Calcul de limite : CHALLENGE 2 

😂😂

On a commencé par "tend vers l'infini" sur tous les termes donc on sait qu'à partir d'un moment ils ne sont pas nuls.

Bonne idée c'est ce qu'il faut normalement faire, malheureusement ça ne fonctionne pas dans ce cas précis, on est obligé de faire la méthode de la vidéo Quand on factorise on tombe sur 2x - 2x (j'exclue la racine carré qui a pour limite 1 pour simplifier le calcul) donc une forme indeterminé infini-infini. Jusque là tous vas bien il suffit de factoriser, sauf que cela donne x (2-2), donc x fois 0, une nouvelle forme indéterminée (precision: c'est juste parce que ça fait 0, pour tout les cas où on a autre chose que 0 c'est bon)

(Nouvelle precision: je suis en terminale donc si cela fait référence à une technique utilisé post bac je m'en excuse 😅)

@@charlesd7886 effectivement y'a une technique après avoir factorisé mais c'est du post-bac, ça s'appelle le développement limité !

Super! Bon courage pour le test 😊💪🏼💪🏼

C'est vraiment facinant les maths .Bonne chance à toi!

Oui c’est ce que je ferais aussi

Excellente idée !

😄😄 toujours !

Ici la limite est en +infini donc on peut oublier les DLs usuels, en tout cas sans changement de variable

@@julienmaurel8056 Oui bien sûr, pas directement comme un bourrin, mais simplement si on factorise tout ça par 2x, on se retrouve rapidement avec des DL usuels en 0 et ça simplifie pas mal :)

@@Colin_Alaska Oui c’est vrai !

Quand il a pas mis de valeur absolue, j'ai direct pensé à ce cas aussi... Faut le préciser.

Quand x tend vers +infini, x est positif donc c'était très clair et très évident.

@@mamiesimone1119 c'était clair mais pas évident. Beaucoup d'élèves lorsqu'ils voient racine sur le x², ils disent directement que ça fait x ce qui n'est pas vrai. C'est pourquoi je m'étais permis d'intervenir sur l'importance de la valeur absolue qu'il fallait mettre d'abord. Merci🙏🏾

x n'est pas nécessairement positif. En revanche il l'est a partir d'un certain rang puisqu'il tend vers + infini, d'où l'abus de langage en omettant la valeur absolue. Mais franchement ce genre de détails ce n'est vraiment pas dramatique, ça ne rend pas la preuve non rigoureuse.

C'est précisé à 4:55, et l'énoncé du problème est clair : on cherche une limite quand x tend vers + l'infini.

Le théorème de L'Hopital n'est pas utile ici. Pour t'en servir il faut déjà te mettre sous la forme d'un quotient de forme indeterminé infini/infini ou 0/0. De plus, tu dois vérifier que ton numérateur et ton dénominateur soit dérivable. Ce qui est s'embêter par rapport à la voie bcp plus simple proposé par la vidéo. Concernant ta remarque sur les conditions d'existences, dans un exercice toutes les limites que tu devras calculer seront dans l'un des cas suivant : pas défini en ce point par exemple lim x->0 de 1/x ou une limite en +inf/-inf. Il n'est donc pas nécessaire de prouver l'existence de la limite dans ce genre d'exercice même si en réalite dans un exercice plus avancé tu dois étudier ta fonction avant de calculer les limites.

Putain, pareil pour moi Lol.

😂😂😂 … et la limite positive de rien, c’est quoi ? Ben le néant. Tout simplement 🤣🤣🤣

Quelle classe

Faut avoir un peu de Respect pour notre pays Haïti au lieu de haïti haïti avec petit "h" c'est terrible !

Un développement limité ? Tu es sûr de toi ?

