Yes lê! J'ai personnellement beaucoup aimé ce jeu. Au début tu penses que c'est simple et plus tu creuse et plus tu remet en question tes convictions ! Génial !
Merci pour cette réponse au problème ! Autour de 3:30 on considère ce qui se passe si on change plusieurs fois l'enveloppe et on affirme qu'on a à chaque fois intérêt à changer. Mais attention: on fait comme si c'était à chaque fois la même épreuve. Si c'était le cas, alors en changeant deux fois d'enveloppe on risquerait de multiplier/diviser les gains par 4. En changeant trois fois d'enveloppe, on risquerait de multiplier/diviser les gains par 8. Peut-être effectivement que dans ce cas-là on aurait intérêt à changer l'enveloppe le maximum de fois possible.
La j'ai vraiment appris quelque chose. Je pense que par la video précédente et celle ci j'ai beaucoup mieux compris ce que c'est que le raisonnement bayesien. Merci.
Je m'attendais à une réponse de ce genre sur cette chaîne, mais je trouve que c'est un peu dommage. J'ai l'impression que cette réponse élude la question qui est (selon moi) la plus importante : qu'est-ce qui cloche exactement dans le calcul de l'espérance avec 50-50? Soyons clairs, je fais partie de la team "ça ne change rien", pour des raisons de symétrie : quelle que soit l'enveloppe choisie, on aurait pu, sans même l'ouvrir, dire que l'espérance de l'autre enveloppe est 1.25 fois plus élevée. Or, si le calcul de l'espérance nous conduit a une conclusion et a son propre contraire (puisque quelle que soit l'enveloppe choisie, le calcul d'espérance suggère de changer), c'est donc que le calcul de l'espérance tel qu'on voudrait le faire ici est incorrect (incohérence interne). L'échappatoire serait-elle de faire le contraire? Dire "espérance = 2 euros, et je cherche les probabilités p et q=1-p telles que p*1+q*4 = 2 euros"? Ça ne me satisfait guère non-plus. Car il y a quand même un argument qui semble solide pour ce 50-50 : on a bien 1 chance sur 2 d'avoir tire la plus forte somme, non? Je ne suis pas convaincu que ce 50% provienne ici d'un sophisme.
Je suis assez d'accord. Ce qui cloche dans le 50-50 à mon sens, c'est que c'est la probabilisation naturelle d'un autre problème. Cet autre problème serait typiquement le suivant : tu choisis une enveloppe, tu l'ouvres et regardes son contenu et, une fois ceci-fait, l'organisateur remplit l'autre enveloppe avec soit le double soit la moitié. Là, clairement, tu as intérêt à changer. Les sommes en jeu entre le premier choix et le deuxième changent. Dans le paradoxe posé, les sommes en jeu sont déterminées une fois pour toutes au début, même si le joueur ne les connaît pas.
Sinon, pour mieux comprendre, tu peux dire qu'effectivement il y avait bien une chance sur deux de tomber sur la plus petite somme. Ça c'est la probabilité a priori. Maintenant, quand tu ouvres l'enveloppe, tu dois déterminer la probabilité a posteriori que ce soit la plus petite sachant le contenu révélé. Typiquement si tu trouves 1 milliard, tu es d'accord que c'est plus probablement la plus grande ? Et que si c'est 1 centime c'est presque sûrement la plus petite.
Je me pose les mêmes questions. En simulant informatiquement l'expérience, on observe : - que la stratégie "toujours garder" et la stratégie "toujours changer" font aussi bien, donc le calcul de l'espérance 50-50 est faux, ce qui n'est pas exactement surprenant - MAIS que la probabilité que l'autre enveloppe contienne le double de l'enveloppe tirée EST BIEN DE 1/2, comme le montre ton raisonnement. Ce n'est donc pas ici qu'est la faille de ce calcul d'espérance. - En revanche, la probabilité que l'autre enveloppe contienne le double de l'enveloppe tirée SACHANT QUE l'enveloppe tirée contient au moins x euros n'est pas de 1/2. C'est d'autant moins que x est grand, quelle que soit la loi de probabilité utilisée pour remplir initialement les enveloppes. La faille du calcul d'espérance semble être là : en conditionnant, ce n'est plus du 50/50. Sans conditionner, il faut alors tenir compte du fait que la stratégie changeuse ne marche vraiment bien que sur des petites mises qui contribuent peu à l'espérance totale. Le code python (très vite fait) utilisé : import numpy from random import * def enveloppe(): x = numpy.random.exponential() y = 2*x t = [x,y] i = randint(0,1) return t[i], t[1-i] def stat(n): nb_autre_max = 0 nb_tiree_superieur_3 = 0 nb_autre_max_cond = 0 gain_gardeur = 0 gain_changeur = 0 for _ in range(n): tiree, autre = enveloppe() gain_gardeur += tiree gain_changeur += autre if tiree < autre: nb_autre_max+=1 if tiree >= 3: nb_tiree_superieur_3 += 1 if tiree < autre: nb_autre_max_cond += 1 print("gain gardeur :",gain_gardeur/n) print("gain changeur :",gain_changeur/n) print("proba que l'autre enveloppe contienne le double :", nb_autre_max/n) print("proba que l'autre enveloppe contienne le double lorsque l'enveloppe tirée contient au moins 3 euros :", nb_autre_max_cond/nb_tiree_superieur_3) stat(100000)
Pareil ! Le problème tel que l'a posé Lê, extrait de toute notion de réalité et contexte pratique, m'amène à une absurdité et j'arrive pas à voir d'où ça vient. Soit x un réel non nul, soit A et B 2 enveloppes; soit f une fonction qui assigne avec une probabilité de 0.5 "x à A et 2x à B" ; et avec une probabilité de 0.5 "x à B et 2x à A". Soit g une fonction qui retourne la valeur de A, désignée par y. Soit h une fonction qui retourne la valeur de B, désignée par z. -Quelle est l'espérance sur la valeur de B ? 5/4 y. -Quelle est l'espérance sur la valeur de A ? 5/4 z. Donc 5/4 y = z et 5/4 z = y? C'est faux, donc il y a quelque chose qui manque au raisonnement, et ça n'a rien à voir avec le fait que c'est un labo fauché qui fait l'expérience ou sur mon aversion à la perte pour le coup...
5:05 dans le problème posé je ne vois pas la possibilité d'un échange infini? et quand bien même on était confronté à une succession de paires de boites à choisir avec un préjugé de 50-50 (sur le fait que l'autre boîte contienne la moitié ou le double) le fait de la taxe ne change absolument rien au problème. On aurait toujours intérêt à changer de boîte si l'on souhaite maximiser l'espérance.
J'ai rien compris non plus. Pour moi on a deux enveloppes au début, on en ouvre une, on ne peut changer qu'une seule fois. Si à contrario on a une enveloppe, et qu'on nous en propose deux autres qui contiennent le double ou /2 alors là c'est autre chose. Et changer devient en effet particulièrement intéressant.
50 centimes et 1 euro ça se paye avec 1 pièce. 4 euros ce sont deux pièces. Il est plus probable pour moi que l'expérimentateur a mis des montants qu'on peut payer avec 1 piece.
haha bien vu, mais là en pesant/tâtant l'enveloppe on sait ce qu'elle contient, donc ce sont des papiers avec des nombres écrits dessus pour que ce soit indiscernable au toucher ^^
Idem, je n'ai pas compris l'argument du "il est peu probable que j'ai choisi une somme non entière". Pourquoi ? Parce quelqu'un qui connait Lê devrait savoir qu'il aime les nombres entiers ? Du coup il pense que Eurêka et 3blue1brown devrait le connaître assez pour savoir ça ?
@@itkdrbdrzq1091 Ils ont pioché 2, pas 1. Donc ils hésitent entre 1-2 et 2-4. Et Lê fait remarquer que s'il avait choisi 1-2, il y avait une chance sur 2 pour que la personne pioche 1 donc hésite entre 0,5-1 et 1-2, or pour lui il est impensable de mettre une somme non entière dans une enveloppe, donc que 0,5-1 est impossible et que du coup quelqu'un qui piocherait 1 saurait avec quasi certitude qu'il faut changer d'enveloppe. Or il ne veut pas que ce cas se produise donc il a choisi 2-4. Roger fait remarquer que c'est pas si évident que ça soit impensable de mettre un nombre non entier dans l'enveloppe, en particulier, si Lê doit vraiment leur donner l'argent après, c'est plus simple pour lui de ne donner qu'une pièce plutôt que 2 voire 4 (dans le cas de 8). Et pour le coup je suis d'accord, Lê se focalise sur la raison qui l'a poussé à choisir 2-4, mais il y a d'autres explications qui aboutissent à 1-2 et qui ne semblent pas vraiment moins plausibles...
Merci beaucoup pour toutes tes vidéos, je les regarde toutes depuis longtemps. Pour le problème des deux enfants j'étais assez naïf et pour cette vidéo j'ai commencé par le calcul fallacieux de l espérance, de voir le problème, puis de réaliser qu il y a pleins de données, si les deux montants sont entiers alors est ce que l organisateur aura choisir des nombres pairs parce que sinon le jeu est trop simple (on changera systématiquement si le montant est impair) mais si les deux montants sont pairs dans ce cas il vaut mieux échanger. Vraiment un grand merci, étant un mathématicien qui n'aime pas trop l'approche dans la scolarité pour les probabilités je suis ravi d'avoir pu apprendre autant grâce à cette série de vidéo !
