선생님 그러면 치환적분할 때 dx나 dt를 곱하기처럼 연산하는 것도 엄밀히 말하면 틀린건가요? 예를 들면 integral(2x+1)dx 에서 t = 2x+1, 미분하면 dt/dx = 2, dt = 2dx , 따라서 integral(2x+1)dx = integral(2t)dt
@@user-ub2cj5pn8e 교과서에서는 dt/dx=2이므로 integral(2x+1)dx = integral(t/2)dt 라고만 나와 있습니다. 물론 실제로 현장에서 가르치시는 많은 선생님들께서 '마치 dx를 곱한 것처럼' dt=2dx라고 설명하시기는 합니다. 제가 드리는 설명도 엄밀하지 못한 것임을 미리 알려드립니다. 중학생이나 고등학생이시라면 혹시 "미분(differential)"이 무엇인 지 본 적 있나요? 교과서에는 미분계수(differential coefficient), 미분한다(differentiate)는 있어도 미분의 정의는 없습니다. 참고로 우리가 미분과 적분처럼 전체적인 과목명(?)을 말할 때의 미분은 differentiation입니다. 미분(differential)이 무엇인 지 알기 위해서 미분계수를 살펴보겠습니다. f'(a)를 변화율의 관점에서 바라본다면 x=a에서 x의 변화량과 y의 변화량을 비교하는 것입니다. 기하적으로 바라본다면 x=a에서 접하는 기울기가 f'(a)인 직선이 있겠죠. 이때 a와 '충분히' 가까운 점에서는 'f(x) ≈ 접선'이라고 볼 수 있습니다. 예를 들어, 납득하기 힘드시겠지만 x의 값이 1, 2 변함에 따라 y의 값은 '대략' 1f'(a), 2f'(a)만큼 변한다고 볼 수 있습니다. y의 변화량은 x의 변화량의 f'(a)배에 가깝다고도 할 수 있을 겁니다. 이를 굳이 어렵게는 Δy ≈ f'(a)Δx라고 씁니다. 하지만 이 식은 확실히 같은 것이 아니라 거의 가깝다이기 때문에 수학자들이 별로 좋아하지 않습니다. 그러므로 dy를 y의 미분(differential)로 정의합니다. dy = f'(x)dx 질문하신 치환적분의 경우도 미분으로 설명할 수 있습니다. dy = f'(x)dx라는 말은 곧 dy(y의 변화량)가 dx(x의 변화량)의 f'(x)배라는 거니까요. 적분은 변화량과 함숫값의 곱을 더한 것입니다. (이 말을 처음 보신다면 고등학교 미적분 교과서의 정적분의 활용 단원을 참고해주세요.) 예시로 말씀하신 t = 2x+1에서 dt = 2dx입니다. t로 변수를 바꾼 후 x의 변화량 대신 t의 변화량을 이용한 것입니다. 물론 말씀드렸다시피 이는 엄밀한 설명이 아닙니다. 제가 많이 부족하다 보니 엄밀한 것을 알려드릴 수 없는 점 양해 바랍니다. 혹시 저보다 더 잘/제대로 알고 계신 분이 있다면 지적 바랍니다. 제게도 좋은 공부가 될 것 같습니다. 답변이 도움이 되길 바랍니다. 감사합니다.
