Introduzione ai Numeri Complessi 

Ciao, sono il papà di un ragazzo ché frequenta il 3 anno di informatica, ti faccio i complimenti sei riuscito a farmi capire questi terribili numeri complessi a 52 anni con una spiegazione chiara e semplice grazie ancora

Ho 67 anni, sono laureato in chimica pura e ho lavorato nei laboratori dell'industria farmaceutica per tutta la mia vita. Peccato che nessuno mi ha mai insegnato la matematica così...quanta fatica inutile ho dovuto fare. Viva RU-vid e quelli che lo sanno utilizzare per fare cultura.

Finalmente una completa ed esaustiva introduzione ai numeri complessi. Grazie prof.

Wow pazzesco. Sei bravissimo. Veramente chiarissimo. Ad averne avuti di professori come te al liceo. Io non li feci neanche i numeri complessi, frequentando il classico credo sia normale (?). Noi in particolare non arrivammo a definire neanche gli integrali ed in fisica neanche me lo ricordo dove finimmo, eppure la tua spiegazione mi è apparsa cristallina - nonostante appunto la mancanza di formalismo, che io credo possa dare una spinta di aumento della comprensione; formalismo supportato chiaramente dal lavoro "sul campo" di approfondimento, che permetta di "seguirlo"; i punti del video in cui tu difatti per la fluidità e non-pesantezza del discorso hai detto di "crederci, che funzionano". Grandissimo insomma. Non vedo l'ora di vedere altro. Auguri per il tuo canale!

Super interessante, non capisco chi si sia annoiato. Semplice super chiaro e finalmente ho capito cosa vuol dire veramente un numero immaginario

grande Ing! nessuno me l'aveva mai spiegato in questo modo...grazie :-D

Vorrei complimentarmi con Lei perché è riuscito a rendere molto semplici e comprensibili nozioni per me estremamente complesse

