Eu odeio esses macetes na matemática. Como professor me sinto na obrigação de ensinar matemática, não ensinar a passar em alguma prova, isso deve ser consequência.
Prof. Juliana, sou professor de eng. mecânica, em métodos numéricos para fenômenos de transferência (calor e quantidade de movimento). A sua didática excelente e inteligente abordagem me inspiraram nova didáticas e abordagem. Obrigado!
22:00 Só pra deixar claro pra quem ainda ta se perguntando sobre funções não elementares. Imaginem por um instante que ninguém conheça a função ln(x). Você precisa integrar 1/x. Como ln(x) não foi definida, então você teria que expandir 1/x em séries de Taylor. Como as séries de taylor são polinomios, e a integral de um polinomio é trivial, resolveria rapidamente. Entretanto, após integrar essa expansão você teria uma nova série que não teria um nome. E quando isso ocorre, se diz que não é uma função elementar. " Essencialmente é isso... a função pode existir mas não ter um rótulo como ln(x), sen(x) etc. Então, uma função hoje que é dita não elementar, um dia pode ser rotulada por conta de alguma aplicação que possa surgir, apesar de ser muito difícil. A e^x² por exemplo é usada extensivamente em estatística, inclusive em integrais (gaussianas), e nem por isso uma forma elementar surgiu
Interessante... Lembrei de quando li sobre como Newton resolveu suas primeiras integrais, e um dos exemplos é o 1/x. Ele estava analisando a hipérbole 1/(1+x), achou uma expansão para ela em polinômio e calculou a integral que já era trivial na época, denominando a função de "logaritmo hiperbólico" -- hoje sendo equivalente a ln (1 + x). Um fato impressionante é que ele calculou cerca de 50 casas decimais de ln(1,1) de tão maravilhado que ele estava com as próprias descobertas; inclusive, ele anotava tudo no seu caderno universitário nessa época, e esses cadernos estão completamente disponibilizados na internet gratuitamente.
Por isso que eu me apaixonei por teoria de categorias. Por ser um dos tópicos mais abstratos em matemática, ela abstrai tanto os objetos que simplesmente se torna uma das ferramentas mais intuitivas de todas para encontrar relações entre as coisas e juntar um tópico no outro, porque tudo que voce precisa para definir uma categoria são objetos e setas que liguem esses objetos por alguma relação (morfismos). E disso surgem resultados absurdos! Por exemplo se voce pega a categoria C de todos os espaços no conjunto X, voce tem que como C é uma categoria, voce tem diretamente que existe um morfismo entre um espaço topológico em X e um espaço de medida em X, você não sabe exatamente a orientação desse morfismo, mas voce sabe que ele deve existir. E pasmem... de fato existe, e é A ALGEBRA-SIGMA MAIS IMPORTANTE EM TODO CONJUNTO X, que é a algebra sigma de Borel formada em cima de uma topologia em X. Só de pensar em categorias e como categorias de categorias se relacionam, voce encontra ligações extremamente profundas e complexas entre topicos desconexos e isso te ajuda a desenvolver uma intuição matemática fudida! outro exemplo na mesma categoria dos espaços é que deve existir um morfismo entre um espaço de medida em X e um espaço métrico em X... e novamente, esse é até mais facil. É a medida de lebesgue em X (no Rn é o teorema de pitagoras) que da origem a métrica das distancias em X. Ou no caso de programação, que todo monoide internamente se comporta como uma maquina de estados, ou inversamente, toda maquina de estados pode ser abstraida como um monoide. E dessa forma voce chega na conclusão que um Monad por ser um monoide na categoria dos endofuntores, pode ser visto como uma maquian de estados que transforma um endofuntor em outro (ou melhor "troca" um endofuntor pelo outro) e a função identidade f que faz essa troca, é uma transformação natural nessas subcategorias. Atualmente eu sempre abstraio meus pensamentos primeiro para uma visão de teoria de categorias e tento enxergar os problemas por cima, de forma mais abstrata e simplificada, encontrando essas relações e sabendo que elas devem existir te da um direcionamento muito forte que evita voce ficar perdido em problemas mais dificeis.