Au final, vu que l'on ne touchera jamais l'argent en ayant gardé ou changé d'enveloppe, il y avait 0 euro dans l'enveloppe A et 0 euro dans l'enveloppe B. On peut faire tous les calculs possibles et inimaginables que l'on veut, la réalité est là: 100% de probabilités de toucher 0 Euro. Je savais bien qu'au final, c'est la loi de Murphy qui s'appliquerait ici: Tout ce qui est susceptible d'aller mal ira mal. 😁
Déso Lê, mais je trouve que la conclusion manque cruellement de poids... Si on fait une simulation de la situation, que se passerait-il ? ou bien c'est une approche fréquentiste et on la rejette ? je ne comprends d'ailleurs pas pourquoi supposer l'équiprobabilité entre les enveloppes est si absurde, alors gue ça me paraît évident... :/
au final, je suis un bon sujet, j'avais pensé la même chose pour le 1, et même plus généralement que si c'est un nombre impaire ça peut faire penser que l'autre enveloppe à plutôt le double que la moitié! MAIS après encore plus de réflexion, un expérimentateur malicieux pourrait aussi utiliser ce raisonnement pour nous piéger, donc le raisonnement est sans fin car je met un probabilité de 50% que Lê soit malicieux!
ouah, l'explication du pourquoi 2-4 à la fin, elle m'a retourné le cerveau c'est incroyable ! Et au fil des vidéos je commence à mieux comprendre la pertinence d'analyser les problèmes de cette manière ^^
Génial, j'adore la courbe de compréhension du problème... et je suis très frustré de ne pas être arrivé à la conclusion finale de 2/4 c'est après coup presque évident... MERCI
Dans ce cas, le participant n'aura pas la même perception du problème : mettre vraiment de l'argent en jeu force l'appât du gain du participant. Est-ce que cela changerai la décision prise ? C'est une question intéressante je trouve... Je pense que pour une étude à grande échelle, cela va pousser les gens à faire des raisonnements plus aboutis, de prendre le temps de réfléchir. Sans gain réel, tout le monde n'aura peut être pas de "plaisir" (une sorte de gain personnel en somme) à y réfléchir. Certains participants pourraient donc répondre "au hasard". Mais peut être qu'ils suivraient alors leur a priori sur la question (et l'étude observerait alors le comportement de joueur ou d'aversion aux risques des participants) Je pense cependant que cette question a déjà sa réponse en sciences sociales, même si je n'en ai jamais entendu parler pour le moment
J"avoue ne pas avoir compris le problème de l'échange infini... Une fois qu'on a ouvert les 2 enveloppes, on a toutes les informations disponibles sur le jeu non ?
le truc c'est que le raisonnement est le même quel que soit le montant de l'enveloppe. donc même si on n'ouvre pas et qu'on ne connaît pas le montant, on devrait changer. Ensuite si on change sans ouvrir la première enveloppe, on peut faire le même raisonnement avec la seconde et décider de changer encore.
J'avais découvert ce problème via un des livres de Raymond Smullyan il y a une bonne quinzaine d'années (pour vous dire, à l'époque j'étais jeune !), et ça m'avait fait cogiter pendant des mois. En particulier, Smullyan ne donnait pas de "bonne réponse" et laissait le lecteur conclure par ses propres moyens, en insistant sur l'idée que le vrai intérêt de ce problème et des deux "solutions" qu'il invite à trouver est en fait de comprendre, je cite approximativement, "laquelle des deux démonstrations est incorrecte, et surtout où est l'erreur ?" J'étais arrivé à la conclusion suivante : la démonstration "n°1" qui consiste à dire qu'après avoir trouvé un montant de X dans une enveloppe, le montant de l'autre est X/2 ou 2X avec une proba de 50% sur chacune n'est en fait pas fidèle au problème initial et répond en fait à un problème subtilement différent de celui qui est posé, i.e. ce n'est pas une erreur de raisonnement mais de modélisation. Mon argument était que le problème initiale ne donne que deux valeur, X et 2X ("l'une contient le double de l'autre"), alors que cette solution fait réellement intervenir 3 valeurs : X (tiré au départ), X/2 et 2X (les gains potentiels). Les probabilités de chaque valeur ne sont pas 50% pour chacune, mais en fait 100% pour l'une et 0% pour l'autre... c'est juste qu'on ne sait pas laquelle est laquelle et qu'on est donc tenté de tomber dans le sophisme du 50-50 (qu'à l'époque je ne connaissais pas sous ce nom, merci donc au passage pour la découverte). En fait, la solution n°1 serait le raisonnement correct pour un autre type de jeu, un dans lequel on commence par ouvrir une enveloppe pour découvrir un montant, suite à quoi un tirage à une chance sur deux est secrètement effectué pour mettre un montant égal soit au double soit à la moitié dans une autre enveloppe et seulement là proposer l'échange... i.e. on a effectivement construit un tirage pile-ou-face sur le montant de la seconde enveloppe. (sérieusement, à l'époque j'étais vraiment super fier d'avoir trouvé cet argument là tout seul) ... et donc, ça faisait une quinzaine d'années que j'étais resté sur la conclusion que la bonne solution était la n°2 qui conclut qu'il n'y a aucun bénéfice à changer puisque le gain est de +X ou -X avec une probabilité de une chance sur deux à chaque fois). Il me fait donc particulièrement plaisir de découvrir environ 15 ans plus tard un nouvel éclairage sur ce problème, qui me permet de revenir sur ce sujet et d'élargir sensiblement ma perspective du problème. Merci beaucoup pour cette vidéo (découverte via Hygiène Mentale, merci à lui) qui valait largement un like, un commentaire, un abonnement et le début d'un "archive binge" qui risque de me prendre un moment ^^
Punaise! Je tombe sur cette vidéo par hasard et suis abasourdi. Je ne m'attendais pas à tant de réflexion et de théorisation sur le sujet, vous m'avez un peu perdu. J'ai sans doute tord, ou alors il ya une théorie qui décrit mon comportement mais, j'ai eu une approche très empirique: J'ai posé le problème sous la forme de mon risque de perte (ou de non-gain). Si je ne change pas d'enveloppe alors que l'autre contient le double, je risque de perdre (ou ne pas gagner) 2€ , alors que si je change d'enveloppe et l'autre n'en contient que la moitié, je risque de ne gagner que 1€ et donc d'en perdre seulement 1 par rapport à mon enveloppe initiale. Conclusion, je risque d'avantage à garder mon enveloppe et préfère en changer C'est sans doute tordu et pas généralisable En tout cas, merci pour cette vidéo que je vais devoir revisionner pour tout comprendre
"Dans le doute on s'abstient" n'est pas une absence de choix. C'est le choix optimal basé sur l'hypothèse du pire scénario. C'est à dire sur un préjugé que la probabilité du pire scénario est de 100%. Et ça entre parfaitement dans le cadre d'un calcul bayésien.
Les pures abstractions mathématiques me parlent peu, donc je me suis tourné vers des simulations. J'ai lancé 3 simulations différentes, chacune avec 2000 tirages. Bon, ces simulations ignorent un peu le message final de la vidéo disant qu'il faut tenir du contexte, parce que j'ai fait en sorte d'avoir qqc d'à peu près équiprobable, càd des enveloppes qui contiennent soit (50,100), soit (100,200) €. Mais je voulais voir ce que ça donnait quand même. Dans la première simulation, je tire 2000 fois l'enveloppe qui contient 100 €. Je randomise le contenu de l'autre pour qu'elle contienne soit 50€ soit 200€. Puis je regarde ce que je gagne en moyenne si je garde l'enveloppe ou si je change. En moyenne, la stratégie de changement d'enveloppe me fait gagner 125 € (et évidemment, garder l'enveloppe me fait gagner 100 € en moyenne). Dans la seconde simulation, je fixe toutes les enveloppes à (100, 200) et je randomise laquelle est choisie. Puis je regarde le montant gagné en moyenne en gardant ou en changeant. dans les deux cas, j'obtiens 150€. (Si j'avais fixé à (50,100), j'obtenais 75 €). Enfin dans la troisième simulation, je randomise les contenus entre (50,100) et (100,200). Puis je randomise aussi quelle enveloppe est choisie. La stratégie ne change rien au résultat : je gagne en moyenne 112,5 €. Pour moi, la simulation 1 ressemble le plus au scénario décrit par le paradoxe des 2 enveloppes, et le gain espéré en changeant systématiquement d'enveloppe est de +25%. Mais seulement si les deux contenus possibles sont équiprobables. Ce que j'aurais aimé pouvoir calculer, c'est à quel point il faudrait que je mette mon curseur bayésien vers le choix (50,100) pour que ce gain de +25% diminue jusqu'à devenir nul, voire négatif.
Ta simulation ne correspond pas à l'énoncé en fait. Tu part de l'apriori que l'autre enveloppe à 50% de chance d'être le double ou la moitié. Un algorithme correspondant à l'énoncé serait : On met une valeur x dans l'enveloppe A. On met le double dans l'enveloppe B. Le joueur 1 prend une enveloppe au hasard (50% de prendre A ou B). Le joueur 2 prend l'autre. Avec 10000 itérations, les joueurs ont gagné presque la même somme. En absence de tout contexte, Il y a donc bien 2 chance sur 3 pour tomber sur la moitié de la somme en changeant d'enveloppe, ce qui revient à un gain moyen nul.
D'ailleurs, de mes différentes simulations j'obtiens ce constat : On prend une enveloppe A, la probabilité que l'enveloppe B soit le double est de 1/2. On prend une enveloppe A, on tombe sur 40, la probabilité que l'enveloppe B soit le double est de 1/3. Fascinant.
Après si je tombe sur une enveloppe avec 4€, je me dis que c'est soit 8€ soit 2€ dans l'autre enveloppe. De la même manière que tu as parlé du financement des labos, j'aurais douté que tu mettes 8€ dans une enveloppe, pour des raisons de budget. Disons que de mon point de vue, il était plus improbable qu'il y ait 8€ dans une enveloppe (budget) que 0,50€ (non-entier). Donc le couple 1€-2€ me semblait plus probable que le couple 2€-4€. De plus, 1€ et 2€ se pait avec 1 seule pièce ! Alors que 4€, il faut commencer à en avoir plusieurs.