​@@alainlucas9781 oui : t'as même pas besoin de changer l'expression en fraction : 2x[sqrt(1-3/4x+1/4x²)-1] et tu fais le développement limité de la racine : 1+0,5*(-3/4x+1/4x²) +o(-3/4x+1/4x²) = 1-3x/8 +o(1/x) en réinjectant tu obtiens que ça vaut 2x(1-3x/8 +o(1/x) -1) = -3/4 +o(1)

@@romaindemarly127 t'as fait une typo, c'est pas 3x/8 mais 3/8x ^^

@@romaindemarly127 Tu fais un changement de variable pour te ramener en 0... Ok oui, j'ai compris... Merci

Oui il l'est

Oki merci :)

Genre fin d'épisode de série télé américaine devant tenir dans 42' (ou même 39' parfois), on expédie la fin et on reste sur sa faim!

Oui il faut commencer par remarquer que tout tend vers l'infini donc on est tranquille...

Bien sûr bien sûr c'est même beaucoup plus simple, mais la notion de développement limité n'est pas, à ma connaissance, au programme au lycée.

@@Colin_Alaska merci. C'est vrai que je n'ai pas vérifié.

Par forcément, elle peut se résoudre très facilement avec les équivalents, qu'on a apprend après la terminale. Mais si on s'en tient au programme de lycée, c'est vrai que l'encadrement et la quantité conjuguée sont à privilégier.

Parce que tu utilises ce qu'on appelle des equivalents. Sauf qu'il y a une règle en maths c'est qu'on ne peut pas sommer les équivalents donc ici il faut être plus rigoureux. Par contre tu peux factoriser par 2x, ça te donne un équivalent en 2x × (-3/2×4×x) = -3/4

@@cedriccoulon4647 ha ok je comprend mieux mon erreur. Merci pour l’info

J'abonde dans le sens du commentaire précédent, car il faut savoir que c'est une erreur d'utilisation de mots que de dire "quand x tend vers l'infini, l'expression sous la racine tend vers 4x²"... Mathématiquement ça veut rien dire, une limite où une variable serait encore là : puisque du coup c'est quoi la valeur de cette variable maintenant ? Après, sans parler d'équivalents (peut-être ne les as-tu pas encore vus), il faut bien faire attention à ce que tu écris. Tu as choisi de décomposer la limite en somme de limites si j'ai bien compris. Donc il faut que tu calcules les 2 limites (la racine et le -2x) séparément pour recombiner après (si c'est possible), et pas calculer un semblant de limite pour le terme de gauche, ne rien faire pour celui de droite, redire qu'en fait c'est une seule et même limite et paf ! obtenir 0... Là c'est un mix de je sais pas trop quoi et ça donne un résultat faux. En clair, tu dis : lim[x -> +inf] ( √(4x²-3x+1) - 2x ) = lim[x -> +inf] ( √(4x²-3x+1) ) + lim[x -> +inf] (- 2x) = +infini + (-infini) Et là tu tombes sur une forme indéterminée... tu es bloqué et ne peux pas conclure !

C'est une bonne idée, mais je pense plutôt que tu voulais dire factoriser par 2x. Si tu connais les équivalents, ça se résout en une ligne. Sinon tu vas encore devoir faire les quantités conjuguées, et cest quand meme pénible...

Normalement c'est ce qu'il faut faire, mais dans ce cas non car cela fait: 2x - 2x (la racine a pour limite 1 je l'enlève pour simplifier), soit une forme indéterminée infini-infini Donc x(2-2) si on factorise (technique normalement utilisé) mais on se retrouve avec un x fois 0, donc forme indéterminée 0 fois l'infini que l'on n'a pas dans les autres cas (exemple: ça marcherais si c'était -3x) Voili voilu, il y a sans doute d'autres méthodes post bac mais en terminal c'est pour cela que l'on ne peut pas

@@charlesd7886 tu ne dois pas trouver 2x-2x: l'erreur est que tu as calculé la limite d'un terme(ou partie) de toute une expression ex , ce qui est illicite. f(x)= 2x[ rc(1-3/(4x)+1/(4x^2))-1] Or rc(1+h) ~ 1+h/2 pour h=-3/(4x)+1/(4x^2) négligeable par rapport à 1. Ainsi f(x)~ -3/4 +1/(4x) ---->-3/4 en +infini Mais en respectant le programme de terminale, il n'y a pas mieux que d'utiliser la quantité conjuguée. On obtient alors: f(x)=Num/Deno où Num= x(-3+1/x) , x>0 Deno=x[rc(4-3/x+1/x^2)+2] En simplifiant par x, on obtient : Limf(x)= (-3)/ ( rc(4)+2) =-3/4. Noter que l'approximation rc(1+h)~1+h/2 est vue parfois même 1ère en math et aussi en physique.