Professora Juliana , meus parabéns pelo excelente vídeo e que belíssima discussão . Atuo como monitor de cálculo 2 em minha universidade e vejo que os alunos tem realmente esse dificuldade de se encontrar no meio do processo que é calcular uma integral , no meio de tantos caminhos possíveis muitos se perdem . Os aluno muita das vezes escolhem um caminho que leva a muitos problemas e então a escolha de um mais fácil , muita vezes proveniente de por exemplo uma calculadora on-line de integrais parece não fazer sentido , levando o aluno acreditar que realmente integrar seja uma arte , já que a escolha do caminho aparenta ser aleatória , entretanto como pontuado por você não é .
Eu vejo algo parecido na Matemática mais básica, por exemplo, somar frações. Eu prefiro ensinar outras formas mais lógicas, do q só dizer o algoritmo do MMC, divide pelo baixo, multiplica pelo de cima. Mas a parte complicada é q ensinar formas menos engessadas dão mais trabalho pq fazem o aluno pensar, e apesar de ser isso oq queremos, não é o que o aluno quer se o aluno não se interessa pelo assunto. Ele quer fazer o mínimo possível pra se livrar daquilo. Vivenciei isso principalmente em aulas particulares de reforço escolar. Mas eu creio q o ensino de Matemática (especialmente no ensino básico) só faz sentido mesmo se for pra fazer o aluno pensar, mesmo q os vestibulares façam a parte "decoreba" ter um significado pragmático na vida do aluno, é uma forçação de barra que faz o aluno ter trauma de matemática pelo resto da vida.
Perfeito! Eu como dou aula para alunos mais velhos, já não tenho a oportunidade de apresentar frações pra eles pela primeira vez, mas toda vez que surge uma soma de frações no meio de alguma conta eu faço questão de transforma-las em frações equivalentes e depois somar. E o mais esquisito é que eu acho que quando eles eram crianças aprendendo frações, eles não estavam nessa de querer decorar rápido, não. Criança gosta de entender, o cinismo vem depois. Me parece que quem tem pressa são os professores. Eles até ensinam primeiro e mandam decorar depois, mas se a criança não chegou a ter tempo de aprender antes de chegar o dia da aula "agora decorem", adivinha qual parte vai ficar pra trás?
Juliana te fou os meus parabéns pelo excelente trabalho de divulgação matemática que faz. Além de muito linda e ter uma voz bonita, é inteligente e tem muita didática.
Sobre o tema do vídeo da professora Juliana, me faz lembrar de Nietzsche em "Assim falou Zaratustra: O que não me mata, me fortalece". O que poderíamos interpretar como: As derrotas ensinam mais que as vitórias, ou mesmo: devemos amar nossos "inimigos" porque são eles que nos fazem crescer.
Que aula boa. Muito bom aprender esse background do cálculo, e não os algoritmos propriamente ditos. To fazendo mestrado em Eng. Mec. e o mestre meio que nos ensina algoritmos. Na real, não vejo necessidade de usá-los, até pq eu taco no matlab e o resultado sai na hora. Mas obter todo esse conhecimento que permeia a matéria, aí sim eu dou muito valor.
Cara, tem valor em saber executar os algoritmos que na prática a gente pede da máquina, sim. Tipo, quase ninguém diria que é inútil saber multiplicar à mão, porque a calculadora faz isso. A gente continua tendo que saber como se multiplica, né? Mesmo que a gente na prática não vá fazer. Porque a mente não evolui sem aprender isso.
Eu sei que há valor professora, mas a gente já viu isso na graduação, sabe? Eu entendo a necessidade de aprende-los, até para relembrar. Mas numa área que teoricamente estaríamos desenvolvendo nossas habilidades de pesquisador, não ter apenas algoritmos mas também todo o background do que está ocorrendo alí (na minha opinião) fornece habilidades muito interessantes para a vida acadêmica que vem pela frente. Talvez eu pense assim pois vim de um ensino médio muito fraco e tudo que chega a mim que não é execução é uma grande descoberta. Jamais desmerecerei o trabalho de um mestre, afinal todo conhecimento será sempre válido. Mas, segue a opinião de um humilde estudante hehe. Grande abraço mestra, adoro suas aulas!
