재무관리를 배우다가, 어린 시절에 억, 조, 경, 해, 자, 양, 구, 간, 정, 재, 극을 넘어 '무량대수'까지 달달 외웠던 추억이 불현듯 떠올랐습니다. 그러다가 다시금 버튼이 눌린 듯이 '가장 큰 수'에 대한 막연한 호기심이 생겼고, 열심히 인터넷 서핑을 해보았는데... 테트레이션이니, 커누스 윗화살표 표기법이니, 그레이엄 수니 하는데, 아무래도 이를 바로 이해하기에는 어려움이 있었습니다. 그러던 중에 선생님의 강의를 듣게 되었고, 정말 이해에 큰 도움이 되었습니다. 지적 호기심을 충족시켜주셔서 진심으로 감사드립니다.
예전 제가 대학생때 궁금했던 내용이네요. 수학자들이 이정도 학문기초를 만들어논 걸 알게 되서 좋았네요. 저도 대학생(10년전) 때 1차연산자 2차연산자 ... 에서 N차로 일반화할수 있다고 생각했고. 현재 모든 물리공식이 다 덧셈 곱셈 거듭제곱 으로 표기되는데 1.5차연산, 1.2차연산 등으로 어떤 자연상의 x와 y의 관계는 몇차 연산자 관계인지 여러 난수들을 적용해서 n 을 먼저 구해야 한다고 생각했죠
대학교에서 계산이론 과목을 들을 때 교수님이 튜링머신으로 어떤 수에 1을 더하는 기능만을 구현 하여도 더하기 곱하기 거듭제곱 그 이상까지 구현이 가능함을 보여줄 때 테트레이션이라는걸 처음 봤었는데 처음엔 테트레이션이라는걸 만들어서 어따쓰지라고 되게 작위적이다 라고 생각했는데 실제로 쓰는구나
2의 다섯번째 테트레이션 값은 200352993040684646497907235156025575044782547556975141926501697371089405955631145308950613088093334810103823434290726318182294938211881266886950636476154702916504187191635158796634721944293092798208430910485599057015931895963952486337236720300291696959215610876494888925409080591145703767520850020667156370236612635974714480711177481588091413574272096719015183628256061809145885269982614142503012339110827360384376787644904320596037912449090570756031403507616256247603186379312648470374378295497561377098160461441330869211810248595915238019533103029216280016056867010565164675056803874152946384224484529253736144253361437372908830379460127472495841486491593064725201515569392262818069165079638106413227530726714399815850881129262890113423778270556742108007006528396332215507783121428855167555.........(더깁니다. 댓글에 넣을 수 없어서 여기에서 끊겠씁니다.) 파이썬으로 계산 했어요. (이 계산이 가능하다니..)
선생님 근데 테트레이션과 하이퍼 연산들은 왜 뒤에서부터 연산을 하나요? 보통 앞에서 부터 차근히 연산하지 않나요? Ex> 3의 3테트레이션 = 3의 (3의 3 승)승 = 3의 27승 != 27의 3승 이 테트레이션을 3의 27승 대신 27의 3승으로써 취급하면 어떤 문제가 있나요? 그냥 개인적으로 저 뒤에서부터 연산하는 거에 무슨 의미가 있는지 궁금합니다.