Une variante me vient où les valeurs contenues dans les enveloppes sont des nombres entiers sans unité (une enveloppe contient X et l'autre Y, différent de X). On choisit une des deux enveloppes, on prend connaissance de son contenu, puis on a la possibilité de changer. Si on se retrouve avec l'enveloppe qui contient X, on repart avec un gain A, sinon, avec un gain B (=2A). En quoi cela changerait la reflexion d'avoir une information autre que le gain dans l'enveloppe ?
Bonjour bonjour En cours de maths on a vu une méthode très intéressante que je suis surpris de ne pas voir ici. Elle ne fait pas du tout appel à la théorie bayésienne. On note X le premier gain obtenu. On suppose P(X=x1) = P(X=x2) = 1/2 (ici x2 = 2*x1, mais le cas général x2>x1>0 marche aussi) Puis... on tire une variable aléatoire T de loi exponentielle de paramètre L (par exemple L=1 suffit) On ne change d'enveloppe que si T>X On note F la variable aléatoire correspondant à notre choix final. Faites les calculs, on trouve P(F=x2) = (1 - e^(-Lx2) + e^(-Lx1))/2 P(F=x1) = (1 - e^(-Lx1) + e^(-Lx2))/2 On a bien P(F=x2) > P(F=x1), quel que soit les valeurs de x1, x2 et L, ce qui est quand même formidable ! Mais bon, pour avoir une différence significative, il faut choisir L pour que la différence soit maximale. Le maximum est atteint en (ln(x2) - ln(x1))/(x2 - x1)... ce qui dépend donc de x1 et x2 ! On retrouve donc la même faiblesse : il faut avoir une croyance a priori sur le montant dans l'enveloppe.
Si je comprends bien, ça revient finalement au même que la stratégie proposée par Lê, non ? À ceci près qu'au lieu de commencer par tirer une variable aléatoire pour déterminer le seuil à partir duquel tu changes d'enveloppe, tu en fais juste une estimation "au doigt mouillé" en fonction du "contexte" (ce qui n'est certainement pas très rigoureux d'un point de vue mathématique, mais se défend d'un point de vue pratique ?)
Cette question amène à un paradoxe : Admettons qu'on remplace l'argent par des points (qui sont des nombres entiers) et qu'il doit y avoir un doute sinon c'est pas une bonne énigme. On prend une enveloppe au hasard. Si c'est impair, c'est forcément le double, sinon on se retrouve avec des moitié de points mais ça n'existe pas. Donc l'autre est forcément le double et il n'y à pas de doute. Donc il n'y a pas d'enveloppes avec une valeur impaire. Si c'est pair mais pas divisible par 4 (genre 6), dans ce cas, l'autre est forcément le double sinon elle est impair mais on vient de dire qu'il ne peut pas y avoir de valeur impaire. Donc l'autre est forcément le double et il n'y a pas de doute possible. Donc il n'y à pas d'enveloppes avec une valeur qui n'est pas divisible par 4 (donc les 2 sont divisible par 4). ... . Si c'est divisible par 2↑n mais pas par 2↑(n+1), dans ce cas, l'autre est forcément le double sinon elle divisible par 2↑(n-1) mais on vient de dire qu'il n'y à pas d'enveloppes divisible par 2↑(n-1) et il n'y a pas de doute possible. Donc les 2 enveloppes sont divisible par 2↑(n+1). (Quand je dis "divisible par 2↑n, c'est divisible par 2↑n mais pas par 2↑n+1)
Si on ne prends pas en compte l'importance de l'argent dans nos quotidien, il faut systématiquement changer d'enveloppe ! Car : 2 ÷ 2 = 1 on perd "que" 1 euro par rapport a l'enjeu de départ, alors que si 2×2 = 4 on gagne 2 euros par rapport a l'enjeu de départ. Risquer de perdre 1 euro ou tenter d'en gagner 2
Est-ce que le montant est en réalité un X, ou une somme dans une monnaie dont je ne connais pas la valeur (mais que je veux maximiser), le paradoxe persiste toujours, et je ne peux faire aucun préjugé. Est-ce que ce serait pas raisonnable de préjuger que changer d'enveloppe ou pas ne change rien ? (puisque le montant dans l'enveloppe ne donne en fait aucune info supplémentaire dans ce cas) Avec ce préjugé, on peut calculer la probabilité de doubler sa mise si on change (1/3) et la probabilité de diviser sa mise par 2 (2/3) en fixant l'égalité d'espérance de gain.
Un aspect intéressant du problème et qui est pour moi la vraie raison pour laquelle le premier raisonnement ne marche pas, c'est qu'il suppose en gros que toutes les valeurs sont a priori equiprobables : il est d'ailleurs compatible avec le raisonnement bayésien si on a un a priori uniforme sur l'ensemble des entiers. Bien évidemment une loi uniforme sur les entiers, ça n'existe pas, et si ça existait l'espérance de gain serait infinie (ce qui explique la conclusion du premier raisonnement qui dit qu'on aura toujours plus que ce qu'on a déjà). Du coup, le 50-50 du début est une mauvaise application de la loi d'entropie maximale, puisqu'il l'applique à posteriori et pas a priori. En particulier, il faudra plutôt l'appliquer pour le prior qu'on a sur les sommes d'argent possibles sur les entiers - mais encore une fois, aucune loi sur les entiers n'a une entropie maximale, donc ce pas applicable.
Pour le paradoxe Monty Hall, trop peu de réflexion mène à l'erreur de stratégie. Pour les deux enveloppes , trop de réflexion mène aussi à une erreur de stratégie.
L’espérance n’est pas à posteriori perdre 1 € ou gagner 2 € avec une proba 1/2 ? D’où E = 1/2*(-1) + 1/2*4 = +0,5 €. Donc il vaut mieux changer d’enveloppe. +généralement si on tire x € et que les E = 1/2(-x/2) + 1/2x = +1/4 x€
Tout le paradoxe réside dans le fait que ce raisonnement est faux ;-) C'est vrai que c'est choquant, mais comme l'explique la vidéo on ne peut pas définir une équiprobabilité sur les deux valeurs possibles de la 2è enveloppe... C'est un peu dommage d'ailleurs que Lê ne passe pas plus de temps à développer cette question, qui reste quand même extrêmement perturbante : on a compris qu'on était tenté de tomber dans le "piège du 50%/50%", mais le fait qu'une espérance de gain équivalente en cas de changement semble "impliquer" (à tort ?) une probabilité plus grande d'avoir tiré l'enveloppe contenant le montant le plus élevé continue de me chafouiner. Et c'est encore plus choquant quand on imagine un jeu où le montant le plus élevé est 10 fois supérieur au moins élevé...
Au Québec nous avons une loterie qui s'appelle La poule aux œufs d'or. Je crois qu'elle exploite bien ce paradoxe. Les gens choisissent une enveloppe et un œuf (qui contient une enveloppe) avec des montants d'argent inscrit dedans. On ouvre la première enveloppe et dévoile le montant. Après un moment de réflexion, la personne doit décider si elle garde le montant ou va voir ce qu'il y a dans l'œuf. Inutile de vous dire qu'il n'y a pas que 2 euros en jeu ;-) Le gros lot dans l'œuf peut atteindre $500 000!!
La théorie de l'entropie maximale ne permet pas de déterminer entièrement les préjugés dans ce cas. La théorie dit que ce sont les lois géométriques qui maximisent l'entropie sur l'ensemble des entiers naturels. Mais encore faut-il choisir le paramètre de la loi géométrique, ce qui laisse une infinité de choix...
Salut Lê, j’ai remarqué que youtube a mis en place pas mal de truc pour réduire sa toxicité dernièrement (dernier truc en date apparu sur mon écran, une proposition pour définir un rappel pour arrêter de regarder des vidéos) Est ce que tu as des choses à partager à ce sujet?
De mes différentes simulations j'obtiens ce constat : On prend une enveloppe A, la probabilité que l'enveloppe B soit le double est de 1/2. On prend une enveloppe A, on tombe sur 40, la probabilité que l'enveloppe B soit le double est de 1/3. Fascinant.
L'explication de fin va encore plus loin, on sait que l'argent c'est un nombre à 2 digit après la virgule maximum. Donc si on a 1,27 euro alors on a 100% de raison de changer d'enveloppe car on ne peut pas diviser 1.27 euro par 2 exactement. Donc pour le calcul bayésien du début il faut prendre en compte la donnée pour laquelle le nombre doit être entier et paire. Prenons l'exemple où on pioche 6, les résultats possible dont 3 et 12. Donc on doit regarder le cas où on aurait piocher 3, les résultats aurait été 1.5 et 6. Or 1.5 n'est pas valide, ce qui veut dire que 3 est assez improbable. Il nous reste donc que 6 et 12. Il faut donc probablement changer d'enveloppe. Et pour le préjugé on peut se dire que le nombre à été choisi aléatoirement entre 0 et le chiffre d'affaire de l'entreprise. Or il est hautement improbable de tomber sur un nombre entier. Et si la machine fait un arrondi à l'unité alors il est assez improbable de tomber sur un nombre non entier qui une fois divisé par 2 donne encore un entier. etc... Tout ça pour dire que le calcul simple qui dit qu'il faut changer car l'espérance est plus élevé est faux. Il manque beaucoup trop de donné alors qu'elles sont dans l'énoncé.
Je comprends le paradoxe dans le cas concret, effectivement la supposition d'une équiprobabilité sachant la somme découverte dans la 1ere enveloppe est fausse car on a plusieurs informations grace au contexte (organisateur, ..) mais qu'en est il si l'organisateur est un ordinateur qui peut choisir n'importe quelle sommes de manière rigoureusement équiprobable. Là pour le coup après avoir découvert les 2E dans la première enveloppe j'ai réellement une chance sur deux d'avoir 4E dans la seconde et une chance sur deux d'avoir 1E, non? Et on retombe dans le paradoxe
Je pense que la solution ici se situe sur le fait que l'événement 'choisir n'importe quelle sommes de manière rigoureusement équiprobable' induit une notion d'infini . @Science4All pourrais tu aider sur ce point ?
