Laplaciano, divergencia y rotacional: campo escalar vs campo vectorial 

el laplaciano de un campo vectorial se define de esa manera

De hecho, me quede con esa misma sensacion de mal gusto, hasta que jugueteando un poco con propiedades generales del operador nabla hice lo siguiente: "supon que F es un campo vectorial de R³ de clase C²" y con las definiciones de gradiente y divergencia, al calcular grad(div(F)) queda una expresion con derivadas parciales mixtas que parecen poder cancelarse si calculas el rotacional del rotacional y efectivamente, al hacer esta resta, queda algo muchisimo mas facil de calcular y es que el laplaciano de un campo vectorial es igual al laplaciano de sus funciones componente

en resumen, no es algo que no se pueda demostrar, no me parece para nada intuitivo que sea asi "por definicion", es como tomar 2 vectores de R³, multiplicarlos componente a componente, sumarlos y que por "definicion" sea igual al producto de sus normas multiplicado por un coseno que quien sabe de donde salio, en realidad no es una definicion, sino una consecuencia, consecuencia de algo llamado "teorema del coseno"

Si interpretamos un campo vectorial como el campo de velocidades de un fluido, la divergencia sería la tasa, positiva o negativa, de expansión del fluido (si es negativa, se contrae), es decir, algo así como la variación del volumen; y el rotacional sería algo así como la velocidad y la dirección de la rotación...

cuando es una funcion armonica es un caso

lo tengo en mente desde hace tiempo...

piensa en un el adjunto de un elemento, tienes que considerar el signo (-1)^(i+j)

@@notodoesmatematicas Gracias por la respuesta!

Hola, de esto no tengo más vídeos. La mayoría de mis vídeos son a petición vuestra, así que, con toda confianza, si necesitas que hable de algo, o quieres proponer algún ejercicio concreto puedes hacermelo llegar de la forma que te resulte más sencilla (en la portada del canal tienes varias formas de contactar conmigo). No se si sabes, pero el canal tiene asociado un blog, donde todos los vídeos quedan ordenados por temas, y seguro que te resulta más sencillo encontrar el tema que estés buscando en cada momento. Te dejo el enlace a la entrada donde están los vídeos de nivel universitario (bit.ly/listaUNIVERSIDADblog), pero igual te recomiendo que des una vuelta por otras entradas. Un saludo y ánimo.

@@notodoesmatematicas ¿Puedes subir algo del teorema de Stokes?

puedes verlo como una definición: el operador gradiente se define como el vector de las derivadas parciales. No sé que quieres decir con eso de utilizar sólo operadores y no desarrollar parciales. ¿qué es lo que quieres demostrar? porque en este vídeo lo que se está haciendo básicamente es definir los operadores...

claro, y luego agrupas por componentes

qué es "la igualdad en el laplaciano"? minuto?

minuto?

@@notodoesmatematicas minuto 15

Me refiero, nabla por nabla da una suma de derivadas segundas con respecto a X Y Z. Esa suma, al multiplicar al campo vectorial, afectaría componente a componente.

No aplica, es solo para campos vectoriales

te refieres a la divergencia?

@@notodoesmatematicas nop, en la segunda forma para calcular el laplaciano Creo que igual no cambia el resultado en el ejemplo, pero tengo esa duda 🤔 Gracias por responder

@@AlejandroGarcia16491 la fórmula del vídeo vale para un campo vectorial expresado en cualquier tipo de coordenadas. Para el caso particular de estar trabajando en coordenadas carteisanas, como es el caso del ejemplo, se puede particularizar y decir que el laplaciano de un campo vectorial coincide con el vector de los laplacianos de cada componente tomada como campo escalar ;)

el adjunto de j se cambia de signo, pero no necesariamente ha de ser negativo. ¿reviso alguna cuenta o está todo claro?