P.s.: Deus me livre ter apenas background e nunca os finalmente do algoritmo kkkkkk Mas sei lá, acho que apenas sinto uma sede não saciada desse tipo de conhecimento 😊
Meu professor uma vez disse que derivar é um processo mecânico. É como dar um monte de botão pra um macaco, ele vai apertar todos até achar a resposta, já derivar é como perguntar ao macaco qual botão ele apertou
É um processo mecânico, mas não o processo de apertar todos os botões até um funcionar. É o processo mecânico de apertar o botão correto para a situação que se apresenta.
@@julianamaths eu pensei que seria mais algo pedagógico, como uma forma/técnica de ensinar integral e derivada ou algo mais subjetivo sobre o tema, mas no final tratou de forma bastante real, ainda mais na última parte, mostrou um bom exemplo de como se ver a integrais, fiquei pensando nos casos da EDOs. nem sei onde classificar kkkk
Só vale a pena se for difícil. A "fera" exige um grau elevado de abstração para ser "domada" e no árduo processo de entendimento revela-se sua beleza suprema.
Olá professora Juliana, admiro muito seu trabalho aqui no youtube e gostaria de sugerir que fizesse um video, contando a sua historia com a matematica, sei que não é bem o foco do canal, mas saber coisas sobre as pessoas ao qual se admira é sempre interessante! Ótimo Vídeo!
@20:47 - Caso você trate de séries de funções (em particular, séries de potências) em algum dos seus vídeos futuros, seria bem interessante revisitar essas duas integrais, no contexto de aproximações de integrais definidas, dada uma certa tolerância.
Por mais pessoas como você no mundo! Você é a própria máquina! 😅 Terminei minha Licenciatura em 2015, e nunca mais estudei cálculo, pois não utilizo mais no dia a dia. Seus vídeos me dão uma nostalgia de outro planeta!
Na matemática você aprende a parte que aumenta primeiro e depois aprende que diminui: soma subtração, multiplicação e divisão... quando chega no calculo a brincadeira é tão zoada que você aprende pela parte que diminui a derivada e depois passa para a parte que aumenta a integral.
Muito show professora Juliana, SENSACIONAL!!!! Sempre achei meio estranho os professores ensinarem macetes para os alunos invés de mostrar de fato como as coisas ocorrem.
É a pressa e a ansiedade de ensinar demais. Não tem muito como "mostrar", o aluno tem que "sentir" como funciona, e isso ele tem que fazer sozinho. Cabe ao professor só incentivar, mas daí nasce a ansiedade de "ensinar logo".