Interresant, on reste un peu sur sa faim, la conclusion sonne comme "quelle est la probabilité de faire un 6 en lançant un dé à 6 faces ?" - " ben ça dépend il faut évaluer la probabilité que le dé soit pipé, comment et par qui, volontairement ou pas etc." Mais l'expérience et le sujet sont vraiment sympas.
Bonjour, Il manque une donnée dans la réponse à votre problème, qui peut être formulée de la façon suivante : Pour le sujet, la valeur de l'information contenue dans les 2 enveloppes est elle supérieure à la valeur numéraire totale contenue ? Vous aviez pourtant bien démarré avec l'histoire du copain qui connait l'organisateur. Mais vous n'êtes pas allé jusqu'au bout. Explication : si l'on pousse le pragmatisme jusqu'au bout et en fonction du nombre de sujets qui participent à l'expérience, le 1er sujet doit systématiquement ouvrir le contenu des 2 enveloppes afin de savoir! La valeur de ce savoir est alors, a partir de 3 sujets, systématiquement supérieure à la valeur maximale du curseur bayésien, si, et seulement si, les autres sujets sont d'accord pour monnayer ce savoir ... Et que le 1er sujet n'a aucun scrupule à faire capoter l'expérimentation. Le fait de connaître le contenu des 2 enveloppes devient alors le préjugé le plus puissant !
Je vois un gros problème avec le raisonnement que tu développes pour justifier que tes petits camarades auraient dû conclure au scénario (2,4) de par leur connaissance de ta personnalité. Ton raisonnement se base sur 2 hypothèses : Hypothèse 1 : une personne te connaissant qui tomberait sur une enveloppe contenant 1 euro aura la certitude que tu as exclu (0.5,1) et choisi (1,2). Hypothèse 2 : tu veux exclure les situations certaines. Et aboutit à la conclusion suivante : une personne te connaissant qui tomberait sur une enveloppe contenant 2 euros aura la certitude que tu as exclu (1,2) et choisi (2,4). Ceci ressemble très fortement à l'hypothèse 1 appliquée au cas "2 euros" au lieu de "1 euro". Il n'y a aucune raison de penser que ta volonté d'exclure les certitudes a disparu donc l'hypothèse 2 est toujours applicable. Par itération du même raisonnement, on doit conclure que tu as exclu (2,4). Et là on tombe sur une contradiction : notre connaissance de ta personnalité nous amène à conclure que tu as forcément exclu les deux seules répartitions possibles pour une enveloppe contenant 2 euros et pourtant on a une enveloppe avec 2 euros entre les mains. On doit donc admettre que tu as renoncé à exclure une situation certaine, surement pour une question de budget allouable à l'expérience. Et donc considérer à nouveau que (1,2) et (2,4) sont toutes les deux possibles.
Est-ce bien une inégalité stricte à 8:07 ? Sinon quelle hypothèse faut-il rajouter pour distinguer l'égalité ou l'inégalité stricte ? Ca me sembe un peu difficile d'imaginer que c'est toujours strictement positif, pour autant j'ai du mal à savoir quoi rajouter comme hypothèse pour avoir une égalité, étant donné qu'on précise que "D" n'affecte pas "a" ? Qu'est-ce qu'on appelle "affecter" ici d'ailleurs ? J'imagine que c'est une précaution pour éviter des problèmes du type celui du paradoxe de Simpson, mais j'ai du mal à explorer ça plus profondément. Merci si qqun peut apporter des précisions à cette question :)
J'ai une question sur le Bayésianisme : D'abord je vais prendre comme hypothèse qu'il n'y a pas de "porc" ici, pas de préjugé sur les hommes et les femmes. Professionnellement, on sait que les hommes sont plus facilement engagé, plus efficaces et (donc ?) mieux payé. Bref, le préjugé évident est que les hommes doivent être favorisé à l'embauche. Or c'est justement ce préjugé qui amène ces observations. Donc, une démarche bayésianiste n'aurait-elle pas le plus mauvais effet possible ? N'y a-t-il pas moyen de savoir quels sont les problèmes ou préjugés problématiques ? Et surtout ceux qui ne le sont pas ? Ne serait-ce pas la majorité des véritables problèmes de l'humain qui sont comme ça ? Si on raisonnait comme ça. On ne serait pas tous en train de dire que si, c'est bien une solution correcte !? Et donc pas d'apriori, pas de préjugé, c'est comme un garde-fou ? Voir même, que la majorité des problèmes humains demandera toujours un recul, une interprétation toujours plus grande que ce que le bayésianisme peut produire ?
Hum hum... Il me semble possible pour corser le problème d'essayer (comme pour Monty Hall) de définir les données initiales de façon à les rendre plus "mathématiquement pures". Imaginons un jeu télévisé. La somme moyenne à gagner (après de multiples épreuves, genre Fort Boyard) serait de 20000 €, et le joueur le sait. Les organisateurs tirent alors au sort dans une série de paires les deux sommes à placer dans les enveloppes. Il y à par exemple 5000 et 10000, 10000 et 20000, 20000 et 40000 et 40000 et 80000. S'il tire 5000 € ou 80000 €, pas de question à se poser, le joueur sait ce qu'il doit faire et tant mieux pour lui (applaudissements des téléspectateurs) ! Mais s'il tire 20000 € ? Les paires 10000-20000 et 20000-40000 sont équiprobables. Que doit-il faire ? Dans ce cas, changer d'enveloppe est le choix mathématiquement correct. En effet, s'il est sur la paire 10000-20000, il aura perdu 10000 €. S'il est sur la paire 20000-40000, il en aura gagné 20000. On remarque qu'il est impossible de prendre cette décision avant d'avoir ouvert l'enveloppe. Et on peut multiplier le nombre de paires (2500-5000, 80000-160000...), cela ne change rien : si on ne tombe pas sur une des extrêmes, il faut changer d'enveloppe. On voit que la question se pose de façon tout autre si le ratio entre les deux paires est différent. Ainsi si on décide qu'il y a dans les enveloppes les sommes suivantes : 5000-7500, 7500-10000, 10000-12500, 12500-15000,17500-20000 (la progression est arithmétique et non plus géométrique). Je tire 12500, que dois-je faire ? Ici, on voit que cela ne changera rien. Dans un cas je perds 2500€, dans l'autre je les gagne, l'espérance est la même. Inversement, s'il y a moins, par exemple si les paires sont 5000-10000, 10000-14000, 14000-17000, 17000-19000 et 19000-20000, je ne dois pas changer d'enveloppe (toujours hors extrêmes, bien sûr). Enfin si le ratio entre les enveloppes n'est plus x2 mais par exemple x10, il est clair qu'hors extrêmes, je dois toujours changer. Par exemple avec 10000€, je prends le risque d'en perdre 9000, mais aussi la chance d'en gagner 90000. Sauf si j'ai un besoin absolument vital de 10000€... ! Bien sûr ces choix supposent deux conditions, que l'on sache que les paires sont déterminées à l'avance et tirées au sort et que le joueur connaisse la somme moyenne qu'il est susceptible de gagner. On peut imaginer que le joueur ait connaissance de la somme moyenne mais ne connaisse pas les paires extrêmes, laissées à l'initiative de l'organisateur. Cela change son attitude s'il tire une très grosse somme (il doit alors réfléchir à la garder - 160000 €, je garde !) ou une petite somme (2500 €, je change). Mais on voit que s'il est sur une somme qu'il sait intermédiaire (20000 € par exemple), il a intérêt à changer d'enveloppe.
J'arrive pas à comprendre le contre-argument contre le fait de changer d'enveloppe. l'espérance est, pour tout montant g, de g si on échange pas, et de 4g/5 si on échange. Donc on doit échanger tant que le montant est strictement positif. Maintenant, si on parle de la taxe de 1%, si on échange, notre espérance est de 99/100 * 4g/5. Maintenant j'imagine que quand tu proposes de rééchanger, tu parles de rééchanger pour avoir soit 0.99*5g/4 soit (0.99 * 5/4)^2 * g en espérance. et donc si on échange n fois, on a (1.2375)^n g comme espérance. Mais le problème me paraît assez cohérent, vu qu'on a la possibilité de gagner en moyenne plus qu'on ne peut perdre (on gagne x alors qu'on perd x/2), l'espérance diverge avec le nombre d'essais.
Le problème de ce raisonnement est au moment où on dit : Espérance = g/2 * P(grande | g) + g*2 * P(petite | g) les probabilités sachant g ne sont pas forcément de 50%. Par exemple si on ouvre et qu'on voit 4 euros, il y a 2 possibilités. Soit il y a 2 et 4 euros dans les enveloppes, soit 4 et 8 euros. avant de tirer , que les enveloppes contiennent 2 et 4 ou 4 et 8 , on a bien 50% de chances de tirer la grosse et 50% de tirer la petite. Mais une fois qu'on a choisi et qu'on voit 4 euros, la probabilité que l'autre enveloppe contienne 2 euros n'est pas 50%. Cette probabilité dépend des probabilités à priori d'avoir les couples 2-4 ou 4-8.
