Deux (deux ?) minutes pour l'escargot de Gardner 

Pourtant, quand je commence à écrire, chaque vidéo dure exactement 2 minutes dans ma tête ! Ca vient forcément de ce géant !

El Jj personnellement, je trouves ça mieux, dans ta première vidéo, tu parlais super vite et même moi qui connaissait la démonstration ai eu du mal à suivre. :(

Mickaël Launay

@@sophievergoz7264 il manque quelque chose après "Michael Launay, non ? X)

Qu'est ce Que tu dis Michael launay

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Tu le relies à quelle partie du programme ?

ta raison, un petit remake dois s'imposer... a moins qu'il veut faire une version 15 seconde? =C

Moi ça fait un bail que je suis abonné.

la suite des 1/n tends vers 0, mais pas assez vite pour que sa somme soit convergente. La démonstration de la vidéo est assez claire (je trouve) : tu prends 4 termes, ça fait une part de gâteau supérieure à la moitié du gâteau. Pour "refaire" une autre moitié de gâteau, tu prends les 8 termes d'après, puis les 16, puis les 32.....Au final tu as une infinité de moitié de gâteau et donc de gâteau

Je me demandais si il existait une autre suite dont la somme des thermes tend vers l'infini et ses thermes, eux, vers zéro? (une suite qui n'est pas directement basée sur les mêmes calculs)

N'importe quelle série de terme équivalent à 1/n^a, ou a est inférieur ou égal à 1 (Séries de Riemann.)

comme 1/n^0.5 ? (n ]0;1])

1/n^0.5 oui (ça fait 1/racinecarrée(n)). Par contre, c'est pour n >= n0, n0>= 1.

Maroua Bouchikhi nope, car il est inépuisable, ce qui a mon sens veut dire qu'il est imortel

Oui et l'escargot peut mourrir aussi

Aie

Il a raison ,cette somme est égale à 1

Belle réflexion

Les pays du Tiers Monde sont les moins endettés sur Terre hein

Oui mais le géant FMI relâche parfois un peu la corde pour ne pas décourager les escargots, sinon ces derniers diraient : "on ne joue plus…"

Quand le géant tends l'élastique cela fait avancer l'escargot. Enfin bien sur l'escrgot ne fait pas de mouvement, mais le morceau d'élastique sur lequel il se trouve s'éloigne du point du départ.

C'est peut être plus simple en le réfléchissant en puissance de fraction je pense non ?

@@MrZandark55 Ouais plutôt

oui je m'apprêtais à remarquer la coquille

J'espère ne pas poser une question trop bête mais... Comment se fait-ce ?

@@SimonClc On pose N=1/2+1/4+1/8+... 2N=2/2+2/4+2/8+...=1+1/2+1/4+...=1+N Si on soustrait N des deux côtés on a alors N=1

ici on ne divise pas en deux chaque nouveau terme, on fait +1 au dénominateur c'est pas pareil

Log2(n) j'imagine

Au tant pour moi (ou au temps, j'ai jamais su dire), j'ai compris mon erreur

@@TheTramby c'est quoi ton erreur? J'avais le même raisonnement. Et je ne comprend pas comment l'escargot arrive au bout de l'élastique

Pour ce que j'ai compris de votre question du "Clou du Géant" Si on plante un clou avant que le Géant n'étire la corde : pour k=1 Léo parcours 1m, la corde fait 1xA mètres (A=100 si vous voulez) pour k=2 Léo parcours aussi 1m (sa vitesse n'a pas changé) et la corde fait 2 x A m moins 1 m ou encore A - k + 1 + A = kA - k + 1 mètres pour k=3 Léo parcours 1m. Léo à parcouru k m. La corde fait maintenant 3x A m moins 2 m ou encore kA - k + 1 mètres savoir si Léo parcourra ou non la corde revient à comparer la suite de Léo (chemin parcouru = k mètres) de la suite de la corde (kA-k+1) et déterminer le taux de croissance de deux suites tendant vers l'infini chacune.

Si elle y arrive, tirez donc une flèche pour vous en rendre compte... ces paradoxes (flèche, achille...) sont de nos jours résolus grâce aux séries convergentes.

***** "à savoir qu'à chaque instant elle parcourt la moitié de la distance entre elle et la cible" Qu'est ce que c'est que cet énoncé? Comment une flèche pourrait-elle parcourir une distance "à chaque instant"?

