[DET#14] Résolution de l'équation différentielle y'=ay (Démonstration)

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Dans cette émission, je propose une résolution simple de l'équation différentielle y' = ay, qui s'appuie fortement sur la connaissance de la fonction exponentielle, dont on admet l'existence et l'unicité. On y découvre un raisonnement logique intéressant: l'analyse-synthèse.
📝 La démonstration réalisée ici fait partie des démonstrations proposées dans les nouveaux programme de terminale dans les filières suivantes:
🔹 mathématiques, enseignement de spécialité, voie générale,
🔹 mathématiques complémentaires, enseignement optionnel, voie générale.
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✒️ Notions abordées: équation différentielle, y'=ay, raisonnement par analyse-synthèse, dérivée d'un produit de fonctions, fonction exponentielle.
🌞 Bonne écoute !
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Опубликовано:

3 мар 2020

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Комментарии : 24

@claraphilippe505 4 года назад

Merci pour cette vidéo !

@paulquinones9834 4 года назад

Ahhh ... Ma démo ne montrait pas que les C*exp(ax) étaient les seules solutions ... Merci beaucoup 😊

@toronto5618 4 года назад

Haha sa l’est au programme du bac libanais!!!

@mauriciolirreverencieuxaud7091 4 года назад

Et l'intégration par variable séparée n'est pas une démontration valable ?

@oljenmaths 4 года назад

Si tu parles d'intégrer, de chaque côté, "par rapport à y", l'équation y'/y = a, alors j'aurais tendance à produire la même réponse qu'au commentaire de Didier Degonon: la justification du caractère rigoureux de la manœuvre me paraît beaucoup plus fastidieux que la démarche proposée ici.

@Teacheraliene 2 года назад

Bonjour; merci bq pour les vedeo mais vous utilisez quel logiciel pour ecrire

@oljenmaths 2 года назад

C'est un cocktail de plusieurs logiciels. ✍️ Tablette graphique: amzn.to/32Pe1VY 📝 Enregistrement vidéo: Camtasia + Photoshop. 🎧 Enregistrement son: Audacity. 🎬 Montage vidéo: Adobe Premiere.

@Teacheraliene 2 года назад

@@oljenmaths Merci bq pour votre réponse, j'ai tous ce qu'il faut mais j'arrive pas comprendre comment vous faites pour créer ce travail.

@oscarlamelo 7 месяцев назад

@@oljenmaths Salut Oljen, en tant que professeur, ça m'intéresse aussi ! C'est Photoshop qui te permet d'écrire aussi bien et droit?

@oljenmaths 7 месяцев назад

@@oscarlamelo Salut ! Négatif, c'est mon petit poignet qui fatigue… ça me demandait beaucoup de concentration, à l'époque où je faisais comme ça !

@smokegaming8112 2 года назад

Juste qq chose me perturbe c’est que le but c’est de montrer que S=C or on a seulement démontré que S est inclus dans C et que C est inclus dans S mais est ce que ça veut forcément dire qu’ils sont égaux ?

@etienneduhoux 2 года назад

Oui

@vat1n456 Год назад

*j'utilise la lettre "c" pour l'inclusion Si S c C, alors le nombre d'élément de S est inférieur ou égal à celui de C (sinon, c'est comme si tu arrives à faire rentrer un éléphant dans ton sac à dos, il sera trop grand) Ensuite, puisque C c S, le nombre d'élément de C est aussi inférieur ou égal à S. Notons |C| le nombre d'élément de C (même chose pour S) On a, primo, |S| =< |C| et, secundo, |C| >= |S|. La seule possibilité ici est donc que |C| = |S|. Enfin, il est naturel que, dans ce cas là, C et S possèdent exactement les mêmes éléments, donc C=S

@DidierDegonon 4 года назад

on peut pas dire y'/Y=a (derivee logarythmique) lny = ax et hop.....????

@oljenmaths 4 года назад

Le problème, c'est qu'il faudrait justifier au préalable qu'on a bien le droit de diviser par y, c'est-à-dire que y ne s'annule pas. De plus, à ce stade du cours, le logarithme népérien n'a sans doute pas encore été abordé, et je ne suis même pas sûr que la notion de dérivée logarithmique évoque quoi que ce soit à un étudiant de terminale. Par conséquent, j'ai interprété cette démonstration comme suit: l'exponentielle vient d'être présentée comme l'unique solution dérivable sur R de l'équation différentielle y'=y telle que y(0)=1. En se ramenant à cette fonction, on peut récupérer les solutions d'une famille d'équations différentielles un peu différente: y'=ay.

@DidierDegonon 4 года назад

c'est sur que mon raisonnement n'est pas d'une grande rigueur. Par contre l’exponentielle et les logarythmes sont au programme de Terminale, de même que l'écriture exponentielle des nombres complexes, qui se justifie entres autres par la résolution de l'equa dif, y'=-iy

@oljenmaths 4 года назад

@@DidierDegonon Je me suis mal exprimé. Je me disais que, dans l'évolution du cours d'un professeur de terminale, la démonstration présentée ici avait l'avantage de requérir uniquement la définition de la fonction exponentielle, et pouvait être présentée antérieurement à l'introduction de la fonction logarithme. Par la suite, l'intervention du logarithme, au minimum pour retrouver le résultat de manière 'informelle', est très souhaitable, j'en conviens.

@DidierDegonon 4 года назад

no problemo, je découvre ta chaîne, en révisant les maths pour le CAPES je ne savais pas que c’était un cours pour terminale, d'habitude je regarde maths adultes. Bonne continuation

@channelRubikon 4 года назад

erreur ce n’est plus au programme de terminale

@hogokage2433 4 года назад

En effet je ne me souviens pas qu'on avait des équations différentielles quand j'étais en terminale (il y a 3ans), mais le propos reste parfaitement compréhensible pour un terminale, il y a biensûr l'écriture très rigoureuse employer dans cette vidéo qui peut rebuter un terminale mais comme il prend le temps d'expliquer ce qu'il fait. Je pense que cela peut tout de même s’insérer parfaitement dans un DET.

@Mike_Wazowski_la_Terreur 4 года назад

Normal, c’est pour le nouveau programme de terminale qui entre en vigueur l’année prochaine.

@antoine7743 4 года назад

Erreur, c'est bien dans le nouveau programme de terminale spécialité :).

@channelRubikon 4 года назад

Nvs je ne savais pas, c’est très bien alors

@oljenmaths 4 года назад

Je confirme qu'il s'agit que cette démonstration est bien un élément de plusieurs programmes de terminale qui entreront en vigueur lors de la saison 2020/2021. J'en profite pour ajouter que les "filières" dans lesquelles la démonstration est au programme sont systématiquement indiquées dans la description. Dans ce cas, on retrouve y'=ay chez les 'spécialité' et 'complémentaires'.