- Riporto una discussione che lo stesso autore minacciava di cancellare. Siccome vengo accusato di volermi sentire solo dire "bravo" qui c'e' tutto il dialogo a dimostrare il contrario. Naturalmente l'atteggiamento minaccioso-tossico da social ne ha provocato il ban, ma ritengo comunque utile che rimanga il botta/risposta che lui stesso voleva autocensurarsi 🙄 rockessence 30:00 non capisco per quale astruso motivo, dopo aver parlato di vettori, dopo aver parlato di campi, tu non abbia introdotto la forma dei numeri complessi come semplice somma vettoriale di due coordinate complesso=reale+immaginario, introducendo qui il valore di i = (0;1). E andando così a definire il prodotto di due numeri complessi come semplice prodotto nella forma (real+imm)*(real+imm) per poterti così collegare tranquillamente a quella parte di matematica letterale che tutti conoscono, far comprendere così che i^2=-1 e quindi passare a spiegare (a+ib)*(c+id). Cioè, parti dal presupposto che i ragazzi dovrebbero capire meglio la matematica e poi gli appioppi una formula che se non compresa del suo significato originario dimenticheranno dopo mezz'ora dalla tua spiegazione non hai davvero reso chiaro perché i^2 = -1 e te ne esci con "fidatevi che è così" come uno qualsiasi dei professori che hai criticato all'inizio. Scusa ma mi sento preso in giro. Stavo cercando una spiegazione adatta per aiutare una persona in matematica, ma mi sa che faccio prima a spiegargliela io. ingegnereqbquantobasta 13 ore fa (modificato) Perché se li scrivi subito con la loro notazione algebrica ti rimane comunque un buco teorico e vai in loop: perché posso scrivere tutti i numeri come a+i*b? Se ti lamenti del mio "fidatevi" qui caschi in un superfidatevi. 😌 Per definirli tramite il concetto di spazio vettoriale (cosa che per altro non ho mai visto in nessun testo, quindi non so nemmeno se sia corretto farlo), si dovrebbe tirar fuori la definizione di spazio vettoriale, di lineare indipendenza tra i vettori e di base. E questo sarebbe necessario per far capire come mai con soli due vettori, combinati linearmente, si ottengono tutti gli altri. Non mi pare proprio la strada più semplice 🙄 Se vuoi partire da "a+ib", devi usare la definizione assiomatica che parte da i^2=-1, anzi, dal fatto che "i" sia soluzione di x^2+1=0, ma richiede cose troppo avanzate. L'ho sentita da una lezione di un docente in una facoltà di ingegneria, e lui stesso ad un certo punto ha tralasciato alcuni approfondimenti teorici perché non inerenti al corso 🤷 Non mi pareva dunque la strada giusta. Il "fidatevi che funziona" non ha certo pretese di rigorosità, semmai anticipa la parte rigorosa (la definizione vera e propria) che arriva dopo. In pratica è "aspettate un attimo e poi vedrete che funziona". 😌 Perché poi quella che do io è la definizione moderna, è rigorosa, ed è certamente quella più utilizzata. Ma mica dico che sia l'unica strada per capirli, dico solo che coi ragazzi che istruisco funziona sempre 🤷 rockessence le basi per apprendere il concetto ci sono eccome. Perché nei primi due anni di liceo scientifico che ho fatto (testo: corso di geometria e algebra, Lamberti Mereu Nanni) viene ampiamente introdotto il concetto di campo e in particolare di RxR, definendo proprio la composizione di un segmento come somma algebrica lineare di due componenti x e y, con anticipata spiegazione geometria e algebrica di somma pitagorica di due segmenti. Viene anche introdotto il teorema fondamentale dell'algebra, che oltretutto viene subito ripreso nel libro 1A (degli stessi autori) al terzo anno. Fidati che li sto ristudiando da zero proprio per poter essere competente nel dare spiegazioni ai liceali. L'errore che hai fatto è trattare l'argomento come completamente scollato dalla scuola superiore, come spesso vedo fare dai professori universitari. E poi tu non sei a una lezione universitaria con i tempi stretti e tutto. Hai la possibilità di rimandare a certi argomenti quando ti pare e soprattutto, se tempo non ce n'era per spiegare, allora mi devi spiegare perché ce n'era così tanto per fare tutti quei giri di parole inutili. ingegnereqbquantobasta Prima di tutto una precisazione: come ho gia' scritto in un altro commento, che i giri di parole siano inutili va dimostrato. Non ammetto affermazioni assolutistiche non dimostrate (e' scritto nelle linee guida per la partecipazione ai commenti). Poi, simpaticamente, "Fidati che", dopo che ti sei offeso per il mio "fidatevi" fa un po' ridere 😁 Poi c'e' un errore madornale: "viene ampiamente introdotto il concetto di campo e in particolare di RxR". R2 non e' un campo, e' "solo" uno spazio vettoriale. Gli manca la definizione di prodotto che lo faccia diventare tale, cosa che avviene appunto quando si definisce quel prodotto di cui ho parlato nel video, e che gli da' la struttura di campo, che poi viene chiamato C. Suggerisco di leggersi per bene il testo che hai citato...🙄 Inoltre il modo in cui ho trattato l'argomento non e' affatto scollato da cio' che si studia alle superiori (semmai rischia di esserlo il tuo, visto che di algebra lineare ai licei non ne ho mai vista la presenza, purtroppo): per capire la definizione proposta basta sapere cos'e' un numero reale e, per capire la rappresentazione dei complessi, basta avere un minimo di confidenza col piano cartesiano. Tutto qua. Niente algebra lineare, niente spazi vettoriali, niente combinazioni lineari, niente lineare indipendenza.🤷 A quel punto perche' non spiegare i polinomi partendo dallo spazio vettoriale degli stessi e definendoli come combinazione lineare della loro base canonica? Quello che chiami "giro di parole inutile" e' il mio tentativo di far capire ai ragazzi che quel salto concettuale che si fa passando da "vecchi numeri" a "nuovi numeri" e' gia' stato fatto piu' volte nel loro percorso scolastico, e non devono temere il nuovo. Preferisco quel giro di parole vagamente divulgativo rispetto all'introduzione di concetti nuovi. Non lo reputi necessario? Legittimo. E' assolutamente inutile: dimostralo. Tra l'altro non mi pare tu abbia ascoltato bene cio' che affermo: io detesto quando si parte da i^2=-1 e poi si parte subito a bomba con le operazioni, proprieta', rappresentazioni varie e cosi' via. Se altri adottano un altro percorso (completo e corretto) per spiegare quell'apparente assurdita' matematica, va benissimo! Evviva l'approccio assiomatico, evviva l'approccio vettoriale (se esiste, mai sentito, ma non possiedo lo scibile umano). Purche' i ragazzi capiscano. Col mio approccio capiscono, e se lo ritroveranno pure altrove, con altri approcci non lo so e non me la sento di rischiare. 😊 rockessence 32 minuti fa facciamo così, visto che ti piace sentirti solo dire che sei bravo, cercherò di non usare troppe parole. Fra 12 ore se non lo hai fatto tu, lo cancello io il messaggio. Mo devo pure dimostrare perché ti impelagavi in lungaggini che non erano indispensabili. Se lo hanno detto anche altri, mi pare che basti. Ma a quanto pare te vuoi l'analisi del testo con il conto delle parole mi sembra. Facciamo prima che ti dò ragione e buona vita. ingegnereqbquantobasta Mi piace talmente tanto sentirmi solo dire che sono bravo, che i commenti (pochi per fortuna) che mi criticano sono ancora li'. 😂 Quello che non accetto e' l'assolutismo: e' troppo facile arrivare e affermare "il video e' troppo lungo". Se sei in grado di argomentare la cosa bene, potrebbe pure essere utile a qualcuno e anche a me, ma le sentenze non servono a nessuno. Fermo restando che questa specie di ultimatum che hai dato non e' rispettoso ne' di me che ho pure impiegato tempo a risponderti, ne' di chi magari stava seguendo la discussione. Questo tipo di atteggiamento qui e' vietato.

Pensi : non ho bisogno di spiegazioni io, 72enne, che al Liceo aveva sempre il 3/4 k in materia, con espresso di approfondimento universitario. Anche il tabù dei numeri complessi..l'ho risolto. A me Lei pare proprio un ottimo docente . Bravo

Spiegazione super. La matematica dovrebbe essere sempre spiegata cosi

Grazie! Finalmente ' i ' ha un senso che non avevo mai capito. Mi era stato servito come un pasto da mangiare così com' è.

Ti ringrazio. Non sono un cultore, ma mi è piaciuto e mi è servito.

Grazie al tuo video all'età che ho perché non lo so finalmente ho imparato a contare. Mo fammi andare a contare gli anni che ho che.. che poi te lo scrivo.