Je n'est pas envie de me venter mais j'avais bien vu qu'avec le premier raisonnement il fallait qu'elle que soit X changer d'enveloppe, j'avais bien noté le préjugé que l'enveloppe a autan de chance d'être celle avec le plus d'argent qu'avec le moins et surtout j'avais deviné que si on devaient remettre en cause ce raisonnement c'était le préjugé qu'il fallait attaquer. Mais je l'avais dit et je le pense toujours, ci tu prend ce problème dans un sens générale et purement mathématique alors ce préjugé me semble complètement justifié. Je pense qu'il serais intéressent de s'intéressé de en quoi sachant ce préjugé cette réponse nous semble contrintuitif. Pour mois c'est que l'on confond le monde des multiplications et des divisions au monde des additions et des soustractions qui fonctionne très différemment. En effet une échelle multiplicatif n'est pas linaire: On considère une échelle qui va de un (un étant l'élément nul des multiplications et des divisions) à plus l'infini par la droite, par la droite les nombres vont croitre de façon exponentiel et très rapidement devenir très grand, par la gauche les nombres vont décroitre de moins en moins vite. Ci tu prend un nombre sur cette droite et que tu calcule sa différence entre le nombre qui le suit et qui le précède, par la droite cette différence en valeur absolu sera plus importante que par la gauche. C'est de cette façon que l'on peut comprendre qu'il vaut mieux changer de lettre ( à cause de la non linéarité). Je pense que ce serais vraiment une bonne idée de faire, sur une autre série de vidéo, une sur ces deux monde et en quoi il sont incompatible. Bien que Mickaël Launay est déjà fait une vidéo dans ce gore il y à peut être d'autre chose intéressent et contre intuitif à en tiré.
cf 4:40, l'erreur c'est de faire la moyenne à 50/50... c'est à dire de supposer que 1/2 et 2/4 sont equiprobables, ce qui n'est pas forcément vrai et dépend du contexte.
@@louis2271 oui mais hors contexte, ils ne sont pas non plus équiprobable? je veux dire si l'espérance doit être égale à 1, la probabilité d'avoir le couple 1/2 est de 2 tiers et 2/4 est de un tiers? et s'il y a un rapport 10 entre les enveloppes les probabilités passent à 91% pour 0.2/2 et 9% pour 2/20 ?
Si tu as 2/3 de la masse monétaire européenne dans ton enveloppe, tu préfères encore changer d'enveloppe ? La répartition uniforme n'est pas triviale, car son comportement à l'infini est impossible Alors qu'une répartition en exponentielle, où les petites valeurs sont plus probable, me semble en un sens plus naturelle... Mais ça se discute ! C'est justement pour ça que le contexte a son importance ;)
@@louis2271 exactement... Le passage par l'approche bayesienne m'a été très utile pour bien saisir le soucis, même si elle est trop large en laissant la possibilité d'a priori trop arbitraire ce qui conduit à définir comme mal posés tout un as de problèmes qui sont en fait bien posé friand on lit attentivement leur exposé et s'attache à ne pas ajouter ou retirer d'information à cet exposé (comme le monty hall bien explicité par exemple). L'astuce ici est de bien distinguer le problème ou les sommes sont décidées à l'avance et la somme révélée est tiré au hasard, du cas où l'on révèle une somme avant de tirer au hasard si l'autre est le double ou la moitié... Les subtilités de ces différences paradoxes se clarifient en général quand on examine queries informations sont réellement données, y compris leur ordre et les contraintes globales sur ce qui reste caché qui peuvent en résulter. Donc ici, le fait que les sommes soient fixées à la base change effectivement la probabilité que l'autre somme soit double ou moitié, ce n'est plus du 50/50 et ce n'est plus équivalent au problème ou après avoir ouvert une enveloppe, on choisis à 50/50 de leur le double ou la moitié dans l'autre. C'est super subtil mais l'énoncé bien examiné permet de savoir quand on peut décider que des alternatives sont equiprobable et quand elles ne le sont pas: en général les alternatives de base le sont, les alternatives "dérivées" ne le sont pas.... Et la somme présente des la 2ème enveloppe est une alternative dérivée, en tout cas dans la formulation initiale du problème...
Il me semble que l'énoncé du problème participe à inciter les gens au sophisme du 50%/50% (question de champ lexical). En effet, si l'énoncé était clairement: "j'ai mis ou 2 et 1 euros, ou 4 et 2 euros dans les enveloppes." Les gens se demanderaient immédiatement à quel point tu aimes l'argent ^^, non ?
Sur le passage axiome, ya un paramètre très important dans la décision qui n'est pas évoqué c'est la situation personnelle et son choix personnel de risque a prendre. C'est à mon avis ce qui influe le plus sur les choix.
Et pour le choix du montant à la fin, le choix de prendre des montants pairs dépend surtout de l'idée qu'on se fait de la personne qui prend la décision. Éviter un montant impair c'est choisir d'influencer le problème dans une direction. Pour des raisons plus ou moins bienveillantes éventuellement, ou de l'idée qu'on se fait de ceux qui doivent répondre au problème. Le plus vicieux étant de prendre des montants indivisible et d'arrondir au plus proche entier :D Tout dépend de ce qu'on veut tester au final. Donc il faudrait essayer de savoir quel type de problème la personne essaie de poser. Sachant que c'ets probablement le cas si elle n'exclue pas les cas comme les impairs dans l'explosé.
Même avec l'explication j'ai du mal à trouver un calcul satisfaisant. Si c'est Bill Gates qui organise l'expérience et que je tombe sur 4€, je n'ai à priori pas de raison de penser que les enveloppes sont plutôt [2;4] que [4;8]. Je ne peux pas éliminer l'hypothèse [2;4] avec le raisonnement final (si j'étais tombé sur 2 je me serais posé la question entre [1;2] et [2;4] qui sont aussi selon moi autant probables dans cette situation). Donc avec mon information de 4€ qui ne m'avance à pas grand chose, le calcul d'espérance de l'enveloppe opposée à 50/50 de 2€ ou 8€ me pousse à changer d'enveloppe, ce que je trouve absurde en prenant du recul sur l'expérience avant d'ouvrir une enveloppe... Pourquoi avec un budget très grand supposé pour l'expérience devrait on systématiquement ouvrir une enveloppe, regarder le contenu et changer d'enveloppe pour maximiser ses gains ? Quelle différence par rapport à juste prendre une enveloppe au hasard et la conserver ? Je suis confus
Lors d'un grand budget on ne doit pas toujours changer, dans un jeu télévisé on peut se dire qu'ils vont mettre une grosse somme comme 100 000. Donc si tu tires 50 000 tu peux te dire "un jeu TV serait nul avec uns 50 000.euros, ils ont sûrement mit plus je vais changer" mais si tu tires 100 000, il est peu probable qu'il est mit 200 000 euros en jeu, 100 000 risque d'être leur maximum pour des raisons financieres, donc il faudrait garder l'enveloppe. Mais comme il le dit c'est très subjectif
@@thibaulttostain7047 Oui je suis d'accord pour le cas du jeu télé, mais je ne comprend toujours pas pourquoi dans mon exemple précédent où les hypothèses [2;4] et [4;8] sont équiprobables le calcul m'indique que je dois changer. Pour moi "tirer une enveloppe au hasard", et "tirer une enveloppe au hasard et changer" ça revient exactement au même dans cette situation, alors pourquoi le calcul m'indique qu'il faut changer ?
@@ksoupi327 oui c'est le point que j'aurais voulu voir aussi. OK, l'esprit de la chaine c'est "toute decision bayesienne se base sur un a priori", mais cela prive d'une question qui est importante je trouve : quelle est vraiment la faille dans le calcul d'esperance? (de maniere plus precise que juste dire "50% de proba est arbitraire")
@@alexrvolt662 J'ai trouvé une réponse satisfaisante en lisant l'article wikipédia associé. En réalité le calcul de l'espérance que l'on fait est faux car il correspond en réalité à une autre expérience qui consisterait en : je choisis une enveloppe au hasard -> je regarde le montant à l'intérieur -> je remplace la seconde enveloppe par une enveloppe qui contient la moitié ou le double de la somme que j'ai lu. Et dans ce cas changer est la bonne réponse mais cette expérience ne correspond pas à celle que l'on fait, notre calcul n'est donc pas le bon car il ne correspond pas à l'expérience des deux enveloppe telle que décrite dans cette vidéo.
Moi j'aurais dit que 1-2 est plus probable que 2-4 car ce sont les deux premiers entiers, donc ça semble le choix le plus naturel (et le plus radin). (Surtout, sur twitter il n'y avait pas d'aléatoire, on tombait forcément sur 2, ce qui excluait la possibilité 0,5-1.) Mais ma crédance dans ce prior est si faible que je n'aurais pas raisonné avec ce prior, mais avec une distribution de prior. Et au final j'en arrivais à la conclusion que ça changeait rien.
3 года назад
Le raisonnement avec 1€ c'est de se mettre à la place de l'expérimentateur qui se met lui-même à la place du candidat. Si on prépare deux enveloppes avec 1€ et 2€, et que par hasard le candidat prend celle avec 1€, il va changer parce qu'il y a une sorte de donnée implicite qui fait qu'on donne des nombres entiers d'€ dans ce genre d'expérience, donc le candidat va s'appuyer dessus pour changer et prendre l'enveloyà 2€. Donc anticipant ce raisonnement, Lê prend 2€ et 4€, en anticipant que ses abonnés attentifs y auront réfléchi et donc trouveront la bonne réponse.
J'ai un peu de mal avec la réponse, sans doute la frustration de "ça dépend du contexte" ? J'aimerais réfléchir au problème à la "dilemme du prisonnier" the game : A chaque tour on propose au joueur 2 enveloppes (tel que le problème le presente) et gagne les poins contenus dans l'enveloppe qu'il finit par choisir S'il joue X tours face à un autre joueur qu'elle est la stratégie qui maximise ses chances de gagner ? Puis dans le cas X = 1 quel sera la meilleure stratégie ?
ok mais en entendant cette solution bayésienne jme dis pas "ah oui bien vu", jme dis plutot que c'est proposé comme une expérience de pensée ou le but c'est l'esprit du problème plutot que de la jouer "think outside the box", et donc je suis plutot genre à assumer une certaine abstraction. Cette solution donne plutot l'impression que c'était une devinette fun qu'un problème mathématique, que je me suis fait trick sur le référentiel plutot que sur un défaut de raisonnement par contre j'avoue qu'en premier lieu j'étais parti sur l'erreur de l'espérence de gain, ça c'était intéressant à voir
Je ne comprends pas votre évocation du sophisme du 50-50, moi j'avais compris que l'énoncé du problème était précisement qu'on avait une chance sur deux que l'autre enveloppe ait le double, et une chance sur deux qu'elle ait la moitié, ce n'était pas flou ou incertain, c'etait vraiment 50-50.