2의 5번째 테트레이션 값 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797240254054481327483917941288264238351719491972097971459368875371987291308317380339110161285474153773777159517280841116275971863849242228023734419254699919836721921312870355853079669427134163910338827543186136434901009431974090473310144762998617254244233556122374357158259333828049862438924982227807159517627578471094751190334822414120251826887137281931042534781961284401764795315050571107229743145699152234516431218486575757865281975648435089583847229235345594645212158316577514712987082259092926556388366511206819438369041162526687100445602437042006637090019411855571604720446436969328500600469281405071190692613939939027355345455674703149038860220246399482605017624319693056406663666260902070488874388989074981528654443818629173829010518208699363826618683039152732645812867828066013375000965933646251460917231803129303478774212346791184547913111098977946482169225056293999567934838016991574397005375421344858745868560472867510654233418938390991105864655951136460610551568385412174598018071331636125730796111683438637676673073545834947897883163301292408008363568259391571131309780305164417166825183465736759341980849589479409832925000863897785634946932124734261030627137450772861569225966285738579055332406418490184513282846327092697538308673084091422476594744399733481308109863994173797896570106870267341619671965915995885378348229882701256058423655895396903064749655841479813109971575420432563957760704851008815782914082507777385597901291294073094627859445058594122731948127532251523248015034665190482289614066468903051025109162377704484862302294889667113805556079566207324493733740278367673002030116152270089218435156521213792157482068593569207902145022771330999877294595969528170445821819560809658117027980626698912050615607423256868422713062950098644218534708104071289176469065508361299166947780238225027896678434891994096573617045867862425540069425166939792926247145249454088584227261537552600719043363291963757775021760051958006938476357895868784895368721228985578068265181927036320994801558744555751753127364714212955364940843855866152080121150790750685533444892586932838596530132720469706945715469593536585717888948623332924652027358531885333709484554033365653569881725825289180566354883637437933484118455801683318276768346462919956055134700391478768086403226296166415606675081537106467231084619642475374905537448053182260027102164009805844975260230356400380834720531499411729657367850664214008426964971032419191821212132069397691439233683747092282677387081322366800869247034915868409911530983154120635661231875043054675369832308279664574176208065931772656858416818379661061449634325441117069417002226578173583512598210807691019610522292638797450490192543119006205619065774524161919131875339840493439768233102984658933183730158095925228292068208622303325852801192664963144413164427730032377922747123306964171499455322610354751456312906688543454268697884477429817774937101176146516241836166802548152963353084908499430067636548061029400946937506098455885580439704859144495844450799784970455835506854087451633164641180831230797043898491905065875864258107384224205911919416741824904527002882639830579500573417114870311871428341844991534567029152801044851451760553069714417613685823841027876593246626899784183196203122624211773914772080048835783335692045339359532545648970285585897355057512351295365405028420810227852487766035742463666731486802794860524457826736262308529782650571146248465959142102781227889414481639949738818846227682448516220518170767221698632657016543169197426512300417573299044735376725368457927543654128265535818580468400693677186050200705472475484008055304249518544952672472613473181747421800785746934654471360369758841180294080396167469462885406791721...
@@gingerpepper9811 최대 x가지의 시작점을 가지고 이전 트리에 포함되지 않는 최대한 많은 트리 그래프들을 그릴 때, 그 개수가 TREE(x)입니다. TREE(1)=2, TREE(2)=3, TREE(3)은 너무나도 커서 그레이엄 수 따위는 쿼크만도 못한 수준으로 만들어 버리죠.
엄밀하지는 않지만 제가 부분적으로 확장했습니다. e의 0.5테트레이션'승'(이하 e^^0.5)=약 1.6463 e^^1.5=5.1877 e^^2.5=179.0493 e^^3.5=575,60865,89136,62981,76820,34172,03470,00000,00000,00000,00000,00000,00000,00000,00000,00000 (,는 자리 구분 기호(5자리 마다)) e^^-0.5=0.49852 e^^-1.5=-0.69611 지수 연산을 유리수로 확장할 때 루트(곱셈을 유리수 '번' 하기)가 필요하듯이, 테트레이션 연산을 유리수로 확장할 때 지수 연산을 유리수 '번'하는 것이 필요합니다. 따라서 저는 가장 단순한 경우인 e^x를 0.5번 하는 경우를 테일러 급수를 이용한 직관으로 계산하였고, 그 결과를 표로 만들어 유튜브에 올렸습니다. 물론 더 계산을 하려고 했지만, 모종의 이유 때문에 중단하기로 했습니다. 유튜브 영상 : ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-wTtf3CN7frg.html
제 방법의 장점은 Error function(정규분보 함수와 비슷한 듯)와 같이 단순히 연속적인 함수를 '훔쳐서' 대충 0, 1, 2, 4, 16, 65536, ...을 '잇는' 게 아니라 e^x의 테일러 급수의 계수가 모든 차에 대해 양수라는 점을 이용해서 직관적으로 f(f(x))=e^x일 때 f(x)의 테일러 급수의 계수도 양수라고 추론했다는 점입니다.