C'est vrai qu'en France, je vois peu de personnes en parler de cette fameuse règle de l'Hôpital, et c'est plutôt le monde mathématique anglophone qui l'utilise ultra-souvent... Enfin quoi qu'il en soit, cette règle s'applique à des quotients, lorsque le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers l'infini ou vers 0. Donc en tant que tel, sur √(4x²-3x+1) - 2x non on ne peut pas l'appliquer. Mais dès la deuxième étape, quand on fait apparaître le quotient via la multiplication par le conjugué, oui on peut ! Ça va juste être chiant de dériver le terme avec une racine... et justement généralement on n'aime pas trop appliquer cette règle quand il y a des racines car en dérivant elles ne "disparaissent" pas (puisque, avec u une fonction, [√u(x)]' = u'(x) / (2*√u(x)), et donc si c'est la racine qui "casse les pieds" ça nous avancera pas...) ! Pour te le montrer, on a bien : √(4x²-3x+1) - 2x = ( √(4x²-3x+1) - 2x ) * ( √(4x²-3x+1) + 2x ) / ( √(4x²-3x+1) + 2x ) = ( 4x² - 3x + 1 - 4x² ) / ( √(4x²-3x+1) + 2x ) = - ( 3x - 1 ) / ( √(4x²-3x+1) + 2x ) Et justement, le numérateur tend vers +infini quand x tend vers +infini et le dénominateur tend aussi vers +infini quand x tend vers +infini. On peut donc appliquer la règle de l'Hôpital !

@@4444alexandrem J'ai utilisé cette règle pour obtenir la limite sans passer par l'expression conjuguée, il suffit de factoriser l'expression comme 2x * (sqrt(1-3/4x+1/4x²) - 1) et considérer que 2x = 1/(1/2x) pour avoir numérateur et dénominateur tendant vers zéro. Après il suffit de dériver numérateur et dénominateur puis de recomposer l'expression en retransformant le dénominateur obtenu 1/(-1/2x²) en -2x² et multiplier le tout: -2x² * (3/4x²-2/4x3) * (1/2) * (1 / sqrt(1-3/4x+1/4x²)) = (-3/4+1/2x) / sqrt(1-3/4x+1/4x²). Le nouveau numérateur tend vers -3/4 tandis que le dénominateur tend vers 1.

En physique : "pour x très grand"

Cest bon jai compris

On peut faire encore plus rapide 2x* [ (1+ (1-3x)/4x²))*0.5 -1] ~ 2x * ( 1 + (1-3x)/8x² -1) = (1-3x)/4x ~ -3x/4x = -3/4

Bonsoir, c'est parce que vous tombez sur la forme indéterminée ∞-∞ qui ne donne pas nécessairement 0.

@@maximebenech3571 ce n'est pas indéterminé si c'est 2x-2x=0

Ce que vous avez fait permet d'indiquer la méthode à utiliser (factorisation ou forme conjuguée)

j'ai procédé de la même façon c'est quand même plus rapide.

@@tititite Oui après faut le savoir l'équivalence de la racine carrée et on voit pas ça au lycée je crois

Attention à la somme d'équivalent. Là ça marche mais en théorie il faut passer par un DL.

@@zengdar4556 Oui bien sûr j'ai pas précisé car ce serait plus long et surtout plus compliqué pour ceux qui ne connaissent pas mais en faisant un dl ça marche exactement pareil 😉

C'est pck on a des outils plus simples pour évaluer des limites Des outils qu'on voit en post bac..