼각형은 밑변과 마주보는 꼭지점을 밑변과 평행하게 이동시키면 나오는 삼각형들은 모두 면적이 같음. 그렇다는 이야기는 층층이 쌓인 삼각형의 높이 꼭지점을 한쪽으로 밀어서 직각 삼각형을 만들고 그렇게 만들어진 세로 선을 다시 밑변으로 해서 마주보는 세 꼭지점을 바닥 한점으로 모으면 높이가 10이고 밑변은 처음 정삼각형의 한변의 길이인 삼각형이 됨. 이건 다른말로 하면 처음 정삼각형의 높이가 10이 되는거임. ㅋ
보자마자 한거랑 다르네. 가운데점에서 꼭지점 다 연결하면 높이가 3,2,5인 삼각형 세개가 나오니까... 정삼각형의 변을 a라하면 면적 S는 S=1/2 X (3+2+5)a=5a 정삼각형의 높이를 h라하면 면적 S는 S=1/2 X ah 니까 h=10이니 끝. 나한텐 이방법이 더 탐구적인듯.
저는 이렇게 풀음 임의로 찍은 점에서 저 세 선분의 길이가 무언가랑 같다고 못을 박았으니까 정삼각형의 꼭짓점에서 각 변에 수직으로 내리면 높이가 되는 변 1개만 남으니까 높이가 10이구나 했음 ㅋㅋㅋㅋ 근데 루트가 나와서 넓이 구하는거 삼각비 이용해서 하는거라 늙어서 이제 암산 안됨
기하 문제를 개인적으로 안좋아하는 이유는, 그냥 사람이 착각하기 쉬워서임. 특히 닮음, 합동 이런 조건을 실수로 잘못 따지는 순간 바로 수렁에 빠짐 대수 문제는 문자와 식으로 딱딱 표현되고, 식 조작도 매우 기계적으로만 가능하므로 사람이 실수하기 쉽지 않음. 저 문제도 기하문제로 바꿔서 증명할 수도 있겠지만, 개인적으론 그냥 한 변의 길이를 l로 놓고 정삼각형의 면적을 통해 대수문제로 바꾼 뒤 푸는 것이 더 신뢰감 있다 생각함
