Nouvelle équation type Olympiade de mathématiques. Résoudre 3ª − 3ᵇ = 234 avec a et b des nombres entiers. Cette vidéo fait echo à celle-ci du même état d'esprit 👇 • OLYMPIADE DE MATHÉMATI...
Wow ta résolution est vraiment élégante et visuelle merci pour l’astuce j‘ai moi même ajouté 1 de chaque coté après avoir factorisé 234 et divisé à gauche et à droite par 9 pour utiliser les logarithmes comme log’1= 0 et log 27 = 3 log 3 je me suis retrouvé avec un système dans lequel a - b = 3 et l équation de départ
Très bonne explication rigoureuse. J'avais deux autres méthodes moins rigoureuses mais plus rapides. La première, j'ai décomposé 234, ce qui donnait effectivement 2x9x13, donc 3^2 était inclus, et il fallait regarder 26. Or 26 c'est évidemment 27-1, donc 234 devenait 3^2 x (3^3 - 1) ce qui en développant donne exactement. 3^5 - 3^2. La deuxième, dans ce genre d'exercice, 3^a sera obligatoirement la puissance de 3 juste au-dessus du résultat (234). En dessous, le résultat devient négatif et au-dessus, l'écart devient trop grand entre 3^a et 3^a-1. Ici, bien entendu, il s'agit de 243 ou 3^5. Puis il restait 9 soit 3^2. Mais mathématiquement parlant, il vaut mieux démontrer le résultat.
Tu étais bien parti mais tu n'as pas vu l'idée qui permettait de conclure rigoureusement. Voici ma solution : D'abord, on remarque que 234 est multiple de 9 donc on divise tout par 9 pour se ramener à l'équation : 3^(a-2)-3^(b-2)=26. On va juste poser c=a-2 et d=b-2 et résoudre la nouvelle équation : 3^c-3^d=26. Puisque la différence est positive ça veut dire que c>d. Si on suppose que d est au moins égal à 1, alors c aussi, et donc 3^c et 3^d seraient tous les deux divisibles par 3 et donc le premier membre aussi. Mais ce n'est pas possible car le second membre n'est pas divisible par 3. Cela montre que la seule possibilité est que d=0, et on se retrouve alors à devoir résoudre : 3^c=27 soit c=3. Donc en revenant aux inconnues d'origine on a la solution : a=5 et b=2.
@@italixgaming915 Oui bien entendu, maintenant, s'il s'agit d'une olympiade, en général, il est aussi demandé aux participants de trouver la solution assez rapidement, donc lorsqu'on arrive à deviner la solution, cela peut permettre de répondre à toutes les questions, car les oltmpiades se passent dans un temps limité.
Bonjour, Ces différents 'problèmes' m'amuser beaucoup et maintiennent mon 'cerveau' en éveil (je suis à la retraite). Pour celui-ci mes réflexes m'ont amenés à retrouver les racines de 234, soit 3x3x2x13. Donc 3puissance b ne pouvait qu'être 3x3 (pair + pair égale pair et 3 puissance entier impair d'où le moins 1) Ensuite 26+1 = 27 donc 3x3x3. Qq minutes Bonne journée à tous
Bonjour, Très bonne analyse des données au départ, mais ensuite il manque un élément de raisonnement pour éliminer b=1 qui est de constater que 78+1=79 n'est pas divisible par 3
Alors en fait étant loin d’une utilisation régulière et rigoureuse des maths dans ma vie quotidienne, sur ce genre d’équation je passe par la determination par essai successif de la puissance la plus proche du résultat, soit 3^5=243 pour trouver le premier terme, puis le second par différence 9, soit 3^2.
C'est exceptionnel ! Une question "hors maths": Avec quel matériel enregistres-tu le son et l'image. Le son est particulièrement bon. Quel éclairage? Merci d'avance et on ne se lasse pas :) :) :)
Pour ce genre d'exercice, on peut passer en base 3, car 3^n devient trivial à écrire (un 1 puis n 0). 234 s'écrit 22 200 en base 3, c'est 100 000 - 100, soit 3^5 - 3^2.
Si ça avait été un signe + dans l'équation je serais moi aussi passé en base 3 mais là il y a un - et ça met la démo par terre. Car il y a un truc que tu n'as plus : tu ne peux plus invoquer l'argument de l'unicité de l'écriture d'un nombre en base 3 pour dire que la solution est unique. A la place, j'ai tout divisé par 9 et je me suis retrouvé à résoudre 3^c-3^d=26. Et là j'ai utilisé le fait que le deuxième membre n'était pas divisible par 3 pour en déduire que d=0.