Professore non gli avevo studiati, magari affrontati ma non studiati, me li ha delucidati. Sono un matematico amatoriale, cioè ho intrapreso studi personalmente e senza seguire la matematica ufficiale ma la geometria. Avevo la necessita di descrivere il Tutto, lo spazio-tempo, lei accenna durante il video ma tralascia poiché multidimensionale... Ecco per risolverlo ho pensato ad una matrice dove il tempo fosse spazio in divenire , metamorfosi della forma, ed adoperando grandezze cartesiane o coordinate ho raggiunto il risultato, almeno spero, la Fisica ancora deve approvare e per il momento i conti tornano solo a me, forse colpa di aver pubblicato tutto fra i commenti di video come il suo oltre descrizione su facebook, che non è certo mezzo della scienza ufficiale. Lo dico perché adesso mi ritrovo nei suoi calcoli, io non accettavo i numeri complessi o meglio la componente immaginaria poiché non esiste uno spazio negativo! Minkowsky parla di superfici ma io finivo in spazio con valore -1 e non trovavo ragione. La giustificazione è arrivata con la complementazione di Boltzmann, l entropia o secondo principio della termodinamica, non maggiore od uguale a zero ma 00. Assurdo ma arrivo alle medesime conclusioni raggiunte da Lei, in pratica una matrice dove non come Leibniz immaginò 1 0 dando vita al calcolo binario, ma 1-1 e lo zero non sul piano dei numeri, come se lasciando l.asse dei reali non avessimo accesso allo zero ma una tendenza, risultato presumo ottenuto da Niemann nella sua ipotesi, e filosoficamente descritto da me come ciclo completo dell essere che nel suo opposto comprende il non. Poi finalmente e dico cosi perché da anni ci riflettevo sono riuscito a scorgere nei numeri ordinali romani medesimo risultato, done addirittura il numero calca la Frattalità d insieme, rappresentando l'ordine ed i gradi angolari.... Uguale alla matrice tao dove le 3 linee rappresentano xyz e quindi segmenti di valore 2, e la loro combinazione risulta 2^3= 8. Da che compreso ci si accorge che tutta l'informazione pervenutaci con geroglifici bassorilievi assiri scacchi dama, Bibbia, Buddha Shiva, insomma tutto l ereditato e non ancora compreso gravita su questo concetto. Mi scuso per usare lettere e non numeri ma scrivere di matematica con un cellulare è difficilissimo e poi non ho mai fatto calcoli se non a mente, mi perdoni e spero averle fatto gradito suggerimento, Lei a me l ha fatto immenso, Grazie.

Bravissimo nella spiegazione professore! Però purtroppo volevo solo sapere da cosa derivasse quella maledetta moltiplicazione...è da mesi che cerco una spiegazione ma non trovo nulla, neanche un motivo dietro quella "definizione". Aspetto comunque un vostro parere! Grazie in anticipo!

trovo particolarmente interessante il ragionamento in base a cui giungiamo alla conclusione che la rappresentazione dei numeri complessi richiede una dimensione in più per la loro rappresentazione grafica, in quanto questa cosa può avere delle implicazioni in fisica. Se vivessimo in un universo monodimensionale in base a tale ragionamento i suoi abitanti capirebbero che esiste una seconda dimensione a loro non accessibile. Viene ovviamente da chiedersi se noi che viviamo in un universo tridimensionale possiamo, con ragionamenti analoghi, giungere alla conclusione che esiste una dimensione aggiuntiva per noi non accessibile.... da questa prospettiva i numeri immaginari, più che immaginari andrebbero considerati come numeri extradimensionali

Prof, ✍prima che finisca il video devo segnalarle un passaggio che andrebbe spiegato o sviluppato meglio. Si è affermato che dati due numeri ( si faceva l'es. di( 4 e -4) e il loro prodotto =(-16);poi si affermava che non esiste la radice di un numero negativo(-16) .In effetti la macchinetta calc.segnala (Error). C'è tuttavia il caso di (-4) e (+4) che nel piano cartesiano; xy = (-16) che non è solo un numero complesso ma anche una superficie dove x=(-4) e y= (+4) ⇒ P=( - 16) le cui radici possono scriversi ; ± √ [16*(-1)^2]= ± 4(-1) che genera le condizioni di partenza [(-4) e (+4)] che devono essere moltiplicate per (-1) ,ovvero per (cos 𝝿)=(-1) e per ( sen 𝝿/2)=(+1). in buona sostanza abbiamo x = (+4)(-1)= (-4) ed y= (-4)(-1)= (4) ed ecco che abbiamo un significato geometrico a quello algebrico , considerando la situazione da cui eravamo partiti:una superficie nel II^ quadrante che è negativa. A me pare plausibile questa considerazione e confido che Lei possa e voglia esaminarla. li 01/01/2024 Torin0(Joseph)

Complimenti per il video, molto chiaro. Se mi permette, un piccolo appunto e un motivo, spero, di riflessione: lei durante la spiegazione tende a ripetere cose già dette prima e questo non solo allunga la spiegazione ma soprattutto posticipa in maniera, forse irritante, la conclusione del ragionamento. Se lei ci pensa bene, qui bastava solo parlare dell'estensione da R a C, del concetto della somma e moltiplicazione di numeri complessi ed ecco fatto del perché si è dovuto introdurre l'unità immaginaria. Secondo me non ci sarebbero voluti più di 5 minuti. Una critica costruttiva, sia chiaro, Saluti

il mio prof di Elettrotecnica, utilizzava "j" anzichè "i". Grazie! Ottima spiegazione, utilissima soprattutto per ragazzi del liceo/ITIS.

