@@user-er9of3hg4w 일상어도 물론 그런 경우가 많지만 학술용어는 특히 적절한 번역이 힘든 경우가 많아요 게다가 일정 깊이 이상으로 깊은 내용들은 영어로 된 자료가 대부분이고 그 자료들을 보며 공부를 하다보니 해당 용어를 한국어로 뭐라고 부르는지 모르기도 하고요. 심지어 대한수학회에서조차 적절한 번역을 제공하지 않는 용어가 많아서 이런 부분은 어쩔 수 없다고 생각합니다
잘 이해 못해서 찾아본 결과 조금 곁들이면 T(1,sqrt(3)) 이 주기적이면 T(0,1) 도 주기적이어야 되고 T(1,0)도 주기적이어야 하는데 T(1,0)이랑 T(0,1)이 각 타일간 거리 d 가 같은 d가 존재 하지 않아 T(1,sqrt(3))이 주기적이지 않아 비주기적이라는 설명임. 참고로 T(1,0)이랑 T(1,1)이랑 T(0,1)은 아인슈타인은 아니고 나머지 타일에 대해 아인슈타인이 성립함.
13:30 부터 이해가 안가요... 타일과 타일 사이의 거리가 왜 꼭지점까지의 거리로 표현이 되는지, 그리고 Tile(0,1) 의 그림에서 같은 모양의 두 타일이라도 놓여진 방향에 따라서 Tile(0,1) 에서 Tile(1,0)으로의 변환에 의해 꼭지점이 이동하는 방향이 달라서 거리는 무조건 달라지는거 아닌가요...
한가지 이해가 안가는 부분이 있는데요 저 모순을 통해 애니메이션의 모든 조각들이 다 아인슈타인 조각이 된다는게 증명됐다고 하셨는데 아무리 생각해도 14:44 의 Tile(0,1)의 경우에도 반복되는 타일로 만들 수 있어서 아인슈타인 조각이 아닌 것 같아요... 반복되지 않는 구조로 만들어졌다는게 절대 반복되는 구조로는 만들 수 없다는 의미는 아닐텐데 어떻게 전부 아인슈타인 조각이라는게 증명됐다는건지 잘 모르겠어요.
2021년 8월에 발표된 연구 결과를 다룬 기사입니다. 이 연구는 욕실 타일의 패턴에 대한 수학적인 문제를 다루었는데, 이 문제는 1966년에 제기된 "Danzer 문제"로 알려져 있었습니다. 이 문제는 평면 상에 여러 종류의 타일을 배치할 때, 모든 경우에 타일의 패턴을 만들어낼 수 있는 최소한의 타일 집합을 찾는 문제입니다. 이 문제는 최소 타일 집합의 존재 여부와 구성에 대한 질문으로 시작되었고, 그 이후에는 최소 타일 집합이 구성될 때 이 집합의 크기에 대한 문제로 변형되었습니다. 이번 연구에서는 Danzer 문제의 일종인 "Periodic Tiling 문제"에서의 해결 방법이 제시되었습니다. 이 연구 결과는 최소 타일 집합의 구성에 대한 문제를 해결함으로써 Danzer 문제와 관련된 다른 수학적인 문제들에도 영향을 미치게 됩니다. 이러한 연구 결과는 타일의 패턴과 구조에 대한 이해를 높일 뿐만 아니라, 재료과학이나 암호학 등 다양한 분야에서도 활용될 수 있을 것으로 기대됩니다.