3^a = 234 + 3^b a = log3(234 + 3^b) On test les valeur de b car a>b a = log3(234+3^1) = log3(237) = log3(3*79) = pas entier a = log3(234+3^2) = log3(243) = log3(3^5) = 5, avec b=2
Merci beaucoup pour vos efforts Je suis marocain, je n'arrive pas à comprendre une personne qui parle le français très très rapidement, je dois ralentir le son de 25%😅😊
il est possible d'effectuer une resolution instantanée , on cherche la puissance de 3 immédiatement superieure à 234 , ici 3^5 =243 convient , par difference avec 234 on trouve 9 qui est 3 au carré et voila
Je me suis demandé si on pouvait résoudre ça en travaillant en base 3, et en fait, oui. C'est la même logique que le calcul binaire (il ne faut pas oublier le complément à 1 pour le nombre négatif). Je ne sais pas si c'est plus simple, mais c'était rigolo.
Pour ma part, j'ai employé une propriété qu'on oublie trop souvent quand on fait des exposant c'est que x^0+x^1+x^2+....+x^n est stricte inférieur à x^(n+1). Du coup, pas de prise de tête, je calcul les exposants de 3 jusqu’à avoir la première valeur strictement plus grande de 234. Du coup : 3^1=3 3^2=9 3^3=27 3^4=81 3^5=243 et là je suis plus grand que 234. Du coup, 243-234=9 et 9/3=3 donc 3^5-3*3=3^5-3^2=234. En soit, multiplier par 3, c'est pas compliqué. x*3 c'est x*2+x. Par contre, on aurait mis 7^a-7^b=4941258, j'aurais utilisé la méthode de la vidéo (si jamais c'est 7^8-7^7). D'ailleurs, chose marante avec les addition des exposants c'est que pour les 2^n, on sait que la somme de 2^0 à 2^n sera égale à 2^(n+1)-1. Avec 3^n, la somme de 3^0 à 3^n est égale à [3^(n+1)-1]/2 Avec 4^n, la somme de 4^0 à 4^n est égale à [4^(n+1)-1]/3 Idem avec 5^n, [5^(n+1)-1]/4 Je n'ai pas cherché a prouver la formule mais si quelqu'un l'a, je suis preneur. En tout cas, il me semble bien que la somme de x^0 à x^n est égale à [x^(n+1)-1]/[x-1]
Bonsoir ! Quand j'ai vu la vignette, je me suis dit "Mince, y'a pas de règle avec les soustractions". Du coup, je suis parti de 234 qui est divisible par 9. Petit calcul au brouillon : division euclidienne, je trouve 234/9 = 26. Du coup : 234 = 9 X 26 234 = 3^2 X (27 - 1) 234 = 3^2 X (3^3 - 1) 234 = (3^2 X 3^3) - (3^2 X 1) 234 = 3^5 - 3^2 Conclusion : a=5 et b=2 Mais c'est peut-être moins rigoureux que de partir du membre de gauche.
J'ai galéré avec la fonction logarithme pour tenter de faire descendre a et b, et je me suis perdu dans les calculs. 😮💨 Faut vraiment que je révise cette fonction je dois mal l'utiliser.
Par croissance des puissances de 3, on a nécessairement a>b. Si a est plus grand que 5, alors b vaut au plus 5 et 3^a-3^b>=3^6-3^b>=3^6-3^5=486>234. Donc a vaut au plus 5. Si a est plus petit que 5, alors 3^a-3^b
Joli, et c'est un approche plus large, mais je suis un flemmard donc: 9^2=81 (un par cœur de base) 3*81=243 cool on est bien proche, et la différence avec 234 est de 9. 3*9^2 -3^2=234 donc 3^5-3^2=234 a=5 b=2
Très intéressant, mais pourquoi ne proposez-vous jamais une décomposition classique en facteurs premiers ? C'est peut-être plus scolaire, mais ça rend bien des services. Dans ce cas-si, on trouve très rapidement que 234 ne peut être un multiple que de 3^2, et d'aucune autre puissance de 3.
Pour moi le plus simple est de tester dans un premier temps a la main les puissance de 3, en commençant par trouver la première puissance plus grande que 234 : 3x3=9,9x3=27,27x3=81,81x3=243. On a de la chance, ici ca marche tout de suite, on voit que 243 = 234 + 3x3, donc a=5 et b=2. On peut aussi trouver des solutions non-entières a ce genre de problèmes en les ramenant a des polynômes, c'est un classique.