항상 학교다니면서 수학이 뭔가 잘못되었다고 느껴졌습니다. 많은게 생략된거 같고 그저 외우라고만 하는데 도저히 인과관계가 성립되지 않는 식이 많았거든요 그런게 이런 약속같은 암호들을 아무런 설명도 없이 그저 외우라고 하니 그랬던거 같네요; 지금이야 재미로 듣는거지만 그 당시 너무 이해가 안되고 뭘 모르겠는건지도 모르는 기분에 스트레스 받았던걸 생각하면 정말 화가납니다
수학 교육 과정은 잘못 된게 없습니다. 여기 나오는 과정들은 대학 과정이에요. 중학생 때 배우는 원의 넓이가 왜 파이×반지름의 제곱인 줄 아시나요? 무리함수의 정적분 결과값이라 그런겁니다. 그럼 정적분을 하려면 미분을 알아야하고, 미분을 알려면 극한을 알아야합니다. 극한을 알려면 무한소도 등장하는데 이게 모순임을 알려면 엡실론-델타 논법.즉 극한의 엄밀한 정의까지 다뤄야겠죠? 그럼 중학생한테 정적분을 설명해야 할까요? 아니면 그냥 일단 외우고 넘어 가라고 해야 할까요? 님이 나이가 들면서 사고력이 커지고 이해력이 늘어나서 그렇게 된건데...사실 학생 때 이런 시각으로 수학을 바라보는 학생들이 상위권 학생들입니다. 고등학교까지의 수학 교과서를 살펴보면 그 당시에 설명할 수 있는 것은 최대한 설명하되, 학교 수준 초과인 경우를 생략하고 넘어가는 겁니다.
오 저는 수학과 졸업생인데여 예전에 전 수학식들을 머리속에 그림으로 상상하며 공부를 하는식이었는데 그래서 미적분학을 좋아했어요. 해석학이랑 상위개념 복소함수론 등등 재밌게 공부했었는데 위상수학은 너무어려웠어요. 저의 공부법에 매치하는게 힘들어서 되게 어렵게 공부했었던 기억이 나네여 ㅋㅋ
맘 잘 추스렸는지요. 다시 영상 올려주셔서 진심으로 고맙습니다! 유명세를 타면 긍정적인 반응뿐만 아니라, 비판 비난까지도 받기 마련이니까요. 일부 부정적 평가에 너무 정신적으로 매몰되시지 않으셨으면 합니다. 주제 넘게 말이 길었네요^^ 항상 수학에 관한 지적 호기심을 만족시켜주는 영상 감사합니다, 이상엽 선생님~
이과 지식에 관심이 많은 문과 재수생입니다 특수상대성이론을 시작으로 해서 천체물리학에도 관심을 가졌고, 물리학자들의 언어를 이해하는 과정에서 선생님들을 자연스레 수학에도 관심을 갖게 되었습니다. 정확히는 수학 자체에 흥미를 가진 것이 아니라 천체물리학을 이해하기 위한 수단적 가치로서의 관심이었겠지만요. 매일 공부가 끝나고 집에 오는 길에 선생님 영상 보면 그동안 찾아보면서 이해하지 못했던 것들이 하나둘 풀리어 이후로도 계속 선생님 영상 찾게 됩니다. 심지어는 궁금했던 것과 유리된 다른 것을 알고자 영상을 보기 시작했음에도 그런 경우가 잦습니다. 선생님의 영상에서 알게 되는 지식이 참인지의 여부는 저는 알지 못합니다. 아마 수학적 지식이 깊지 않은 사람들의 언어로 수학을 알려주려 하시다 보니 그런 폄훼를 받으신 거라고 생각합니다. 선생님이 옳은 지식을 전달해주셨다고 굳게 믿고 있거니와,만에 하나 그렇지 않더라도 선생님은 대개의 사람들에게 딱딱하게 여겨지는 수학을 일상의 언어로 풀이해주셨고, 저를 포함한 많은 사람들에게 수학이 재미있는 학문임을 알려 주셨습니다. 깊이 감사하고 있습니다. 부디 그런 폄사에 흔들리지 않고 무엇보다도 행복하셨으면 합니다. 사족입니다만, 세상엔 자기의 인생이 하찮아 보여서, 자기보다 잘 살고 있는 것처럼 보이는 사람들을 끌어내려 자신과 같은 위치에 놓는 것을 낙으로 삼는, 사회에 하등의 쓸모도 없는 이들이 있습니다. 그들의 언사에 상처받지 않으셨으면 좋겠습니다.
![[지식in] dy/dx 는 분수일까 아닐까?](/img/logo.svg){kind=logo}