Mi è piaciuto molto l'esempio delle scatole :-) Complimenti. Una spiegazione ancora più affascinante è quella mediante l'Identità di Eulero. Se "i=(0,1)=1*exp(j*pi/2)" è il versore dell'asse immaginario, allora "i*i=exp(j*pi/2)^2=cos(pi)=-1" è il medesimo versore, ma ruotato di +90°, e che quindi ricade nell'asse reale nel punto (-1,0).

Complimenti......bellissima spiegazione da utilizzare in tutte le superiori, per decreto 😊

Fantastico! Perchè non ti ho avuto alle superiori? :) Davvero, complimenti per queste spiegazioni, ho finalmente capito perchè i numeri complessi vengono usati poi nella fisica vettoriale, grazie!

non e' un numero al quadrato ma un operatore immaginario al quadrato

Mi piacerebbe (e mi servirebbero al più presto) vedere i contenuti matematici attraverso Geogebra spiegati da lei!

Può fare altri esempi oltre 0-1?

Da quel poco che ho letto senza approfondire, penso che un'area "unitaria" negativa, che poi è stata chiamata i^2, è venuta come esigenza prima della caratterizzazione formale dei numeri complessi in senso più generale. Quindi, secondo me i^2=-1 viene prima come concetto. Cioè il lato immaginario di un quadrato con area negativa può, poteva essere utile per effettuare dei calcoli intermedi. Cioè secondo me è la "struttura" dei complessi che si è adattata a i^2=-1, anche defindendo ad hoc la moltiplicazione, e non viceversa. Alla fine ho apprezzato moltissimo la spiegazione ma non mi ha fatto cambiare idea su questo punto. A me piace capire le cose più partendo da come l'umanità le ha scoperte, costruite e capite che partire da come l'umanità le ha formalmente caratterizzate.

Spiegazione meravigliosa!!!

Grandissima spiegazione continua a fare video💪💪💪

Grazie, sono sempre più convinto che i cicli della scuola dell'obbligo debbano essere più estesi e ripresi in momenti diversi della maturità di una persona (che siano laureati o meno). Un po' deluso dall'assenza di una logica nella moltiplicazione tra numeri complessi, che, di fatto serve a dimostrare la premessa.

Grazie, finalmente mi sono chiarito le idee su questo aspetto della matematica. Un plauso alla chiarezza della spiegazione adatta anche ai comuni mortali.

Grazie della lezione, interessantissima...ma a cosa servono nella pratica ? Sapevo che per studiare alcuni fenomeni fisici si ricorre ai numeri complessi...ma perchè?...

Buongiorno, ieri sera mi sono gustato il tuo video. Insegno matematica in un istituto superiore in cui cerco, nei limiti del possibile, di rendere la materia più fruibile e divertente. Mi piace molto come hai introdotto l'argomento, perché, a volte, si dà per scontato che si conoscano perfettamente gli insiemi e le loro proprietà, ma già gettando le basi si dà un'idea di ciò che si sta per introdurre e raccontare. Trovo molto bella la spiegazione che parte dagli insiemi, passando per il piano cartesiano/piano di GAUSS, operazioni coi complessi e, finalmente, la dimostrazione del perché i²=-1. Se devo trovare un difetto, forse sta nel fatto che il video dura quasi un'ora (poco meno di 50 minuti), che può diventare davvero troppo. Ma, ripeto, è proprio dare la caccia al pelo nell'uovo. Detto ciò, se ti va, anch'io ho un piccolissimo canale RU-vid a tema matematica in cui ho dedicato un video a Rafael Bombelli, ideatore dei numeri immaginari e complessi (biografia). Ho anche dato inizio, un anno fa, a una serie di video di matematica, salvo poi fermarmi (al momento, non ho molto tempo da dedicare ai video). Se ti va, mi farebbe piacere sapere cosa ne pensi (non scriverò qui il link per non fare spam. Se vuoi, posso dartelo in privato, così da non pubblicarlo qui in cui non dirò neppure il nome del canale). Ciao e grazie ancora!

27:29 tutto molto interessante (nel senso che apre domande sulla didattica) però messa in questo modo la definizione di moltiplicazione piove dal cielo senza un perché ...

Il riassunto del video è: i numeri complessi possono nascere come estensione algebrica di R. Questa estensione si chiama C, è un campo e contiene R (per costruzione). PS: non tutti gli insiemi costruiti a partire da numeri reali tali che ci sia almeno un elemento i con la relazione i^2=-1 sono C (vedi i quaternioni o più banalmente gli interi di Gauss). Aggiungo per chi se lo stesse chiedendo che di solito non è possibile dare una spiegazione più "intuitiva" di quella data nel video perchè le esigenze "pratiche" (si fa per dire) da cui nascono questi numeri sono esse stesse teoriche e astratte. Per cui, benchè la spiegazione non sia tanto originale, trovo che sia ben fatta e la più "didattica" possibile per non matematici. I calcoli si imparano meccanicamente a scuola perchè i "numeri" complessi si prestano bene ad essere considerati appunto dei numeri e godono di proprietà di campo che estendono bene quelle di R al prezzo di una piccola regoletta da memorizzare i^2=-1. Si può fare di peggio (quaternioni) ma grosso modo siamo lì. Perchè si studiano solo i numeri complessi (dopo R) allora? Perchè si prestano bene per farci cose "utili" nelle applicazioni (vedi analisi di Fourier). Io credo che qualsiasi intuizione si possa avere dei numeri complessi non possa essere concreta o essere nella vita di tutti i giorni. Eventuali analogie con la vita di tutti i giorni sarebbero più complicate di quello che si prefiggono di semplificare.