정말 기발한 발상이네요. 맨 마지막에서 각도 60도짜리 격자가 왜 두 선분이 길이비로 sqrt 2를 허용하지 않는지 궁금하실 분들을 위해 간략한 증명을 첨부합니다. 먼저 제2 코사인법칙에 의해 격자 위의 선분의 길이는 정수 x, y에 대해 sqrt (x^2 + xy + y^2)으로 표현됩니다. 이제 귀류법을 이용하기 위해 격자상의 어떤 두 선분의 길이비가 sqrt 2라고 가정해봅시다. 이는 (모두 0은 아닌) 정수 x, y, z, w가 존재하여 x^2 + xy + y^2 = 2(z^2 + zw + w^2)을 만족함을 의미합니다. 여기서 x, y가 모두 홀수라면 좌변은 홀수, 우변은 짝수가 되므로 일반성을 잃지 않고 y가 짝수라고 할 수 있고, x' = x + y/2, y' = y/2로 치환하면 x'^2 + 3y'^2 = 2(z^2 + zw + w^2)을 얻습니다. 다시 z' = 2z + w, w' = w로 치환하고 양변에 2를 곱하면 준식은 2(x'^2 + 3y'^2) = z'^2 + 3w'^2이 됩니다. 이제 복소수의 절댓값이 곱과 나눗셈을 보존한다는 사실로부터 착안하여 우리는 |(z' + i sqrt 3 w')/(w' + i sqrt 3 y')| = sqrt 2를 얻습니다. 여기에서 유리수 a, b에 대해 (z' + i sqrt 3 w')/(w' + i sqrt 3 y') = a + i sqrt 3 b로 쓰면, |a + i sqrt 3 b| = sqrt 2, 즉 a^3 + 3b^2 = 2임을 알 수 있습니다. 이 때 양변에 a, b의 공통분모를 곱함으로써 최종적으로 (모두 0은 아닌) 정수 m, n, k에 대해 m^2 + 3n^2 = 2k^2이라고 할 수 있습니다. 이제 이러한 방정식이 (0, 0, 0) 이외의 정수해를 가지지 않음을 보이면 증명이 끝납니다. 그렇지 않다고 가정해보겠습니다. 일반성을 잃지 않고 m, n, k가 모두 짝수는 아니라고 할 수 있는데, 이는 만약 m' = m/2, n' = n/2, k' = k/2가 모두 정수일 경우 (m', n', k')이 주어진 방정식의 더 작은 정수해를 주기 때문입니다. 또한 좌변과 우변의 홀짝성을 고려하면 m과 n의 홀짝성 역시 같아야 합니다. 이 때 양변을 8로 나눈 나머지를 보면 좌변은 0 또는 4, 우변은 0 또는 2가 됩니다. 따라서 좌변과 우변은 반드시 8로 나누어떨어지며, 이것이 가능한 경우는 m, n, k가 모두 짝수일 때밖에 없으므로 모순입니다.
14:34 음.. 사실 영상을 잘 이해하지 못 했어요 연속적으로 변하는 조각들이 모두 아인슈타인이라 하셨는데 그럼 거리비교할때 쓴 변 6개짜리 정삼각형 4개로 이루어진 조각과 정삼각형 8개로 이루어진 조각도 아인슈타인 이란 말인가요?.. 만약 그렇다면 마지막 질문을 할 의도가 없었을테니 아닌것같긴한데.. 아마 '연속적으로 변하는' 을 이해하지 못한것같아요 혹시 부가설명이 가능하다면 감사할 것 같아요 이전 본 영상들은 가벼운 퀴즈 느낌이거나 예전에 생각해본거랑 연관있어서 이해가 어렵진 않았는데 이번건 뭔가 흥미롭긴한 주제인데 이해가 너무 잘못되고 있는것 같네요
설명듣고 저 도형을 저렇게 배치했을 때 반복되지 않는다는 건 이해가 됐는데, 왜 저 도형이 반복되는 패턴을 허용하지 않는지 잘 모르겠어요.. 사다리꼴 예시처럼 다르게 배치했을 때 반복되는 경우가 존재할 수도 있지 않나요? 아니면 저 구조가 저 도형으로 만들수 있는 유일한 타일링인가요??
영상 끝 부분에 정리하는 내용에서, 삼각형 4개로 이루어진 도형과 삼각형 8개로 이루어진 각각의 도형에서 격자점의 거리에 대한 경우의 수가 교집합이 없다라고 해서 이게 아인슈타인이다 하는데 서로 다른 도형의 격자점까지의 거리의 집합이 교집합이 없다는 이유로 그 도형이 아인슈타인이 된다라는 건 어떤 연관성이 있는거죠? 다른 관점에서 질문해보면 하나의 도형이 반복되지 않는다라는 것을 증명하려고 하는데 왜 서로 다른 형태의 두 도형의 격자점간의 거리의 교집합이 있냐 없냐로 판단할 수 있는거에요?
본래의 tiling이 periodic하다고 가정하면 양 극단의 degenerate tiling들도 periodic해야 하고, 특히 같은 period를 가져야 합니다(이는 변환 과정 내내 유지되는 불변량입니다). 그러나 sqrt 2배 차이가 나는 정삼각형을 기본으로 하는 두 tiling은 결코 같은 period를 가질 수 없다는 것이 이 귀류법 논증의 골자입니다.