@@neloka4313 Étant donné la proportion importante de personnes qui font cette interprétation du problème, cela semble assez malavisé de vouloir attribuer cela à un manque de compréhension.
@@neloka4313 Et supposons que l'énoncé soit vraiment 50% de chances comme beaucoup l'ont compris, ça ne change rien au calcul de l'espérance qu'il explique et aux problemes que ça pose non ?
J'ai eu une autre approche au niveau de l'espérance de gain. Nous avons 2€ en poche, si on change nous perdons ces 2€ puis nous regagnons soit 1€ soit 4€, non ? Du coup la moyenne serait ( (1-2)+(4-2))/2 =0.5 Est-ce que mon raisonnement est biaisé ?
J'ai mis pause, je suis en train de réfléchir mais je comprends pas l'option "ça ne change rien". En aucunement on fait un choix de changer ou de conserver son enveloppe ? quelqu'un qui répond "Ça ne change rien", il conserve ou il change d'enveloppe? Bon je continue la video, j'aurai peut être une meilleure compréhension
Je pensais qu'il fallait garder la première enveloppe : l'enveloppe contenant le double de la première correspond forcément à un montant pair... Du coup si je comprends bien mon à priori c'est un 50-50 sur la parité du plus petit montant, soit que le plus petit montant avait été tiré aléatoirement.
Ok, mais si on n'a pas de préjugés, comme dans la situation où on ne regarde pas le contenu de l'enveloppe sélectionnée avant de choisir si on préfère changer ? Comme ça a été dit dans la vidéo, on retrouve le paradoxe, puisque le raisonnement par maximisation d'espérance tourne en rond, mais à côté de ça, on n'a aucun préjugé qui nous permette d'en sortir de quelque façon que ce soit, rien qui ne nous permette de nous débarrasser de ce 50/50.
On a toujours des préjugés puisqu'on a vécu avant et que les situations réelles ne peuvent pas exister dans le vide. On peut forcément y rattacher des expériences précédentes qu'on a eues. Par exemple si un type inconnu t'aborde dans la rue pour te proposer ce deal tu peux commencer à réfléchir : pourquoi il fait ça? Quel intérêt il peut avoir? Comment il est habillé et qu'est ce que ça dit sur lui? Là typiquement je te conseillerai de ne pas jouer du tout parce que c'est probablement un truand...
@@voltirussk4608 J'entends bien qu'on a toujours des préjugés, et que chaque bribe d'information qu'on a pu récolter dans notre vie peut nous dire quelque chose sur la stratégie à adopter, mais il y a bien un point à partir duquel elles ne vont presque plus rien pouvoir nous dire. On peut aller très loin dans la préparation de la situation pour enlever chaque semblant d'indice possible à obtenir (par exemple, on peut programmer un ordinateur pour qu'il nous fasse lui-même jouer à ce jeu, pour être sûr qu'il soit honnête et impartial), et on peut se poser à nouveau la question à ce moment-là. On va bien finir par arriver à une situation dans laquelle les informations qu'on possède sont si négligeables car trop incertaines qu'on ne peut pas en tirer des conclusions capables de nous faire dévier d'une stratégie censée être optimale (typiquement, si une stratégie nous donne une espérance 50% plus élevée, des informations qui altèrent la probabilité de réussite de quelques millièmes de pourcent ne suffiront pas à la remettre en cause). Et la question se pose à nouveau dans ce cas-là : comment lever le paradoxe ?
@@artsenor254 Pour pouvoir résoudre le problème, on a besoin de connaître le processus par lequel les montants disposés dans les enveloppes sont choisis. Si l'on ne connait pas ce processus, alors on doit émettre des hypothèses sur ce processus. L'hypothèse qui consiste à croire que tous les montants sont équiprobables est invalide car il y a une infinité dénombrable de montants possibles. La frustration de ce paradoxe vient du fait que l'énoncé ne donne pas toutes les informations nécessaires pour le résoudre uniquement par déduction.
@@127Nomis Soit, mais le paradoxe existe également avec une quantité dénombrable de valeurs possibles. Si tu sais que l'organisateur du jeu a pris un nombre au hasard entre 1 et 20 (en tirant un dé à vingt faces ou à coups de RNG) et a mis le montant tiré dans une enveloppe et le double dans l'autre, si on fait le choix sans regarder le contenu de l'enveloppe, la stratégie de maximisation d'espérance est toujours la même (vu qu'on ne regarde pas le résultat, on ne peut pas juger sur la base d'arguments du type "si c'est un nombre impair, il faut changer, et si c'est supérieur à 20, il ne faut pas changer", donc on reste dans cette idée d'avoir bien une chance sur deux de se tromper). Et là encore, elle s'avère absurde par le fait qu'elle boucle sur elle-même.
@@artsenor254 Dans l'expérience que vous proposez, lorsque l'on tire un nombre impair, on sait à coup sûr qu'il y a le double dans l'autre enveloppe. Le processus ne boucle pas, puisque l'on acquiert de l'information supplémentaire uniquement lorsqu'on ouvre la première enveloppe. Ensuite, l'espérance pour changer une seconde fois devient négative. Donc on ne doit changer qu'une seule fois (sauf si on tire un montant supérieur à 20). À partir du moment on l'on détermine un processus pour choisir les montants, tout devient calculable. Le paradoxe n'existe que lorsque cette donnée est manquante.
Je viens de mettre le doigt sur ce qui me gênait dans le raisonnement : les formulations des théories sont basées sur la donnée (T=(1,2), A=(2,4)) ce qui, en conséquences, fait que les préjugés considèrent la donnée. Je préfère me représenter T comme "mon enveloppe contient le double de l'autre enveloppe", ainsi P(T)=1/2. Et la donnée s'invite ensuite via les vraisemblances : P(D|T) ("quelle est la probabilité d'avoir 2 euros dans mon enveloppe, sachant que mon enveloppe contient le double de l'autre ?", ce qui est équivalent à "quelle est la probabilité d'avoir le couple (1,2) ?"). Bien sûr, je pinaille, puisqu'au final le calcul est rigoureusement identique. Il ne fait qu'intervertir préjugés et vraisemblances. Mais je trouve ce raisonnement plus "Bayes friendly"...
On peut aussi imaginer que le test de l'enveloppe est fait pour tester l'attirance des gens à risquer le double du gain et ses conséquences psychologique dans le cas de la perte de gain. La question à se poser serait : "est-ce qu'il est plus pertinent d'étudier les conséquences psychologique de la perte ou du gain pour les chercheurs actuels ?". Personnellement je miserai plus sur l'étude de la perte de gain, puisque ses manifestations psychologique seraient plus complexe à définir et donc plus digne d'être étudié par un institut pour pouvoir, par exemple, régler des problèmes d'addiction
Il est inutile de changer d'enveloppe et je vois pas le débat étant donné que y'a aucun moyen de savoir ce qu'il y a dans l'autre enveloppe. Peu importe le choix fait, en fait le changement ou non d'enveloppe réside dans le fait que la personne soit ou non interessée par la somme qu'elle a déjà tirée
Dans les données, tu oublies "de combien d'argent ai je besoin". Si t'es pété de thunes, tu vas avoir envie de faire le pari de la senconde enveloppe. Si t'es dans la dèche et que tu aurais bien besoin de ces 2 euros pour te payer un café en terrasse, tu ne prendras pas le risque d'ouvrir une enveloppe à 1 euro qui ne te serait d'aucun secours. Si par contre t'as la dalle et que tu veux acheter ce sandwich à 3eur50, tu ouvres la 2nde enveloppe. L'espérance de gain doit être évaluée en tenant compte de l'enrichissement effectif du sujet qui ouvre, et de ses besoins.
Je m'en étais arrêté a penser que le calcul d'esperance devait être mauvais car absurde, mal adapté, mais je n'arrivais pas a mettre formellement le doigt ce qui n'allais pas ... je m'etais bien dis que le fait de découvrir une enveloppe devait changer le raisonnement ... mais je sèche, j'ai bien pensé a avoir une idéea priori du montant maximal possible de l'enveloppe, et ne surtout pas changer si la première est proche ou au delà, la probabilité d'avoir une autre enveloppe d'un montant supperieur plus faible qu'une enveloppe d'un montant inférieur. Sinon, egalement comme beaucoup de gens en fonction du besoin : si la somme initiale est satisfaisante, que la somme x2 change pas grand chose mais que la somme ÷2 change tout, alors on garde raisonnement inverse pour le cas inverse. (j'en suis a 4:01, je vais découvrir la suite :)) Pow pow pow ! Pas loin de la vérité :o
Approche intéressante, mais ça ne clarifie pas où se trouve la fille dans le raisonnement dans le cas 'parfait' mathématique et ça me rends dingue... Soit x un réel non nul, soit A et B 2 enveloppes; soit f une fonction qui assigne avec une probabilité de 0.5 "x à A et 2x à B" ; et avec une probabilité de 0.5 "x à B et 2x à A". Soit g une fonction qui retourne la valeur de A, désignée par y. Soit h une fonction qui retourne la valeur de B, désignée par z. -Quelle est l'espérance sur la valeur de B ? 5/4 y. -Quelle est l'espérance sur la valeur de A ? 5/4 z. Donc 5/4 y = z et 5/4 z = y? C'est faux, donc il y a quelque chose qui manque au raisonnement, et ça n'a rien à voir avec le fait que c'est un labo fauché qui fait l'expérience.
