definición de operación y sus propiedades: estructuras algebraicas 

Las propiedades que tiene una operación depende del conjunto en el cuál se operan. Así, todo elemento tiene un simétrico por medio de la suma cuando definimos la suma como operación interna en Z, pero no lo tiene si la definimos como operación interna en N. Que un conjunto A y una operación * formen una estructura concreta, garantiza que * definida como operación interna en A cumple unas ciertas propiedades concretas y que no cumple otras. Para operar con * en A, no necesito que (A,*) conforme una estructura concreta. Yo puedo operar en los naturales con la suma usual sin necesidad de que (N,+) tenga estructura de cuerpo. Una estructura es simplemente una etiqueta con la que señalamos algo que nos parece reseñable, en este caso las propiedaes que tiene y que no tiene una operación en un conjunto en concreto.

Bienvenido ;)

El conjunto de los pares, con la suma y el producto usual, es un anillo no unitario. Es cerrado (la suma y el producto de pares es par). Las propiedades de la suma y el producto se heredan como subconjunto de los enteros. No existe un neutro para el producto (el 1 es impar).

lo de conmutativo y lo de unitario habría que especificarlo cada vez que se hable, cada autor asume con "anillo" ambas, sólo una o ninguna de estas dos cualidades.

Muy interesantes tus cuestiones. De hecho, antes de darte mi particular punto de vista sobre lo que planteas, voy a utilizar tu cuestionario para poner a pensar a los compañeros. Voy a copiar tus cuestiones a la pestaña comunidad e intentar que pensemos todos un poco sobre esto. Mis argumentos te los daré en 15 días, después de que salga un vídeo que hay programado para el día 1 de diciembre, que tiene algo que ver con lo que yo te voy a responder. PD: la duda y no la certeza, es el camino que conduce a la verdad, así que estan andando por buena senda. Para mí es un gusto que se planteen estos "tochacos".

Te contesto por apartados: 1º.- cada vez que trabajamos sobre una estructura algebraica, aunque sepamos por donde van los tiros, tenemos que mirar los detalles de como se está difiniendo, sobre todo en cuanto a la propiedades de "conmutatividad" y a la "existencia de unidad", ya que, dependiendo del autor, se entendera que un anillo es conmutativo o no conmutativo, tiene unidad o no la tiene, muchos autores, para curarse en salud, diran "un anillo conmutativo y con unidad" y entenderan que no las tienen cuando no se especifique. Así que cuidado con universalizar la notación. 2º.- esto tiene bastante que ver con lo que deciamos en 1. claro que es arbitrario, es notación, es una etiqueta. tenemos un conjunto y una operación sobre el conjunto que cumple unas cuantas propiedades y no cumple otras cuantas. a cada situación le ponemos una etiqueta que describa cada caso. PERO en realidad no hay un orden, tenemos una casuistica y le ponemos nombre a las cosas que más utilizamos o que más de interes nos puedan resultar. 3º.- esta bien el razonamiento, pero dime un caso práctico en el que la potenciación iterada de a sobre sí misma b veces tenga aplicación... en la teoría todo se puede hacer, en la práctica hay algunas cosas que no sabemos aplicar... quizá por eso sólo hemos llegado ha definir de forma singularizada la potencia, aunque, ya te digo, que en el marco teorico si podemos encontrar de todo (mira el apartado b del ejercicio de la portada de este enlace: notodoesmatematicas.com/2020/02/27/examen-resuelto-murcia-2018-oposiciones/)... 4º.- una operación es una relación binaria, es decir, afecta a dos elementos, y cuando tenemos una operación múltiple es porque hemos realizado una composición de funciones. esto nos lleva a que las estructuras en el bloque de los grupos ya nos darán toda la información de las operaciones múltiples generadas a partir de una única operación, y las estructuras en el bloque de los anillos nos darán toda la información de dos operaciones sobre el conjunto y cómo se relacionan entre ellas (distributividad). Entonces, qué sentido tiene una nueva estructura con tres operaciones a,b,c si c no puede relacionarse a la misma vez con a y con b?. c se relacionara de uno en uno con a y con b, y la relación entre c y a y entre c y b se puede estudiar a partir de las estructuras con dos operaciones (obviamente, la de b con a tambien). Aun así, sí, existen estructuras con tres operaciones. Por ejemplo, un álgebra de Boole es un conjunto no vacio con dos operaciones binarias y una unitaria. Para que entiendas las propiedades que tiene un álgebra de Boole puedes pensar en la familia de subconjuntos de un conjunto X (piensa en un espacio muestral y en sus conjuntos, entre ellos el vacio). Estos subconjuntos, con la unión y la intersección como operaciones binarias y el complementario relativo como operación unitaria, es un álgebra de Boole. PD: no quería escurrir el bulto, es que se me había olvidado 🤦‍♀️

En mi libro de 6° de EGB los 7 primeros capítulos están dedicados a teoria de conjuntos, operaciones, estructuras, correspondencias, relaciones. ANAYA 1981. Leandro Jiménez Garcés y Antonio González Castillo. Buenísimo.