Profa. Juliana, parabéns pela didática. Sua forma de expressão do pensamento pra mim é totalmente filosófico, ou seja, ela induz ao pensamento, a reflexão, a comparação, a memória... Enfim, o que desejo dizer é que essa linha de transmissão de conhecimento leva os alunos a pensarem por si mesmos. É uma contracorrente do imediatismo para tudo, mas somente assim conseguiremos aprender de verdade as coisas mais elementares da vida, as quais muitas vezes passamos por cima, sem perceber. Precisamos urgentemente mudar nossa forma de ensinar, talvez voltar a ter aulas em teatros abertos, como na Grécia antiga, pois acredito que é preciso que os alunos (adolescentes ou mesmo as crianças) tenham um contato mais real (concreto) com a vida ao seu redor. A matemática pra mim é extremamente abstrata, mas ao mesmo tempo através dela se constrói o concreto. Sem ela seria muito difícil chegar até onde chegamos em nossa civilização. Por isso que tenho a impressão que ela se torna um "bicho de sete cabeças" para muita gente, pois é preciso pensar, refletir, abstrair, e isso dói.... Mas sabemos que não é culpa dela (matemática), mas de muitos mestres, os quais também não tiveram bons mestres, e talvez tenham conseguido avançar na base do sofrimento e muitas vezes isso deixa marcas que não curam. Por isso da sua didática ser tão importante hoje, precisamos ensinar a pensar, seja qual for o problema e a matemática pra mim é a melhor fonte de problemas fantásticos que nos ajudariam muito a nos desenvolver. Precisamos avançar no ensino, ainda no século XVII, com os estudos de Leibniz e Newton sobre o Cálculo Diferencial, iluminaram a matemática e a física, e até hoje esses conhecimentos são apresentados somente nas universidades. Sinceramente não vejo motivos para que, ao menos as fundamentações do cálculo diferencial, com limites e derivadas, não possam ser transmitidos no ensino médio. Eu por exemplo só fui ver Séries no Cálculo 4, mas em diversos problemas da mecânica, já precisávamos de algumas expansões em série de Taylor e Laurent, e muito mais do que isso. Nossas gerações de humanos já estão nascendo com capacidades cognitivas superiores, por isso esse momento de nossa história é importante para avançar mesmo.... Um grande trabalho seu!! parabéns mesmo!
Incrível a ideia mencionada pela professora de intuição. Fui monitor a 5 anos atrás, não lembrava da derivada do arcsen(x). Mas o exemplo de x2cos(x3) a intuição foi de cara na substituição.
Parabéns!!!, derivar (divir) integrar (juntar). a=f(x+Δx)-f(x)/Δx. No limite que Δx ==>0 o coeficiente angular tende ao limite da função. Realmente os espaços vetoriais das funções é gigante e existem uma infinidade de funções não elementares.
A arte (se podemos classificar assim) está nas demonstrações que validam as propriedades/definições que podemos usar, tanto em derivadas quanto em integrais. Sobre os cálculos em si, concordo com você. Lembro quando estudei integração por partes e li, no livro do James Stewart, a seguinte sugestão: a) Tente a substituição. b) Tente por partes. c) Manipule o integrando. d) Relacione o problema com problemas anteriores. Mas em todos os casos, o que não pode faltar é a imaginação por parte dos estudantes.
Eu não acho que o termo "introdução ao cálculo" esteja bem definido. Já vi casos em que significava um curso de um semestre inteiro só falando de limites, e neste caso, socorro... Já vi outros em que significava só revisão de matemática do ensino médio, aí, bem, só não se encaixa no que você está falando. Eu acho que poderia ter só os conceitos e derivada/integral de polinômios. Seria legal.
Sempre aprendi que o Cálculo Integral tem como propósito, como o próprio nome indica, calcular, por exemplo, a Área Integral abaixo de uma determinada Curva expressa através de uma determinada função (também se podem calcular volumes de revolução, como sabem). Por isso é que o sinal de Integração é um S estilizado. Esse S não é mais do que o sinal de Soma. Isto é, se eu efetuar a Soma Integral das partes de uma determinada Área eu obtenho a Área Integral dessa Superfície. Eu posso calcular a Área Integral de um Retângulo se souber os valores do seu comprimento e largura. Por exemplo a Área Integral de um retângulo com comprimento = 10 e largura = 5 é igual a 50. O problema surge quando não estamos a falar de linhas retas do tipo y = 5. Eu posso calcular o exemplo anterior do retângulo, utilizando o Cálculo Integral da seguinte forma: Sendo f(x) = 5 ; Integral (entre 1 e 11) 5 * dx. Ora, se olharmos bem para a expressão 5 * dx, não é mais que a Altura (5) * Base (dx) Sabendo que o Integral Indefinido de 5 é igual a 5x + C, avaliando nos limites propostos temos( 5(11) + C) - (5(1) + C) = 55 - 5 + C - C = 55 - 5 = 50 (porque C - C = 0) E o que é o dx? Se eu tiver uma linha no Eixo dos xx's e a dividir em "x" partes infinitamente pequenas, por muito pequenas que as partes sejam a sua soma vai dar sempre x Por isso é que o Integral de 1 * dx = x + C. O dx significa que estamos a integrar a função em ordem a x. Aconselho a todos os amantes de Cálculo que procurem na Internet o livro em PDF "Calculus Made Easy" escrito (só em inglês) por Silvano P. Thompson, Fellow of the Royal Society. Aqui temos uma Abordagem mais Leibniziana do que Newtoniana do Cálculo.