제가 테트레이션을 유리수 지수에 대해 확장하려고 했고, 엄밀하진 않지만 e의 0.5테트레이션'승'(이하 e^^0.5)=약 1.6463 e^^1.5=5.1877 e^^2.5=179.0493 e^^3.5=575,60865,89136,62981,76820,34172,03470,00000,00000,00000,00000,00000,00000,00000,00000,00000 (,는 자리 구분 기호(5자리 마다)) e^^-0.5=0.49852 e^^-1.5=-0.69611 이라는 것을 발견했습니다 관련 영상 : ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-wTtf3CN7frg.html
6*2=12에 대해서 생각해보십시오. 42는 6의 약수를 모두 가지고 있습니다. 6^2=36도 마찬가지로 36은 6의 약수를 모두 가지고 있습니다. (6^2)^2도 마찬가지로 6의 약수를 모두 가지고 있습니다. 2^(2^6)은 하지만, 6의 약수를 모두 가지고 있지 않습니다. 지수 연산은 '반복된 곱셈'인데 곱셈이 가지고 있는 성질인 '약수 보존'을 가지는 왼쪽 중심 계산이 낫지 않을까요? 다른 말로 하지면 오른쪽 중심 계산은 원래 수가 가지고 있던 정수론적 성질은 지나치게 파괴합니다. 또 x+0=x x*1=x와 같이 덧셈과 곱셈 모두 항등원을 가지고 있습니다. 이는 반복 계산을 해도, (x+0)+0=x, (x*1)*1=x과 같이 값이 변하지 않습니다. 만약에 우리가 왼쪽 중심으로 생각한다면, x^1=x와 같이 항등원을 가지고 있으며 반복 계산을 해도 (x^1)^1=x와 같이 값이 변하지 않습니다. 하지만, 모든 x에 대해 a^x=x가 성립하는 실수 a는 존재하지 않습니다. 위에서 말했던 항등원에 0.01을 더해보겠습니다. x+0.01은 x와 비슷합니다. x*1.01은 x와 비슷합니다. 이렇게 덧셈과 곱셈은 항등원에 아주 작은 변화를 주었을 때 연산의 결과도 원래의 결과에서 아주 조금 변합니다. x^1.01은 x와 비슷합니다. 하지만 실수 b에 대해 b^x가 일반적인 x와 비슷한 경우가 존재합니까? 또 예시를 들어보겠습니다. 모든 실수 x에 대해 (x+1)+1=x+2 (x*2)*2=x*4 덧셈과 곱셈의 반복은 또 다른 덧셈과 곱셈으로 표현될 수 있습니다. (x^3)^3=x^9 3^(3^x)=c^x를 만족하는 c가 존재합니까? 결론 : 오른쪽 중심 지수 계산은 '수의 원래 성질을 보존하는' 덧셈과 곱셈의 느낌에 맞지 않기 때문에 왼쪽 중심 지수 계산이 더 자연스럽습니다.
@@studyhanyo451 두 번째로 수론적 성질(약수, 혹은 배수)에 대해 보겠습니다. 3^7은 3의 배수, 7^3은 3의 배수가 아닙니다('3을 약수로 가진다' 대신 '배수이다'가 더 간결). 이러한 예를 통해 거듭제곱 a^b(b는 자연수)은 언제나 a의 배수이지만 언제나 b의 배수가 되지는 않음을 추측할 수 있습니다(자명하지만). 테트레이션에 대해서도 동일합니다. 기존의 정의는 "a^^b 는 b의 배수이다."라는 성질을 만족하지 않지만 "a^^b는 a의 배수이다."라는 성질을 만족합니다. 님의 정의도 같습니다. 님의 정의에 따라 계산하면 7^^3=(7^7)^7=7^49 은 7의 배수이지만 3의 배수가 아닙니다. 따라서 배수 성질에 대해서도 이점이 없습니다. 그리고 예시로 (6^2)^2와 2^(2^6)을 드셨는데 그건 테트레이션으로 어떻게 표현합니까???