Olalala mais du coup je suis frustré 😅 J'ai peut-être mal suivi, mais si l'on considère les possibilités 2/4 & 1/2 comme équiprobables, quel est donc le bon raisonnement ? De changer ou non ? Je sais que le but de la vidéo est d'insister sur cette probabilité à priori, mais j'aimerais beaucoup connaître la réponse, si l'on oublie le préjugé, tout de même :D
Bon alors, il y avait quoi dans la seconde enveloppe ? Et si la cupidité ne touchait que 10% voire n’existait pas en ce bas monde quelle serait la solution ? Thomas n’a pas développé sa théorie pour assouvir la cupidité des gens, pour preuve, il aimait à soutenir Isaac qui jouait avec des pommes !
Réponse très peu satisfaisante car très peu mathématique (depuis quand on répond ça dépend du contexte en maths) La vraie réponse est celle ci : il n'y a pas assez de données pour pouvoir répondre à la question. Il faut connaitre la loi de distribution des paires possibles. C'est comme si je posais la question " dans une enveloppe il y a un montant A dans l'autre le montant B, tu prends une enveloppe il y a 2 euros dois tu échanger d'enveloppe ? " Réponse : Il n'y a pas assez d'éléments pour répondre. De plus, quelque soit D la distribution des montants des enveloppes à la question "sachant que la distribution des montants est D dois-je échanger quoi qu'il arrive ?" la réponse est toujours non (idem pour garder ou ça ne change rien)
Ah MERCI, enfin une remarque qui apporte des éléments de réponse vraiment satisfaisants à ce problème, après avoir lu un peu de tout et de n'importe quoi (et pas seulement dans les commentaires sous cette vidéo...) ! Juste pour être sûr d'avoir enfin compris (et aussi vérifier une intuition) ; est-ce qu'on peut dire que connaissant parfaitement la loi de distribution des paires il existe toujours une stratégie optimale pour tout montant trouvé dans la 1ère enveloppe ? Pour prendre un exemple de distribution très simple : si je sais que "l'organisateur" a tiré au dé le montant de l'enveloppe 1 et mis le double dans l'enveloppe 2, alors la stratégie optimale est de : - changer si je trouve un montant impair (1, 3, 5) → évident - garder si je trouve un montant > 6 (8, 10 ,12) → évident - changer pour toutes les autres valeurs possibles (2, 4, 6) → car l'hypothèse d'équiprobabilité des deux paires dans lesquelles on peut trouver chacun de ces nombres est ici correcte, ce qui m'autorise à faire un calcul classique d'espérance de gain (du genre de celui qui est "critiqué" au début de la vidéo) C'est correct ? Et on peut supposer qu'il existera une "stratégie complète" de ce genre pour toute méthode de distribution (au moins si les valeurs sont des réels, et à condition de connaître la loi bien sûr) ?
@@renegirardo92 Merci de ton commentaire je suis ravi de voir que j'ai aidé quelqu'un :) Si tu connais la loi de distribution il y a toujours une stratégie optimale, d'ailleurs très simple à établir. Si tu trouves un montant x dans l'enveloppe tu calcules P(il y a 2x dans l'autre enveloppe, sachant que j'ai x dans la mienne) et P(il y a 1/2x dans l'autre enveloppe, sachant que j'ai x dans la mienne). Puis tu fais la moyenne (comme celle critiquée). Les probas conditionnelles sont toujours calculables si tu connais la distribution. Pour ton exemple en particulier ton analyse m'a l'air correcte.
@@ramdamdam1402 Franchement c'est moi qui te remercie - j'exagérerais à peine en disant que sans ton commentaire cette vidéo de Lê aurait gâché mon week-end ;-) Sans vouloir abuser, j'aurais encore une petite question pour bien tout clarifier dans ma tête : Quand tu disais "il n'y a pas assez de données pour pouvoir répondre à la question", j'entends quelque chose comme : "la réponse est indécidable", c'est-à-dire qu'en l'absence de connaissances sur la loi de distribution des sommes dans les enveloppes, on ne peut pas définir de probabilité pour les montants possibles de la 2è enveloppe (donc pas de calcul possible d'espérance de gain pour la stratégie de l'échange, etc...). Ça m'a immédiatement parlé, parce que ça semble s'opposer à d'autres tournures que j'ai lues par-ci par-là comme : "L'espérance est la même quand on change" ou "ça ne change rien" (tournure plus ambiguë, mais qu'on pourrait comprendre de la même façon que la précédente). Le truc qui me chiffonne avec ces affirmations, c'est que soit je déraille complètement, soit prétendre que "l'espérance de gain est la même" implique que la probabilité d'obtenir une somme inférieure quand on change serait deux fois plus grande que celle d'obtenir une somme supérieure... ce qui revient de fait à établir une loi de probabilité (aussi "arbitraire" que celle d'équiprobabilité) ! Je loupe un truc, ou bien ces affirmations sont au moins confuses (voire fausses) ?
@@renegirardo92 Tu n'abuses de rien, ça m'a fait même me remémorer des choses que j'avais oublié. Et puis de toute façon demander n'engage en rien. Bref, Il y a 2 types de stratégies possibles. Celles que j'appelle statiques et celles adaptatives. Une stratégie statique est une stratégie qui est indépendante du nombre vu dans ton enveloppe. Par exemple une stratégie statique c'est « je change tout le temps » ou « je change 75% du temps ». Ce qu'il faut c'est que x (le montant de l'enveloppe ouverte) n'apparaisse pas dans la description de ma stratégie. Les stratégie adaptatives sont celles qui peuvent dépendre de x. Dans l'exemple du dé que tu m'as donné on avait bien une stratégie adaptative (par exemple si tu vois 8euros dans enveloppe tu ne changes pas alors que si tu vois 1euro tu changes). Ce qui est vrai c'est qu'il n'y a pas assez d'éléments pour établir laquelle des stratégies adaptatives est optimale. Je reprends le l'exemple par l'absurde que je t'ai donné. Si je te dis verbatim « J'ai un nombre inconnu x. Est ce que x est plus grand que 2 ». Ta réponse doit-être « il n'y a pas assez d'éléments pour répondre ». Si j'adapte mon exemple avec des enveloppes : « Tu ouvres une enveloppe qui contient 2 euros, dois tu échanger avec une autre enveloppe qui contient un certain nombre inconnu d'euros ? ». Si on suit la logique fumeuse de Lê je dois répondre « ça dépend du contexte ». Oui dans la vie réelle ça dépend du contexte, mais là je t'ai posé une question de mathématiques et la seule réponse est « il n'y a pas assez d'éléments pour répondre ». Quand on fait des exercices de maths en primaire on prend pour exemple Paul qui a 3 pommes et qui en achète 5 de plus. Combien de pomme Paul a-t-il à la fin ? Si je répond « 7 parce qu'il en a mangé une » je trahis clairement le présupposé de base qui était que la situation réelle n'était là que comme prétexte à faire 5+3 et pas une véritable question sur ce qui se passe dans la vie. Ce que fait Lê. Et il n'y a pas de problèmes à le faire, mais on ne peut plus prétendre que ce soit une réponse mathématique et on doit clairement expliciter ce que je viens de dire sinon on embrouille tout le monde. Bref fermons la parenthèse. Pour ce qui est des stratégies statiques elles se valent toutes, c'est assez facile de s'en convaincre intuitivement (tu ne regardes même pas ce qu'il y a dans l'enveloppe) et pas beaucoup plus dur de le prouver formellement. Si tu veux prends ton exemple de dé et regarde ton espérance de gain moyen en fonction de ta stratégie (statique hein). En fait, si je peux donner un peu d'intuition, si tu a une enveloppe x et une enveloppe 2x, tu avais autant de chance de tomber sur l'une ou sur l'autre au départ donc si tu fais la même chose quel que soit le montant, la proba que tu te retrouves à la fin avec x est ½ et la proba que tu te retrouves avec 2x est ½ . Tu remarqueras qu'en moyenne tu as gagné 1.5x ! Mais la stratégie n'avait rien à voir là dedans. Dieu merci que tu gagnes en moyenne plus que x vu qu'il y a au moins x dans chacune des enveloppe. Donc pour répondre explicitement à ta question, dans un certain sens, c'est à dire si on ne considère que des stratégies statiques il est vrai de dire que « ça ne change rien ». Si tu as besoin de plus de détails n'hésite pas.