Não sei se cabe mas talvez fosse interessante mostrar como por exemplo se deduz as equações em coordendas polares da ciclóide, epiciclóide, cardióide etc, seria legal mostar que não é difícil, eu mesmo deduzi quando tinha uns 18-19 anos.
Abandonei um curso de licenciatura em exatas por conta do cálculo. A dificuldade não foi o cálculo, foi a falta da base sólida em matemática (principalmente funções)...
Minha estratégia no curso de cálculo na faculdade pra essas integrais mais complicadas com funções trigonométricas foi só memorizar umas 3 identidades que ajudavam a resolver quase tudo.
Integrar é mais divertido na minha opinião É engraçado pq comigo aconteceu aquele processo de você estudar algo por um tempo sem entender nada, e do nada, de uma hora pra outra entender tudo de vez Parece que quando vc desenvolve essa intuição, fica tudo tão na cara!
Cara, arte é o seu vídeo. Só fiquei com uma dúvida. Qual o benefício de eu quebrar muito a cabeça para descobrir o algoritmo na força bruta? Eu não discordo de você ainda, mas eu não entendi porque eu devo perder horas em caminhos sem saída se eu poderia perder horas treinando com os caminhos corretos? Seria para ganhar maturidade?
Não é pra descobrir o algoritmo. É pra desenvolver intuição. Você passa a conseguir resolver integrais sem achar que está seguindo um algoritmo. Sentir intuição é que é entender matemática. Seguir algoritmos não é entender matemática. Estou supondo que entender matemática é um objetivo seu. E senti-la, também, que é um entendimento mais profundo do que o mecânico de saber executar os algoritmos. Se o objetivo for só saber a resposta das contas, é mais fácil pedir para a máquina fazer, ela faz mais rápido do que nós e nunca erra.
@@julianamaths Entendi. Não sabia que ter esse "sexto sentido" era tão importante. Vou começar a treinar mais. Obrigado 🙂. Eu assisti seu video inteiro, mas não tinha ficado claro que essa decoreba não era aprender matemática.
Tá... mas o problema é quando chega na prova, voce vai tentar usar a tua intuição, faz tudo errado por azar, e dai vc tira um zero pois parte da prova virou algo subjetivo, que depende da intuição.
Não, o que pode acontecer é acabar o tempo de prova e você não ter tempo de encontrar a estratégia certa. Mas daí foi falta de prática, porque na hora da prova não é o momento de ficar explorando aleatoriamente, é o momento de já ter feito isso antes e já ter a intuição de qual vai ser o caminho. Agora, fazer errado e não perceber não dá, não. Se o caminho está errado, ele não chega ao final, e se chegou ao final, é porque estava certo.
Integrar pode não ser exatamente uma "arte", mas a professora Juliana sabe fazer arte ao descrever tão seguramente bem e desmistificar o considerado complexo: 4:02 "o arco seno tem uma derivada esquisita, mas que a gente sabe de cor"💞 ...Alguém, por favor, faça uma página com as citações sensacionais da profa. Juliana! ♥️ - So specific! All of it comes from the top of her head! Impressive!🌋
@@renatoaraujinho , observação correta da mestra. É deselegante dizer isso. De um modo grosseiro, seria como dizer que 95/19 que podemos cancelar o nove. A função composta está gerando a função identidade, não há cancelamento.
Òtimo vídeo. Mas se o gráfico de função e^x^2 tem uma área, então ela não seria integrável? Nesse caso podemos dizer que tal função é integrável mas que não tem primitiva? Cabe um neologismo aqui(Primitivável) ?