***** Je ne suis pas d'accord avec votre dernière proposition. Je pourrais être catégorique et dire "la réponse est oui", mais essayons d'étayer... Si 1 sépare l'homme du mur, il fera un pas de 1/2, puis 1/4, puis 1/8... or 1/2+1/4+1/8+... = 1 (limite d'une suite géométrique) On pourrait argumenter qu'il n'est pas possible d'effectuer une infinité de pas, mais (et c'est là que nos opinions peuvent diverger) cela reviendrait à considérer qu'on peut effectuer des pas aussi petits que l'on veut, ce qui est faux: comment faites vous pour effectuer un "pas" de 1nm? Et même si vous pouviez atteindre cette précision, les théories actuelles en physique établissent que l'espace est discret et non continu (cf longueur de plank). Vous finiriez donc par atteindre le mur.

***** Nous sommes donc d'accord. C'est vrai que les arguments de physique n'ont pas vraiment leur place ici. Mathématiquement parlant, l'homme atteint le mur en une infinité d'étapes, non?

***** Ça l'atteint "à l'infini" ;) mais c'est vrai que cet argument n'est pas très rigoureux...

La somme des inverses des puissances de 2 ca fait 1, c'est le principe du langage binaire. En fait, imagine une bouteille d'eau de 1L vide. Chaque terme de la somme remplit la bouteille de la moitié par rapport a ce qu'il reste. Ducoup, la bouteille de 1L ne débordera jamais (je sais pas si c'est clair) en gros ca veut dire que 1ere etape: il manque 1/2L pour remplir la bouteille 2eme etape: il manque 1- (1/2+1/4) soit 1/4L pour remplir la bouteille 3eme etape: tu remplis avec 1/8 alors qu'il reste 1/4 a remplir, il va rester 1/8L a remplir Et ca a l'infini, donc ca dépassera jamais 1

Zettaleaf Oui je comprends ce que tu veux dire ^^ et j’ai compris mon erreur j’ai fait commencer la série à 0 ce qui rajoute 1/2 puissance 0 donc 1 ^^’ alors qu’elle commence à n=1 Ta méthode plus imagée est plutôt pas mal 👌

En maths on peut faire du calcul infinitésimal, on ne se préoccupe pas des limites physiques.

Est-il logique d'attribué une réponse à ce commentaire alors que celui-ci est intégralement étranger à la notion de logique si elle n'est infinitésimale?

La distance est aussi un concept mathématique (voir «espace métrique»). C'est d'ailleurs un concept très important, à l'origine de découvertes de géométries contre intuitives (hyperbolique etc.)

Didier, je suis estomaqué de ta réponse même si je ne suis pas sûr que ça ne soit français.

Je ne suis pas sûr d'avoir compris le message, mais merci !

C'est en faisant des maths qu'on se rend compte que la majeure partie de la réalité mathématique est contre-intuitive (ou y semble à première vue). Ça doit être d'ailleurs une des plus grandes difficultés que je rencontre dans le domaine.

Dans l'exemple que tu donnes la somme qu'on va appeler S est égal à : 1/2*(2 + 1/4 + 1/8 + 1/16) je sais pas trop où t'en es dans les études mais si tu as dépassé la premiere tu dois reconnaître une somme de termes d'une suite géométrique: où u1= 1/4 et u(n+1)= 1/2 u(n) (Tu peux sortir le 2 au début il ne change rien au résultat) et donc si tu fais la somme des n premier termes consécutifs de cette suite tu obtiens : S = 1/2(2+ (1- (1/2)^(n+1) ) / (1 - 1/2 ) ou n tend vers l'infini, alors S = 1/2 ( 2 + 2) = 2. Donc ici ta somme ne tend pas vers l'infini. Le problème de ta somme ici c'est que pour passer d'un termes à l'autres tu divise par 2, ce qui diminue "trop vite" la valeur de chaque termes. Alors que dans la somme des 1/k on ne fait qu'ajouter 1 au dénominateur, je n'ai pas vérifié mais je pense que l'on doit pouvoir prouver que tu peux ajouter n'importe quelle constante k au dénominateur entre deux termes consécutifs et garder une limite infini, c'est à vérifier mais je ferais ça une autre fois! En vrai j'ai pas un niveau ouf en math mais j'espère avoir pu t'aider quand meme