Grande prof, bellissima lezione. Vedi che iutubbo ogni tanto suggerisce non solo gente che taglia il legno. Sono un morto di matematica, che è come il morto di figa, solo con la matematica. Ne ha poca, la cerca, fa fatica a trovarla.

Sei veramente bravo! Potresti fare un video o più di uno in cui spieghi con lo stesso approccio i requisiti per affrontare l’esame di analisi nella facoltà di ingegneria?

Vorrei esprimere un commento "a caldo": bel tentativo di spiegare la natura di "i", che però ha alcune pecche dovute al fatto di voler essere "semplice", cioè di spiegare semplicemente quello che semplice non è. ( Vedi ad es. lo 0 ) A livello "alto" la costruzione dei numeri complessi è null' altro che la compattificazione di uno spazio topologico aperto, R, un po' come si fa con le coordinate proiettive, munito di una trasformazione che conserva gli angoli retti. Sono sicuro che il giovane Gauss o il poco più tardo Eulero avrebbero capito immediatamente la definizione ed avrebbero risolto in poco tempo il semplice problema. Un altro, Riemann ci avrebbe giocato ed avrebbe "visto" cose che per gli altri "umani" sono vietate, anche se magari hanno la medaglia Fields. A questo vorrei aggiungere la "maledizione" dei matematici "normali": quando si vedono 2 rette in croce, il piano è cartesiano! Dopodiché è impossibile uscire dalla rappresentazione di cui siamo prigionieri, anche perché R^2 funziona benissimo, ci integriamo, deriviamo e magari calcoliamo anche minimi e massimi... Delle volte credo che a Gauss servisse un promemoria, ha usato delle coppie di reali e ci ha giocato, ma lui SAPEVA benissimo che quello NON era un piano cartesiano, ma solo una rappresentazione. Detto in altro modo, si possono rappresentare con n+1 ple anche le coordinate proiettive, ma non hanno nulla a che fare con il R^n+1. Nel caso dei complessi le analogie si fermano a somma e prodotto, dopodiché di entra nel magico mondo dei prodotti olomorfi e delle radici n-me di un numero. Meglio fermarsi qui e non parlare dell' analisi complessa su cui ancora aleggia il fantasma del conte di Cauchy e fluttua lo spirito del beato Riemann. Credo che un tentativo per rendere "facili" questi concetti potrebbe essere, dopo aver costruito la sequenza dei numeri, N,Z,Q,R, la necessità di estendere ancora R in modo che ... Tutti i polinomi di ordine n abbiano n radici? ( In fondo ho studiato i numeri complessi solo per questo: per me erano numeri "completi" ) Perché come a suo tempo si dovette risolvere l' equazione: 1-3=? Adesso vorremmo risolvere l' equazione: Sqr(-2)=? E poi provare a "costruire" euristicamente le proprietà di C come campo ( le operazioni, almeno fino alla divisione ) Tanto tempo fa l' ho fatto, e non è impossibile, anzi potrebbe essere fonte di bellissimi ragionamenti ed esercizi. Tutto DIMENTICANDO il piano cartesiano. Solo algebra! A quel punto l' ultima parte del video sarebbe perfetta! (0,1)(0,1)=(-1,0) E ti sarai garantito le maledizioni a vita di tutti gli studenti a cui è piaciuto e non riescono a risolvere la congettura di Riemann! This is mathematics! No! Era Sparta!

Grazie. Veramente splendida la spiegazione

Complimenti, davvero una bella spiegazione. Grazie!

-22 è la parte reale del prodotto!

Grazie Professore, chiarissimo

al minuto 30:32 c'è un errore: la parte reale del prodotto viene -22 (2*3 - 4*7) e non -5. Per il resto tutto chiaro, grazie

Grazie per averci dedicato del tempo. Mi chiedo, ma se alla fine di calcoli complicati trovo come risultato un numero complesso, lo posso usare oppure so solo che esiste una soluzione, ma non la posso tramutare in una quantità "producibile" nella realtà? Mi spiego meglio... So che cosa è una mela, 2 mele, mezza mela ma 1 mela + 2 mele*i? Che ci faccio? Grazie mille.. saluti

Ottimo l’approccio storico legato alla soluzione di un problema! E l’unico modo di far scendere la matematica sulla terra 😉

La chiarezza è una dote rarissima. Complementi molto sentiti per l'esposizione piacevolissima ed esaustiva! La simpatia dell'accento, penso emiliano, rende la chiacchierata ancora più godibile. Grazie!