Não me lembro se eu usei a palavra "integrável" no vídeo, mas sim, cabe definir termos novos para terem sentidos muito bem definidos. A linguagem não pode ser ambígua.
por que que em quase todas as operacoes inversas (se nao todas), existem varias limitacoes, mesmo que as mesmas nao existissem na operacao direta. Por exemplo, divisao por zero, integral da gaussiana, inverso do seno, etc
Ótimo vídeo., parabéns. A função 1/x é elementar. Não. Então ela não tem uma função cuja derivada é ela. Mas se tentar tirar uma foto no programa, ele não deveria dar resposta. No entanto ele diz que a resposta é lnx. Lnx é uma função que não se calcula, ela é tabela. Porque não aconteceu algo semelhante com a função e^(x^2). Seu resultado é tabelado, mas não existe uma função pra descrever isso?
A função 1/x é elementar, assim como sua antiderivada ln(x). De toda forma, o fato não é sobre a integral de funções não-elementares. É sobre a integral de funções elementares. Talvez eu devesse ter dito isso. Nem todas elas têm antiderivadas elementares, o que é um fato maravilhoso, mas não é o caso da função 1/x.
Tem razão, lnx é sim elementar. Mas a integral de 1/x existe porque inventaram uma função lnx que não é possível ser calculada a mão, só por tabelas ou calculadoras. Existe a função Erro, que é a integral de e^(-x^2), que assim como a função logaritmo, só se conheço seu valor por meio de tabelas. Então, me parece que, se uma função não pode ser integrada, é porque até o momento ninguém inventou uma tabela com o resultado numérico dessa integral e inventou um nome a ela, como fizeram com as funções logaritmo e Erro
Isso acontece com a função e^(-x^2) também, inventaram uma chamada erf(x), mas ela não é considerada elementar. ln(x) é mais do que apenas "a integral de 1/x", ela também é "a função inversa de e^x", e é mais por isso que é considerada elementar.
Uma vez tentei integrar sin^x(x). Fiquei a semana inteira desesperado com isso, tentei de todos os jeitos que estavam ao meu alcance. Aí vi que a integral nem existe! Integral é especialista em te fazer de idiota. Ótimo vídeo!
Você está falando de integral definida, ele estava falando (como eu no vídeo) de integral indefinida. Você pode numericamente fazer a conta em um intervalo e vai ter resposta sim, mas isso não é a mesma coisa que encontrar uma primitiva em termos de funções elementares. Isso, essa daí não tem, mesmo.
@@leosmi1 Sim, mas através de métodos numéricos. Como a Juliana já explicou aqui no comentário. Achar a função primitiva é muito mais sofisticado e complexo e por isso muitas vezes nem existe. E na força bruta, vulgo computacional, dá pra calcular qualquer integral definida, inclusive as que possuem antiderivada indefinida. Mas isso é chato kkkk. É sempre uma vitória de vida quando consegue-se integrar uma função estranha
Na verdade plageamos matemática . "Aprender" e "Saber" são palavras com sentido profundo . Sempre procuro dizer que na verdade aprendemos a "manipular" fórmulas , mas "não" significa necessariamente aprender matemática ou domina-la . Quando alguns emocionados falam -" Cálculo é mais difícil que derivada - " Na verdade tudo depende o quão você se aprofunda , até porquê tudo é uma construção , passo a passo .
Bom dia! Por favor, pois pode ser que estive dormindo uma temporada e não acompanhei a evolução : você aponta para a equação no papel e no seu aparelho surge a resolução. Que ferramenta é essa? Um aplicativo? É grátis? Qual o nome? É inteligência artificial com acesso direto sem uso de aplicativo? Em qual endereço entrar? Obrigado.
@@julianamaths Obrigado por responder, professora Juliana. A resposta aos estímulos realmente está no sangue dos professores valorosos. A sua informação , então, passara desapercebida por mim. Coisas da idade... Irei testar o produto. Parabéns pelo seu projeto. Obrigado