실제로 Tile(0, 1)과 Tile(1, 0) 사이의 모든 tile들은 전부 einstein임을 보일 수 있습니다만, 변의 개수는 여전히 13개입니다. 그리고 두 번째 댓글에 대해 말씀드리면 이 영상의 골자가 바로 임의의 (1, sqrt 3)-tiling이 aperiodic하다는 것입니다. 첫 번째 관찰은 Tile(1, sqrt 3)으로 *어떻게* tiling을 하든 연속적인 변환을 통해서 (1, 0)-, (0, 1)-tiling으로 만들어줄 수 있으며 만약 처음의 tiling이 d-periodic했다면 이렇게 얻은 (1, 0)- 및 (0, 1)-tiling 역시 d-periodic하다는 사실입니다. 두 번째 관찰은 (1, 0)- 및 (0, 1)-tiling이 각각 정삼각형을 기본 조각으로 하고 있으며 두 tiling에서의 기본 정삼각형 크기 차이가 sqrt 2배라는 사실입니다. 그러나 이는 모순이 되는데요, sqrt 2는 각도 60도짜리 격자에서 두 선분의 길이비로 표현될 수 없기 때문입니다. 따라서 애초에 (1, sqrt 3)-tiling이 periodic하지 않았음을 알 수 있습니다.
그럼 혹시.. tile(1,0) 과 tile(0,1) 사이의 모든 타일들이 아인슈타인 인가요?? 13:20 부분에서 제가 이해하기로는 동일한 면적을 가진 도형을 연속적으로 위와같이 변형했을때, 반복한다고 가정한 도형A,B의 무게중심을 각각 (x1,y1),(x2,y2) 라고 잡고 변형 후의 두 무게중심의 x,y축 변위를 각각 a,b라고 가정한다면 변형 후 도형 A,B의 무게중심은 (x1+a,y1+b),(x2+a,y2+b)가 되어야해서 라고 생각했습니다. 제가 이해한 방법이 맞다면 tile(1,0)부터 타일(0,1)로 변할때 그 사이의 모든 도형들이 아인슈타인이어야 할 듯한데 언뜻 보기에 tile(1,0)과 (0,1)은 아인슈타인이 아닌것(?)같아 보여서요
(1, 0)과 (0, 1) 사이의 tile들은 einstein이 맞습니다. 다만 댓글에 적으신 부분은 수학적으로 유의미한 논점은 아니구요. Key lemma는 결국 임의의 (a,b)-tiling이 연속적 변환을 통해 (1,0), (0,1) tiling이 될 수 있다는 것이거든요. 이는 오직 a, b가 0보다 클 때에만 보장이 됩니다. 변의 degenaracy가 발생하지 않은 상태여서 perturbation을 주어도 tiling property를 잃지 않기 때문입니다. 반면에 (1, 0)-tiling이 주어지면 거기에서 small perturbation을 주어 (1, e)-tile들로 교체했들 때 여전히 그것이 tiling이 된다는 보장이 없습니다. 실제로 (1, 0)-tile로 periodic tiling을 해버리면 perturbation을 할 때 tiling property가 깨지게 됩니다.
@@Naerumi 감사합니다. 대충 이해한듯 합니다. 결국 (1,0)과 (0,1) 사이의 타일들은 연속적으로 변환되는 와중에 tiling property가 유지되고 양 극단에서만 깨지게 되는데 (1,0)과 (0,1) 두 극단에서의 tiling property가 달라진다는 점이 중요한 것이라고 이해하면 될까요?
@@user-co4rr3wx2l 네, 요지를 제대로 파악하신 것 같아요. 참고로 이런 현상이 발생하는 이유는 중간에 낀 tile들은 tiling하는 방식에 제약이 생기는데(서로 길이가 다른 두 종류의 변들이 존재해서 같은 길이의 변들끼리 맞물려야 함) (1, 0)- 또는 (0, 1)- tile들은 tiling의 자유도가 높아서 예를 들어 (1, epsilon)-tile로의 small perturbation을 주었을 때 여전히 tiling이 된다는 보장이 없어요.
당연하지만 직접적인 연관은 없습니다. 다만 tiling에서 인접한 두 tile이 항상 색이 다르도록 하려면 몇 가지가 필요하겠는가 하는 질문을 할 수 있겠군요. 임의의 connected tile로 구성된 tiling에 대해 그것의 adjacency graph가 planar이므로 사색문제에 의해 4-colorability가 보장되는데, 과연 더 적은 수로도 칠할 수 있을지 등의 질문이 일단 떠오르네요.
@@iLsilvers12 증명까지는 귀찮고 간단한 사고실험을 해보시면 이해가 되실거에요 가장 극단적인 예시로 사각형을 기준으로 삼각형과 오각형을 비교해보시면 넓이와 형태가 n-1보다 n+1이 n에 더 가까워 보이네요 질문이 무엇을 기준으로 n에 가깝냐고 판단하는지 기준이 없어서 명확하게 정의내리기는 힘들지만요 😢