Ma che bel regalo di natale che mi sto facendo guardando questo video. Commento positivo ancora prima di concluderlo. Veramente un approccio interessante!!! Grazie Ora che ho finito il video, rinnovo gli apprezzamenti per l'approccio, veramente notevole e intuitivo. Approfitto però per una domanda: sembra che nella formula del prodotto di due numeri complessi si dia per scontata la definizione "i al quadrato" = -1. Il segno "meno" davanti a "bd" ho l'impressione che arrivi proprio da questo "-1". La stessa formula viene poi usata per dimostrare la definizione di partenza. Come se ne esce? Grazie ancora e buon lavoro

Ne conoscevo l'esistenza come giusto aveva iniziato dicendo che x^2=-4

E' un concetto sbagliato che su una retta possono esserci infiniti punti, questo è un concetto puramente teorico, ma bensi possono esserci al massimo 10 alla 35 punti, ovvero la lunghezza di Plank 1,616252×10−35 m

Bel video davvero Opportuni i rimandi, qua e là, alla algebra astratta (strutture algebriche, campo .). Quindi perché non progettare un percorso di lezioni anche di algebra astratta (del resto anche questo - forse anche più dei complessi - è un argomento poco battuto). Che dice...

Preferisco l'approccio classico con l'introduzione dei numeri complessi da subito nel formato a+ib e definire "i" come la radice di -1. Questo semplifica a mio avviso la definizione di prodotto tra due numeri complessi che nel video (min. 28 del video) diventa una cosa ancora più strana. In questo modo moltiplicare due numeri complessi (a+ib)(c+id) è la classica moltiplicazione in cui è sufficiente ricordare la definizione che "i" al quadrato è -1. Eccellente comunque nel video la rappresentazione grafica dei numeri come coppia ordinata di due numeri reali. Sono comunque punti di vista.

Complimenti! Argomento totalmente nuovo per me; ottima spiegazione

Una chicca molto interessante, i numeri irrazzionali vennero scoperti da i pitagorici, esattamente da ippaso di metaponto, che li scopri prendendo il triangolo rettangolo più semplice con cateti uguali a 1, e scopri che l'ipotenusa era uguale alla radice quadrata di 2,e grazie a tecniche particolari usate per trovare un aprossimazione di questo numero, scopri invece che non puoʻ essere espresso come frazione di 2 numeri interi, per via di questa scoperta sconvolgente uccisero ippaso affogandolo in mare, perchè pitagora pensava che ogni oggetto che troviamo nell'universo è perfetto perchè formato da misure intere

Finalmente qualcuno che spiega le cose in modo semplice e intuitivo 🔝🔝🔝

molto interessante grazie del video, un piccolo appunto toglierei la musica di sottofondo

mi permetto un commento non entusiastico: buona la spiegazione ed apprezzabile il tentativo di giustificazione Tuttavia un po' troppo verbosa.. il tono e' eccessivamente pedissequo - proverei a tirare un po' dritto ed indugiare meno in parole / considerazioni / ripetizioni non strettamente necessarie a volte con il tentativo a mio parere superfluo di giustificare e documentare tutto ..

Bravissimo, a me avevano sempre detto alle superiori e all'università "prendeteli così"... e invece grazie a te ora c'è un senso ben preciso. Grazie.

Pazzesco! Ho 37 anni e mi ricordo chiaramente quando in seconda superiore la professoressa introdusse i numeri complessi (con la parabola). Da quel momento i numeri complessi mi hanno sempre perplesso. Che spiegazione! Grazie mille!

Buongiorno a lei, le scrivo per un dubbio che mi è sorto: ho notato che, graficamente, eseguire il prodotto (0;1) * (a;b) equivale a "ruotare nel piano, di 90° in senso antiorario", il numero complesso (a;b). Infatti (0;1) * (a;b) = (-b;a) [il numero complesso (a;b) ha "ruotato di 90° in senso antiorario] ora, moltiplicando ancora (0,1) per il numero complesso appena ottenuto (-b;a) si ottiene: (0;1)*(-b;a) = (-a;-b) [che è, ancora, graficamente, una ulteriore rotazione di 90° in senso antiorario, cioè una rotazione "totale" di 90°+90° = 180° antiorari], moltiplicando una terza volta (0;1) per il numero complesso precedentemente ottenuto (-a;-b) si ottiene:(0;1)*(-a;-b) = (b;-a) [che è, ancora una volta, graficamente, una rotazione di 90° antioraria: avendo fatto tre moltiplicazioni, ho ruotato, in totale (a;b) di 90°+90°+90°= 270° in senso antiorario] una quarta moltiplicazione (0;1) per l'ultimo numero complesso ottenuto (b;-a) ci dà: (0;1)*(b;-a) = (a;b), che ci "riporta" al punto di partenza. [d'altronde, avendo fatto quattro moltiplicazioni, ho ruotato (a;b), in totale, di 90°+90°+90°+90°= 360° in senso antiorario, cioè un angolo giro] Ora: tutto ciò è semplicemente un giochetto matematico o ha un qualche significato più profondo che, però, mi sfugge? E, se si, perché "ruota" in senso antiorario e non in senso orario? Per quanto riguarda la seconda domanda, ho pensato ad una possibile risposta: l'asse Imm si potrebbe intendere come un asse Re ruotato di 90° antiorari. Ho provato, allora, a far "puntare" l'asse Imm verso il basso, come se fosse l'asse Re ruotato di 90° orari ed, effettivamente, ora la moltiplicazione fa ruotare il numero complesso (a;b) in senso orario... Mi spiace averla importunata con tutto questo sproloquio, ma la colpa è anche "sua": io ero rimasto con "immaginiamo un numero che elevato al quadrato dia -1..." Grazie ancora e buone feste