Ne t'embête pas, divise tout par 9 dans l'équation d'origine. Tu te retrouves avec une équation du type 3^c-3^d=26. Tu remarques que pour que le premier membre ne soit pas multiple de 3 il faut que d=0 et là tu as fini. Beaucoup plus rapide que la technique de galérien du monsieur.
Notons quand même au passage que 3^t-1 peut être aussi multiple de 3 ; il suffit de prendre t=0 dans l'exo ce n'est pas le cas parce que t>0 mais c'est mieux de le préciser.
Je sais que ce n'est pas une solution, mais pour être rigoureux il n'aurait pas fallu tester b=1 avec 234=3X78 ? Cela aurait ramené à une contradiction avec 3^a=3X79 avec à entier, mais rien ne le dit avant
Belle approche aussi, je ne l'avais pas vue celle là :) Je me disais simplement que ça valait le coup d'être traité d'une façon ou d'une autre (j'ai peut être loupé dans la vidéo)
Super interessant Mais par contre, on a le droit de transformer l'exposant comme ca. Je comprends pour faciliter mais je ne saisi pas ce raisonnement pour facilter la tache
De manière un peu différente, pour avoir toutes les solutions dans R, on peut résoudre comme ça : 3^a - 3^b = 234 3^a = 234 + 3^b ln(3^a) = ln(234 + 3^b) a*ln(3) = ln(234 + 3^b) a = ln(234 + 3^b) / ln(3) a = ln(26*(3^2) + 3^b) / ln(3) a = ln(3^2(26 + 3^(b-2))) / ln(3) a = (ln( 3^2 ) + ln(26 + 3^(b-2))) / ln(3) a = (2*ln( 3 ) + ln(26 + 3^(b-2))) / ln(3) a = (2*ln(3))/ln(3) + ln(26 + 3^(b-2))/ln(3) a = 2 + ln(26 + 3^(b-2))/ln(3) Ainsi, avec cet dernière formule, on peut constater que a tend vers 2 + ln(26)/ln(3) lorsque b tend vers -∞. On peut aussi facilement remarquer la solution entière en modifiant légèrement la formule : a = 2 + ln(3^3 -1 + 3^(b-2))/ln(3) Or ln(3^3)/ln(3)=3*ln(3)/ln(3)=3 Ainsi il faut trouver b, tel que 3^(b-2) = 1, soit b=2. On a alors a=2+3=5.
3^(a) - 3^(b) = 234 → on sait que : a > b 3^(a + b - b) - 3^(b) = 234 → on factorise le plus petit : 3^(b) 3^(b) * [3^(a - b) - 1] = 2 * 3 * 3 * 13 3^(b) * [3^(a - b) - 1] = 3^(2) * 26 → on en déduit que : b = 2 et que : 3^(a - b) - 1 = 26 3^(a - b) = 27 3^(a - b) = 3^(3) a - b = 3 a = 3 + b → et comme : b = 2 a = 5
J’ai toujours du mal à comprendre pourquoi on n’enseigne plus la décomposition en facteurs premiers. Ici, on trouve aisément: 234=2*3*3*13 et la solution arrive toute seule : b=2, t=3 donc a=5. Pour moi cette décomposition est une des bases de l’arithmétique (nombres premiers, PGCD, PPCM, opérations sur les fractions)
La décomposition en produits de facteurs premiers est enseignée au cours eu cycle 4 (5ème, 4ème et 3ème). C'est dommage de dire des choses sans vérifier avant... Ça propage de fausses informations...
@@filty4042 Alors pourquoi ne pas l'appliquer plus systématiquement et précisément dans ce cas, au lieu de commencer avec une division par 3. Si on l'enseigne c'est pour l'appliquer et ici c'était le bon cas
@@denisrenaldo3506 Dans la vidéo il fait sa décomposition de manière intelligente. On veut faire apparaître un 3 alors on commence par 3... Il n'y a aucun soucis avec sa décomposition. Je ne comprends pas ce qui vous dérange...
@@filty4042 si c’est ce que vous appelez une décomposition en facteurs premiers… non, il faut commencer par le plus petit 2 (autant que nécessaire), puis 3, 5,… Cela met en application les critères de divisibilité et la suite des facteurs premiers, la base de l’arithmétique, quoi. Maintenant, une touche de calculatrice suffit… mais c’est une autre histoire.