@@studyhanyo451 이제 님의 정의가 적절하지 않은 이유에 대해 말하겠습니다. 거듭제곱 이전 연산에서는 결합법칙이 성립했기에 계산 순서가 상관없지만 거듭제곱은 그렇지 않으므로 계산순서가 정해져 있고 x^y^z^w 라 하면 보통 x^(y^(z^w))로 계산하지 ((x^y)^z)^w라고 하는 사람은 없습니다. 후자의 경우 x^(yzw)가 되어 지수의 곱셈이 되어버리기 때문입니다. 이런 계산 순서상 테트레이션은 원래대로 하는 것이 자연스럽습니다. 님이 정의한 테트레이션은 후자를 따르므로 결국 '지수의 곱셈'을 반복하는 것과 같고 a^^b = a^(a^(b-1)) 가 되어 결과적으로 거듭제곱의 반복이라고 할 수 없는 형태가 되버립니다. 그냥 지수에서 거듭제곱한거죠. 덧셈, 곱셈, 지수연산 모두 그 전 연산(덧셈의 경우 다음 수 연산)의 거듭으로 구성되는 것과 대조적입니다. 하이퍼 연산이 어떤 연산의 거듭을 통해 얻는 연산이라는 의미(한국어위키백과-하이퍼연산-정의의 마지막 문단 참고)인데 님의 정의는 애초에 하이퍼연산이 아니게 됩니다.
@@kimsuhyeokn차원 초입방체의 2^n개의 꼭짓점을 모두 연결한다. 그리고 이 선들을 2가지 색을 사용해 칠한다. 이 때 n이 충분히 크다면 칠하는 방법에 상관없이 동일 평면상에 있는 네 점을 연결한 선(딱지모양)이 모두 같은 색인 것이 반드시 존재한다. - 나무위키에 따르면 그 충분히 큰 n차원이 그레이엄수라고 합니다.
현업 게임 개발자인데, 집에서 혼자 게임 자체엔진에서 수학 라이브러리를 개발중 역행렬을 만들어주는 함수를 구현하다 막혀 행렬식과 역행렬에 대해 검색을 하였고, 우연히 이 채널을 알게 되었습니다. 관련 영상을 보다 강의 퀄리티에 감탄하여 댓글을 남깁니다. 유튜브에 질 좋은 영상을 올려주셔서 감사합니다. 개인적으로 사원수에 대한 강의도 있나 찾아보았는데, 썸네일만 보고 못 찾은건지 없어서 아쉽습니다^^ 그리고 행렬식이 어떻게 저런방법으로 정의가 되어서 가역행렬을 판별할 수 있는지 어디에 검색하면 알 수 있는지 방법이 있나요? 구글링으로 암만 찾아봐도 그냥 행렬식만 나오지... 어떤 원리로 행렬식이 나오게 되었는지는 안나오네요
@@ld2629 BEAF 함수의 엔트리 입니다 유명한 TREE (3) 이 이곳에 해당합니다 참고로 3개짜리 엔트리는 {a,b,c} 이렇게 있으면 a b 사이에 c만큼 ^ 가 있습니다 가령, {3,3,8} 이라하면 3^^^^^^^^3 이됩니다 {3,6,9} 이면 3^^^^^^^^^6 이 되겠죠? 참고로 계산못합니다 ㄷㄷ 3개 엔트리 까지는 알겠는데 4개 엔트리부터는 외국사람들조차 이해하기 어려워하더라구요 더군다나 우리나라 사람들이 BEAF 함수 자체를 아시는분이 몇 안될것 같기도 하고... 나중에는 BEAF 함수가 비레지언 (Region) 형 레지언형으로 한계도 있다고 하던데 저는 거기까지 이해하는것은 무리입니다 ㄷㄷ 말이 길어졌습니다 요약하면 {3,3,62,2} = ㅈㄴ 크다 입니다... 부실한 답변 ㅈㅅㅈㅅ 합니다
2^25536이 플랑크 길이에 대한 우주의 직경길이의 비율보다도 훨씬 큽니다. 그레이엄수는 2^25536을 지수로 2^25536번 쌓은 수를 다시 지수로 그 수만큼 쌓는걸 쌓은 수만큼 반복한 것보다 훨씬더 지수를 많이 쌓은 상수입니다. 플랑크 길이에 10^1000자리수를 표기한다고 쳐도 우주에 존재하는 모든 플랑크길이를 꽉 채우고도 훨씬 모자랍니다.
![[지식in] 엄청 큰 수의 표기법](/img/logo.svg){kind=logo}