Sarebbe interessante anche spiegare ai ragazzi la genesi storica. Adesso i numeri complessi si introducono come coppie di numeri reali (a,b) e da lì si passa alla notazione algebrica a+ib che è più comoda per fare le operazioni. Ma in origine l'unità immaginaria fu introdotta per risolvere le equazioni di terzo grado. La formula risolutiva delle equazioni di terzo grado non riproduceva delle soluzioni reali, se nei passaggi non si introduceva il famoso i^2 = -1 che poi si elideva e veniva fuori una soluzione reale. Vista così la invenzione di i il cui quadrato fa -1 non sembrerebbe strana ai ragazzi. Ovviamente i matematici non potevano giustamente accontentarsi dicendo che l'unità i veniva dalla soluzione di un problema algebrico. Giustamente si è arrivati alla esposizione rigorosa che lei ha ben presentato e che è quella che gli studenti universitari di matematica o fisica apprendono al primo anno.

Mi permetta un suggerimento, senza offesa: troppo prolisso! Quasi 50 minuti per un video che poteva durarne 10 senza togliere nulla di sostanziale. Non serve ribadire più e più volte uno stesso concetto, allungando il brodo con il risultato di far perdere per strada la maggior parte di coloro che si erano messi a seguirla animati dalle migliori intenzioni. Mi permetto umilmente di consigliarle di riguardare il suo video e provare a condensarlo in 10 minuti. Le garantisco che in questo modo riuscirà a mantenere l'attenzione di molte più persone fino alla fine del video

Ciao, scusami, ho aperto il video per vedere in che modo li spiegassi, ma essendo all'università, 50 minuti solo "per curiosità" sono decisamente troppi, ma vedendo i commenti sono sicuro li avrai spiegati in maniera egregia. Solo una domanda, nei primi secondi dici che è stata rotta la differenza di quadrati, perchè?

Illustrazione dei Numeri Immaginari IMPECCABILE.

Salve, intanto complimenti per la spiegazione semplice, ed esaustiva. Se possibile vorrei chiederle una lezione sul valore assoluto. Grazie.

Grandissima lezione! Grazie per aver inquadrato con straordinaria chiarezza il ruolo e le caratteristiche dei numeri immaginari. Dopo tanti tentativi frustranti, ora ho chiaro il concetto.

A suo tempo avevo capito bene tali numeri, presentati da subito nel piano complesso nei miei studi di ingegneria (e provenivo dal liceo classico...). Ora insegno matematica e non concordo con una spiegazione così lunga ed infarcita di osservazioni personali, piccole retromarce, deviazioni da quella linearità che ritengo indispensabile che ci sia, la prima volta che si presenta un argomento. Spero non te la prenda per la mia sincerità

Gatto che si morde la coda: se non voglio "subire" la definizione i2=-1 allora dovrò subire la definizione del prodotto fra complessi. Il tentativo di spiegare in modo "naturale" i numeri complessi è miseramente fallito

Molto interessante, molto chiaro. Mi piacere solo approfondire il perchè le moltiplicazioni su numeri complessi si facciano proprio in quel modo... o come si sia arrivati a deciderlo.

Io l'ho trovato chiaro ed esauriente e neppure prolisso. Mi aspettavo però qualche applicazione pratica finale. Anche un solo esempio concreto

i=sqrt(-1) cosa non si capisce? i è un numero immaginario, un numero complesso invece è composto da 2 parti Quella reale e quella immaginaria, e per la sua rappresentazioni serve il piano cartesiano in ascissa il numero reale è in ordinata il numero immaginario

Complimenti per la spiegazione... Dovrebbe essere introdotta pari pari al corso di analisi III in ingegneria elettronica. Grazie ancora

Critica costituiva: troppo logorroico e troppo veloce nel parlare, tante volte ti sei inceppato nelle parole. Si fa fatica già a capire i concetti, se poi sbagli i termini e ti correggi più volte mandi in confusione. Per il resto è un buon nuovo punto di vista per molti. Grazie.

Se ho capito.... Quando parlo di un numero complesso, parlo di un numero espresso da una parte immaginaria e una parte reale! Quindi devo sempre associare ad un reale un numero che esprime una variazione ad esso associato, magari negativo!

A me l’hanno spiegato alle superiori la definizione formale. E comunque prima si parte dalla spiegazione intuitiva e poi si arriva a quella formale, non solo con i numeri complessi

Conoscevo la spiegazuone ma devo dire che alle superiori nessuno la fa. Ti dicono solo che .... è quel numero che al quadrato fa -27. Che è una roba quasi dogmatica. Mi piacerebbe jna tua spiegazione sui tensori

Lezione eccellente, ti ringrazio sinceramente. Vorrei solo capire come si arriva alla formula del prodotto tra numeri complessi

Sarebbe bello, dopo aver cercato di spiegare la natura della i, sarebbe bello capire perchè il prodotto è così