En calculant rapidement les puissances de 3, le résultat arrive très vite. On comprend que 3^a doit de toute façon être supérieur à 234. 3, 9, 27, 81, 243 Ha bah tiens 243-9 = 234, nickel
Possibilité que l'on peut exclure par une démonstration par l'absurde en testant b>2 puis b=1 puis b=0. Ou sinon on peut faire plus élégamment: On montre que 3^(a-b) - 1 est premier avec 3², du coup théorème de Gauss 13x2 divise 3^(a-b) - 1 De plus 13x2 est premier avec 3^b donc théorème de Gausse encore 3^(a-b) - 1 divise 13x2 l'un divise l'autre du coup 13x2 = 3^(a-b) - 1 Du coup tu as 3^b x13x2 = 3² x13x2 Tu simplifie et tu as alors 3^b = 3² d'où b=2
@@hedacademy Oh putain !!! Quel bourrin je fais. Je ne savais pas trop comment compter : pouvais-je dissocier le "3" de "racine de 5" ??? Bein oui, c'est une multiplication. Moi je prenais ce "3xracine de 5" pour un terme d'un seul bloc, qu'on on ne pouvait pas séparer. Des fois, je me mettrai des baffes.
3⁰=1 3¹=3 3²=9 3³=27 3⁴=81 3⁵=243 3⁶=729 a est au maximum 5 243 − 9 = 243 3⁵ − 3² = 243 a=5, b=2 maintenant je regarde la vidéo pour avoir la vraie méthode
Une résolution d’équation peut mener à plusieurs solutions. Ce n’est pas parce qu’on en a trouvé une qu’on les a toutes trouvées. Il faut montrer qu’il n’y a pas des puissances de 3 d’exposants plus grands qui ne donnent pas de nouveau 234.
@@Gryffoon Effectivement, car la fonction 3^x est croissante et ceci est largement suffisant pour prouver l'unicité de la solution proposée. Pour plus de détails : 3^a est plus croissante que 3^b si b < a. Ainsi dans ces conditions la fonction 3^a - 3^b est croissante. Finalement s'il y a une solution à l'égalité demandée cette égalité ne peut être qu'unique. Alors la solution proposée (a, b) = (5, 2) est unique !
@@Khaled.Abdelhafiz 'plus croissante que' n'est pas mathématique de plus 3^a-3^b est une fonction a deux variable on ne peut plus parler de croissance.
On peut démontrer que 3^(a-b) - 1 est premier avec 3² Du coup théorème de Gauss 13x2 divise 3^(a-b) - 1 De plus 13x2 est premier avec 3^b donc théorème de Gausse encore 3^(a-b) - 1 divise 13x2 l'un divise l'autre du coup 13x2 = 3^(a-b) - 1 Du coup tu as 3^b x13x2 = 3² x13x2 Tu simplifie et tu as alors 3^b = 3² d'où b=2
@@girianshiido oui il faut démontrer que c'est la seule mais ça se fait aussi en 10 secondes. Dès la puissance 6, l'écart entre 2 puissances successives est supérieur à 234 donc c'est terminé 🙂
Bon alors pour ne pas faire son galérien comme le monsieur, voilà comment on torche cette pauvre petite chose insignifiante... D'abord, on remarque que 234 est multiple de 9 donc on divise tout par 9 pour se ramener à l'équation : 3^(a-2)-3^(b-2)=26. On va juste poser c=a-2 et d=b-2 et résoudre la nouvelle équation : 3^c-3^d=26. Puisque la différence est positive ça veut dire que c>d. Si on suppose que d est au moins égal à 1, alors c aussi, et donc 3^c et 3^d seraient tous les deux divisibles par 3 et donc le premier membre aussi. Mais ce n'est pas possible car le second membre n'est pas divisible par 3. Cela montre que la seule possibilité est que d=0, et on se retrouve alors à devoir résoudre : 3^c=27 soit c=3. Donc en revenant aux inconnues d'origine on a la solution : a=5 et b=2. Voilà on a fini et le monsieur rame encore.
@@south5913 ma question est pourquoi ce genre de question est aux Olympiades. Tu ne vas pas me dire que 3 exposant 5 moins 3 exposant 2 était dur à trouver, car ce sont des entiers et forcément des multiples de 3. Tu cherches le multiple de 3 (réduit au fait que c’est pas 3 + 3 mais 3 x 3) et tu dois dépasser 234 puisque c’est une soustraction. 3 x 3, 9 puis x 3, 27 puis 81 puis 243….)