@@notodoesmatematicas , tu vídeo me ha resultado de muchísima utilidad. Está genial. En la misma línea que Pablo Gutiérrez quería comentarte que en alguna literatura contemplan otras estructuras algebraicas intermedias. Por ejemplo el MONOIDE (cumple elemento neutro pero no elemento simétrico)... (N, +) (incluyendo el 0) sería un monoide conmutativo... Sin embargo tú lo etiquetas como SEMIGRUPO... ¿Es notación caída en desuso?¿O es que hay cierta "manga ancha" a la hora de etiquetar las estructuras? Aguardo impaciente por tu opinión... Un saludo muy cordial.

@@portoandion pues mira, eso es un lapsus muy sutil. La cuestión es que MONOIDE es un poco más que SEMIGRUPO, en concreto, un MONOIDE es un SEMIGRUPO en el que existe un elemento neutro. ¿qué ha pasado entonces? pues que (N,+) tomando N con el 0 es un MONOIDE, pero tomando (N,+) con N sin el 0, es un SEMIGRUPO. En el vídeo es verdad al principio advierto que asumimos que N contiene al 0, pero como mi inercia natural es que N no contiene al 0, y resulta que parece que me terminó traicionando... Buena puntualización. ¿Manga ancha? pues si y no. hay manga ancha sobre todo a la hora de la existencia de unidad y a la conmutatividad. Por eso, en cualquier referencia debemos siempre buscar la definición de qué se entiende bajo una etiqueta concreta. Aun así, está bastante acotado qué se entiende (más o menos) bajo cada etiqueta.

eres completamente libre!

@@notodoesmatematicas gracias, verás tengo que hallar la integral doble (y*dx*dy para y>=0) de la intersección de dos circunferencias: (x-1)^2+y^2

busca en google "algebra básica" universidad de murcia, autores angel del rio y alberto del valle

@@notodoesmatematicas Muchas gracias...

Lo que entiendo es que me pide que demuestre que teniendo un grupo abeliano G, el cual tiene subgrupos, al tomar dos elementos (uno de cada subgrupo), este nuevo conjunto que es subconjunto de G, bajo la operación de G es cerrado y tiene las propiedades de un grupo, es decir que seria un subgrupo de G. Pero no entiendo como tomando cualquier elemento de estos subgrupos eso puede pasar. Porque por ejemplo puede pasar que h+k no este en (hk), también que ninguno de los dos elementos sea el elemento identidad de G.

la estructura de subgrupo implica tratar con la misma operación que el grupo. Implicitamente debes entender que en ese caso + no tiene sentido, pues F={hk}, para ser subgrupo de G debe operar con la misma operación que se esté contemplando entre hk (producto usual o lo que sea). A partir de ahí, comprueba que G tiene estructura de grupo abeliano con tal operación, es decir, es asociativa conmutativa con neutro (el que opera los neutros de cada subgrupo H y K) y simétrico (el que opera los simétricos de cada subrupo H y K)...

@@notodoesmatematicas entonces a partir de F={hk} tengo que deducir que G es un grupo abeliano. Y eso probaría que F es un subgrupo de G ¿Eso maestro?

no. G H K son grupos abelianos. a partir de ahí tienes que demostrar que F lo es

@@notodoesmatematicas gracias

las derivadas y las integrales son un límite

​@@notodoesmatematicas y sería operación interna? constituiría un anillo? En el caso de la derivada de una constante, esta sería su elemento neutro? Gracias ojalá pueda resolver mis dudas

@@pajarocesar la derivada y la integral no es una aplicación que relaciones dos elementos. es un límite de funciones. no son una operación en este sentido

@@notodoesmatematicas Gracias por la aclaración ;)

@@pajarocesar Una derivada y una integral es una operación unitaria, es decir una aplicación de un conjunto en otro. Piensa en la derivada, transforma f(x) en el límite que define la derivada. Otra operación unitaria más intuitiva quizá, es el complementario relativo de un conjunto: operamos sobre A y obtenemos A'=no(A)=X\A.