Mi permetto di fare un’integrazione alla spiegazione che viene data del prodotto tra numeri complessi attorno al minuto 27:00. Sappiamo che moltiplicare un numero per un numero reale significa “ripetere” il primo tante volte quanto vale il secondo; utilizzando la definizione che si è data di somma tra numeri complessi ne segue che (a,b)(c,0)=(ac,bc). Venendo all’interpretazione grafica che se ne dà nel video, significa partire dall’origine e muoversi c volte di (a,b) usando come riferimento l'asse reale. Siccome abbiamo detto che i numeri complessi sono un’estensione dei numeri reali al di fuori della retta reale, viene naturale interpretare la moltiplicazione (a,b)(0,d) come movimento dall’origine di d volte (a,b) prendendo questa volta come riferimento l'asse immaginario (significa ruotare il foglio di 90° in senso orario). Ne segue che (a,b)(0,d)=(-bd,ad). Tutto è più chiaro facendo qualche disegno ;) Sfruttando il fatto che come diretta conseguenza della proprietà distributiva (a,b)(c,0)+(a,b)(0,d)=(a,b)[(c,0)+(0,d)]=(a,b)(c,d), combinando i due risultati ottenuti è immediato definire (a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad).

Per me c'è un errore dentro il diagrama che hai fatto, perche i numeri irrazionali non possono restare dentro ad un cerchio con i numeri razionali e devono esere da un altra parte del diagrama soli soleti!

Quando dici che la moltiplicazione di (a;b)(c;d) si ottiene facendo (ac-ad;ad+bc) stai già sfruttando il fatto che ai•bi = -ab, quindi è un po' come portare un'ipotesi per conclusione

Anche se non è importante ai fini della spiegazione al minuto 30:30 il valore non è -5 ma -22

Io non li spiego così ai miei studenti, non riuscirei a dare una formula (la moltiplicazione) come "definizione" senza motivarne il senso (in realtà è una furbata dai!). Per la mia esperienza risulta più semplice individuare la radq(-1) come origine del problema, quantità non calcolabile in R e pertanto non la calcolo ma gli dò un nome (io uso j). Da qui tutto il resto discende: la moltiplicazione e tutte le operazioni originano dalle operazioni tea binomi, j2=-1 è conseguenza banale, così come 1/j=-j. Graficamente gli immaginari vanno su un asse a sé perché non "si mischiano" con i reali, non si "vedono", ma insieme fanno un unico mondo, i complessi appunto.

Sono ai primi minuti del video e dico: Con le spiegazioni veloci si rimane coi dubbi

Bravissimo, grazie. Nessuno mi aveva mai spiegato questi meccanismi in modo così dettagliato. Ora manca solo la spiegazione del perché il prodotto tra numeri complessi ha quella formula. 😅

Io ho studiato meccatronica, non ci siamo mai arrivati a questi numeri... Come mai?

Bene. Dopo analisi 1, analisi 2, geometria, una laurea in ingegneria e 30 anni di professione incappo in questo video e scopro perché i^2=-1. Forse il giorno che l'hanno spiegato ero assente; come attenuante il fatto che nella professione ordinaria i num. complessi non si usano. Mi resta una curiosità: per quale scopo pratico (sono ingegnere in fondo) si e sentita la necessità di teorizzare i num. complessi? Mi è sempre sembrato che i reali fossero più che sufficienti. Comunque grazie e al prossimo video.

un po' lungo, ma il commento giusto è "piacevole", la parte geometrica aiuta molto a capire il concetto

molti molti complimenti da una collega....

al minuto 30.45: 2 * 3 - 4 * 7 = 6 - 28 = -22, Da dove viene 6 - 11?

grazie, molto chiaro. Forse un po' lungo il video.

Bravo! Ha un altro iscritto. Comunque -22 e non -5 :-) Mi dice qual è il video a cui faceva riferimento quando parlava di "Campo"?. Grazie

Straordinario! Mi complimento col Professore (del quale non è purtroppo indicato il nome). Naturalmente, immagino che esista la dimostrazione della formula della moltiplicazione tra complessi. Perché, ancora una volta, lo "scettico" potrebbe ribattere: 《Perché quella roba lì è detta moltiplicazione?》. Attendo risposta. La ringrazio di cuore.

A dire il vero il mio caro professor Guerra mi spiegò che i = radice di -1

Interessante video. Mi viene una domanda: esiste una qualche situazione nella quale i numeri complessi non saranno più sufficienti e sarà necessario aggiungere anche la 3a dimensione? Inutile dire, lo si capisce dalla domanda, che non sono certo un matematico!

Video bellissimo, ma non è necessaria la musica di sottofondo

Scusa ma te lo devo dire. Hai fatto un gigantesco pippone per partire dall'aritmetica complessa come se fosse un'invenzione o una convenzione per poi associarla a i quando l'origine dei fatti è proprio quella che neghi all'inizio e probabilmente di più immediata comprensione. L'aritmetica deriva dalle operazioni algebriche standard come il prodotto di due numeri complessi nel momento in cui hai definito la quantità i e lo spazio dei numeri a+ib. Lo trovo controintuitivo e inutilmente "complesso".

grazie

Complimenti professore . Grazie 😊

A me questa sembra una spiegazione notevolmente più complicata di quella ordinaria e non esente da problemi di ambiguità di notazione

Complimenti!

In effetti avevo le idee confuse. A un certo punto ho iniziato a fare problemi in cui i numeri complessi erano rappresentati sull'asse cartesiano. Pensavo che fosse solo un modo comodo per fare i calcoli quando si ha a che fare con i numeri complessi.