@@dhubans2485 Avant toute chose, merci pour ta réponse ! Je pense avoir saisi ce que tu dis. Je n'ai pas dépassé la première en termes d'études (j'ai passé un bac L en candidat libre grâce à mon bagage personnel, et en empruntant un stylo au voisin de table pour l'examen, enfin je te laisse imaginer le genre...) du coup il me manque pas mal d'acquis de base même si je comprends les grandes lignes, alors ta précision m'éclaire plus que si je n'avais rien eu, et me donne des pistes à creuser. C'est déjà beaucoup, et j'en suis reconnaissant même si je ne suis pas sûr que cela réponde vraiment à ma question. Je vais la formuler autrement, en espérant que cela soit plus clair. Si on additionne une suite infinie de termes définissables par une valeur positive (mettons des fractions, où 1/2= 0,5 ; 1/4=0,25 etc...) qu'est-ce qui empêche cette suite, quelle qu'elle soit, d'avoir un résultat infini, puisque qu'on fait la somme d'une infinité de nombres positifs non-nuls ? Autrement dit, qu'est-ce qui autorise un calcul faisant intervenir une infinité de nombres positifs à avoir un résultat fini ? Est-ce que cela serait en lien avec le fait de pouvoir écrire n'importe quel nombre positif sous la forme d'une somme de nombres positifs plus petits ? (Sachant qu'on peut virtuellement rajouter autant de zéros que l'on souhaite après une virgule: 1= 10×0,1=100×0,01=1000×0,001 etc...) Sinon merci encore ! Et si quelqu'un d'autre a envie d'apporter son petit grain de sel qu'il se sente libre de le faire :)

@@juxtapode2781 Pour expliquer pourquoi une somme infini de termes positifs peut-être finis je pense que le plus simple est peut être de voir qu'un nombre décimal à développement infinis n'est en fait qu'une somme infinis de nombre de plus en plus petit, du genre 0,11111111.....= 0,1 + 0,01 + 0,001 + ..... et pourtant ce nombre n'est pas infini puisque il est plus petit que 2 ! C'est en fait un peu similaire à dire q'un nombre peut s'écrire comme somme de nombre plus petit. Je ne sais pas si ça éclaircit ta pensé mais en tout cas ça montre qu'une somme infinis de termes n'approche pas forcément l'infini. Pour expliquer comment ça se fait, je pense qu'en reprenant l'exemple précédent où on écrit les nombres sous leurs formes décimales on voit que chaque termes est suffisamment plus petit que le précédent pour que finalement on ne fasse qu'additionner des termes qui "n'interagissent pas vraiment entre eux" c à d que on ne fait jamais de retenu en additionnant deux termes consécutifs et donc que ta somme ne change pas significativement quand on ajoute les "derniers" termes J'arrive pas à savoir si mon explication est claire et si elle répond à ta question. Mais j'espère que c'est le cas..

@@dhubans2485 tout à fait ! C'était plus ou moins le sens de ma réflexion ! Merci :)

la déformation est homogène... au temps pour moi... je vous embrasse. Zoubi

et c'est pour ça qu'on utilise les maths, c'est pour leur rigueur ! c'est la source du "paradoxe" mais en soit du ne peux pas dire "ça a augmenté les trois première fois donc ça ne fait qu'augmenter"

les mots sont faibles et leurs sens est trompeur, d'ailleurs il sont suffisamment trompeurs pour affirmer une chose et son contraire : à la fin de la première heure il a parcouru 1m, à la fin de la 2eme heure il a parcouru 3m au lieu de 2, à la fin de la 3eme heure il a parcouru 5.5m au lieu de 3, autrement dit : plus le temps passe, plus il s'approche vite de la ligne d'arrivée, donc logiquement il va rapidement arriver au bout.

JoJo LeTyran Ce n’est pas la somme des entiers qui « vaut » -1/12 mais plutôt la supersomme (en réalité c’est l’hypersomme), je te conseille la vidéo de Science4all pour plus d’explications 😉

mais sinon ta vidéo est très bien comme d'habitude ;)

Eloi Duwer Ha ! En fait, les sommes de cette vidéos sont beaucoup plus autorisées que les miennes puisqu'il s'agit d'étudier la convergence. Dans ma vidéo, il s'agit de procédés de sommation plus biscornus et je fais quelques impasses sur la rigueur qu'il faudrait pour en parler sérieusement.

Mickaël Launay ok tout va bien alors :)

Oui. Mis à part le fait qu'un mathématicien dirait de ces sommes qu'elles "divergent vers plus l'infini" plutôt que "sont égales à l'infini", c'est parfaitement rigoureux. Et encore, on peut même considérer l'infini comme un nombre si l'on ne fait pas trop n'importe quoi avec. Par exemple, infini + 2 = infini, infini x (-infini) = -infini sont des opérations qui ont du sens. On peut même donner du sens à la division par 0, par exemple "1/0 = infini", à condition que ce 0 soit "positif". Par contre, d'autres opérations deviennent impossibles, par exemple "0 x infini".

Si tu continue à diviser par zéro la vidéo va être supprimé d'Internet ;)

Bonsoir, comment?

(a+b)² = a² + b² ? Ça me fait mal de l'écrire :') Certes le commentaire est vieux mais au cas où quelqu'un passerait par là avec le même questionnement...

Sauf qu'étant sur un élastique, la distance qui sépare l'escargot du point de départ augmente aussi, d'où la conservation du pourcentage.

+Flash Gordon Après avoir étudié les séries je comprends bien l'erreur de ma première remarque et donc je reviens sur ce que j'ai dis j'ai compris que la série est égale à 1. Par contre j'aimerais comprendre plus en détail cette histoire de prolongement de l'addition, auriez-vous une référence ? :)

Malheureusement ce n'est pas au programme de prépa

putain j'arrive pas à voir ta réponse c'est très chiant

En effet, mais ce n'est pas le cas, d'où l'inutilité totale de ton commentaire. Non, je rigole, ton résonnement n'est pas si con que ça mais comme même assez logique.

c'est à moi que tu réponds ?

+ysengrin76 On pourrait faire le calcul, mais intuitivement, on peut voir intuitivement que, à partir du moment où l'escargot aura parcouru la moitié de l'élastique, le géant ajoutera davantage de distance derrière lui que devant lui. En fait, plus le temps passe, plus la distance ajoutée sera, en proportion, derrière l'escargot. Et on peut finalement voir que lorsque l'escargot aura parcouru 99% de l'élastique, la portion ajoutée par le géant commencera enfin à être plus petite que la distance parcourue par l'escargot. Autrement dit, il faudra attendre... longtemps !

+El Jj Oui, intuitivement c'est aussi ce que je pensais, c'était juste pour savoir si vous aviez fait le calcul. Rassurez-vous, je ne vous demande pas de le faire ! ;o)) Merci en tout cas pour vos passionnantes vidéos ! Quel dommage que je n'aie pas eu de profs de maths comme vous ou Mickaël Launay quand j'étais au lycée !! Ceux que j'ai eus de la 4ème à la seconde étaient très doués pour nous dégoûter des maths !

+ysengrin76 Pour éviter de dire des bêtises, j'ai tout de même fait les calculs avant de te répondre ! En notant H(n) = 1 + 1/2 + ... + 1/n, on peut montrer que la distance restante vaut r(n) = 100n - H(n)*n. Du coup, la distance commence à diminuer si r(n+1)-r(n) est négatif, autrement dit, si 100 - n/(n+1) - H(n), ce qui revient, puisque n est grand, à chercher à quel moment H(n) dépasse 99 (donc, n = 5*10^42)

Il faut se méfier des affirmations du type "c'est impossible" quand on fait des maths... bien souvent ces affirmations sont formulées trop hâtivement. Je vous invite à prendre une feuille de papier et à essayer de démontrer ça vous même, vous constaterez alors qu'en faisant le rapport de la distance parcourue sur la longueur de la corde, vous obtenez bien les pourcentages successifs 1%, 1.5%, 1.83%... ce qui correspond effectivement aux sommes partielles de la série harmonique, qui tend vers l'infini.

***** Je répondais à la deuxième partie de votre message où vous dites que "sommer ces pourcentages n'a aucune signification". En réalité j'avoue ne pas avoir compris si vous cherchiez à réfuter la proposition "l'escargot atteint son but" ou non. Si c'est le cas, vous faites erreur... (une récurrence simple suffit, et je viens de le vérifier crayon à la main). Si ce n'est pas le cas, je ne comprend pas votre problème. Considérer que "c'est strictement impossible" ne vaut rien en maths sans démonstration. Et votre message n'en est pas une