@@ramdamdam1402 Tout ce que tu as écrit me semble parfaitement clair, et m'aide je crois à mieux formuler les deux questions qui continuent encore de me tracasser un peu dans le scénario où on commence par ouvrir l'une des enveloppes (même si je suis bien convaincu qu'ouvrir ou pas l'enveloppe ne doit rien changer !)... Comme c'est un peu tortueux, je vais essayer de détailler les étapes du cheminement qui amène ma 1ère question (désolé, ça va être un peu long ; mais je crois que si je comprends bien la 1ère ça devrait aller beaucoup plus vite pour la 2è ;-) : 0) On a deux enveloppes A et B, dont l'une (j'ignore laquelle) contient le montant x, et l'autre le montant 2x. Je prends l'enveloppe A. 1) Tout ce que je peux dire sur l'enveloppe A, c'est qu'elle contient en moyenne (1/2x + 1/2*2x =) 3/2x, tout comme l'enveloppe B. 2) J'ouvre A et y découvre 100€. Je sais donc que B contient 50 ou 200€, mais je ne sais pas avec quelles probabilités, parce que je ne sais pas en gros « ce qui se passait dans la tête » de l'organisateur quand il a choisi les deux montants, et n'ai donc aucun moyen d'affirmer que le couple de valeurs (50 , 100) est aussi probable (ou plus, ou moins...) que le couple (100 , 200). 3) => Je dois donc continuer de considérer que l'enveloppe A contient « en moyenne » 3/2x. 4) Si le point (3) est correct, on arrive à la question qui me tracasse : comme je sais que A contient en moyenne 3/2x ET que A contient 100€, il me faut conclure que 3/2x « vaut en moyenne » 100€, et donc que x « vaut en moyenne » 200/3€ (soit environ 66,67€). À première vue, ça peut sembler contradictoire avec le fait que x ne peut prendre que les valeurs 50 ou 100, mais vu qu'on ne parle bien que d'une « moyenne », et que ça semble lever le paradoxe, ça me va... NB : pas la peine de lire le point 5) si je nage déjà en plein délire, parce que dans ce cas la suite va être bien pire ! ;-) 5) En conclusion : → sachant que mon espérance de gain à ce jeu est de 3/2x, avec une probabilité ½ d'obtenir (3/2x - 1/2x =) x et une probabilité ½ d'obtenir (3/2x + 1/2x =) 2x → et ayant conclu que x dans mon exemple valait « en moyenne » 200/3€ → je devrais conclure que mon espérance de gain quelle que soit ma stratégie est bien de 100€ : - 100€ exactement (avec une probabilité certaine) si je garde A - 100€ en moyenne si je change pour B, avec une probabilité ½ d'obtenir « en moyenne » (100 - 1/2*200/3 =) 66,67€ environ et une probabilité ½ d'obtenir « en moyenne » (100 + 1/2*200/3 =) 133,33€ environ (j'aurais dû prendre des montants qui tombaient justes, mais à ce stade ça n'a pas plus vraiment d'importance)... Voilà c'est quand même un sacré bordel pour un jeu où je ne peux en pratique qu'obtenir les montants 50, 100 ou 200€, mais sauf erreur aux étapes 3) ou 4) je ne vois pas trop comment éviter d'en arriver là (à moins bien sûr d'éviter de raisonner à partir du montant d'une enveloppe ouverte, mais c'est justement là que résident tous mes problèmes avec ce paradoxe !)...
3:40 mais non. On ne change pas une deuxième fois d'enveloppe. On change la première fois parce qu'on ne connaît pas le référentiel, une fois qu'on a changé on le connaît. Mouais pas convaincu de vouloir introduire de la subjectivité dans un problème avec si peu de données. Pour moi justement clairement comme on ne connaît pas les données on part du postulat que les deux univers sont possibles, 1,2 et 2,4... Bon après j'ai peut être loupé quelque chose. On arrive dans un jeu, dont on a aucune donnée pour savoir les règles, à priori, changer apporte plus de gain que de ne pas changer. Donc on change. Une fois qu'on connaît les règles (il n'y a que des 1 et des 2 OU il n'y a que des 2 et des 4), forcément on ne prend plus de la même manière le problème.
Non, tu n'as rien loupé. L'explication psycho-machin n'explique rien. Il y a un paradoxe purement mathématique (au moins apparent) et ce n'est pas en faisant des hypothèses psychologisantes qu'on le résout. Il suffit d'imaginer que c'est un générateur aléatoire quantique qui décide du contenu des enveloppes pour se débarrasser de la psychologie de l'organisateur et de sa répugnance à utiliser les nombres non entiers. Et il suffit de considérer des joueurs systématiques appartenant à deux espèces différentes, les changeurs (qui choisissent toujours de changer d'enveloppe) et les conservateurs (qui choisissent toujours de ne pas changer), pour se débarrasser de la psychologie des joueurs. Ils n'ont pas plus de psychologie qu'un banquier de Black Jack : ils se comportent toujours de la même façon. Voilà, c'est fait, on sort du café du Commerce et on se demande si de sont les changeurs qui, en moyenne, gagnent le plus ou bien si ce sont les conservateurs. Le paradoxe est toujours là mais on ne peut plus se contenter d'une pirouette rhétorique pour s'en tirer. Il faut faire des maths (assez simples) et commencer par spécifier le domaine de définition du générateur aléatoire quantique...
Le raisonnement qui commence à 3 minutes 20 me semble faux car il ne tient pas compte du fait que si l enveloppe non choisie contient le double de l enveloppe choisie alors l enveloppe choisie contient en moyenne moins d argent que si l enveloppe choisie était la grande.
@@arielorthmann4061 Oui, mais je trouve quand même que ça reste bizarre. Si tu as 2€ dans une enveloppe, ça changera forcément quelque chose si tu changes d'enveloppe ou non
@@miyo.7792 bien sûr, mais tu ne comprend là pas le sens de "ça ne change rien", çe que ça veut dire est que en moyenne, changer d'enveloppe ne rapporte ni plus ni moins d'argent
Le "ça change rien" repose sur la symétrie de la situation : en fait, le fait de voir que l'enveloppe contient x euros n'a aucune importance : quelle que soit la somme qu'elle contient, l'argument basé sur l'espérance suggère de changer pour avoir une espérance 1.25 x. Mais ça, c'est étrange: si tu avais tiré, au hasard, l'autre enveloppe, tu aurais pu tenir exactement le même raisonnement et conclure qu'il faut changer. Si, quelle que soit l'enveloppe choisie, le calcul d'espérance te dit de changer, c'est sûrement que ce calcul n'est en fait pas pertinent pour faire un choix dans cette situation.
@@miyo.7792 Ça ne change rien veut avant tout dire que la personne estime que les stratégies de garder ou de changer d'enveloppe se valent. Si on testait un millier d'envois d'enveloppes, les stratégies "toujours changer" et "toujours garder" auraient un résultat final très similaire.
Tu insistes énormément sur l'aspect contextuel/psychologique/"pragmatique" du problème... Pourtant il me semble qu'on peut tout à fait répondre à ce problème de manière univoque si : (1) le protocole (connu du sujet) est le suivant : une valeur X est tirée de manière TOTALEMENT aléatoire (selon une distribution à support inclus dans R+). Ceci indépendamment de toute considération budgétaire, psychologique ou d'histoire d'arrondi (X peut être un nombre positif quelconque). Les enveloppes contiendront X et 2X. Le sujet ne connaît ni la distribution, ni le résultat X. (2) le sujet est rationnel et ne cherchera qu'à maximiser son espérance de gain, point. Dans ce cas, il n'y a pas à tergiverser 2 heures, le sujet découvre une somme Y dont il est incapable de deviner s'il y a plus de chance que soit X ou 2X. Il sera indifférent à garder ou échanger son enveloppe. Non ?
Dans ce cas, la décision de changer ou pas dépend de la distribution utilisée pour choisir la valeur X. Si l'on ne connaît absolument rien de cette distribution, on ne peut pas choisir. Mais on peut aussi émettre des hypothèses sur cette distribution pour tenter d'améliorer ses chances.
@@127Nomis très bonne remarque que j'attendais ;) Trois remarques : 1."La décision de changer ou pas dépend de la distribution". Certes. Mais celle-ci est inconnue du sujet. Pas de problème à ce niveau. 2. "S'il on ne connaît rien de cette distribution, on ne peut pas choisir". C'est précisément la conclusion pure et simple qui s'impose et que je dis ! Il y a INDIFFÉRENCE TOTALE pour le sujet (en terme de maximisation d' *espérance*, son seul but !). 3. Avec des indices de ce que pourrait être cette distribution, ÉVIDEMMENT qu'il peut améliorer ses chances. Mais ce n'est pas le cas. Il ne sait rien. NADA
J'avoue qu'il y a peut-être un hic dans que je dis, mais pas pour les raisons que tu donnes. Ce qui m'embête un peu est le flou que je laisse sur la distribution qui permet de tirer X. Ok, celle-ci ne sera pas connue du sujet... du coup, le jeu est en information incomplète. Il me semble que pour le protocole soit vraiment satisfaisant la distribution devrait être précisée, déjà et même connue du sujet... du coup, question : est-il possible de déterminer une telle distribution de sorte que quel que soit le tirage de X, le sujet ne pourrait (avec des calculs bayésiens) malgré tout toujours pas avoir de préférence entre garder ou changer d'enveloppe... Je ne suis pas du coup convaincu que la réponse soit non, même si je n'arrive pas à trouver une telle distribution...
@@Faxbable Alors, dans un contexte réaliste, on se doute bien que certaines distributions sont impossibles : par exemple celles qui attribuent une probabilité non nulle à des sommes non décimales, ou supérieures au PIB mondial. Donc la situation où l'individu ne sait absolument rien de cette distribution n'est pas très plausible. Mais elle est acceptable d'un point de vue théorique. Si l'on veut conserver l'indécision de l'individu alors même qu'il connaît la distribution, il faudrait que la probabilité d'obtenir le double en changeant d'enveloppe soit égale à 1/3 et la probabilité d'obtenir la moitié à 2/3. Dans ce cas l'espérance de la seconde enveloppe est égale à la valeur de la première enveloppe. Malheureusement, il n'existe pas de distribution sur N ou R+ qui satisfont ce critère. En effet, la solution à l'équation fonctionnelle f(2x) = f(x)/2 est la fonction inverse, qui n'est pas sommable sur R+.
@@127Nomis Concernant ton 1er paragraphe, on est d'accord et c'est bien l'aspect purement théorique du problème qui m'intéresse comme je l'indiquais dans mes prémisses. Et bien vu pour la suite 😉 Effectivement si le sujet connaît la distribution de X alors il faut f(x/2) = 2 f(2x) pour la densité de X, je pense que c'est ce que tu voulais dire, mais on n'est pas plus avancé car les solutions sont en c/sqrt(x) qui n'est pas plus intégrable (ou sommable si on fait du discret) sur R+ que la fonction inverse... Bref, il faut se contenter du protocole en info incomplète (genre prendre f(x) = c/sqrt(x) sur un intervalle non révélé, ou de l'uniforme ou une gaussienne, peu importe en fait si le sujet ne sait pas)
Mon premier raisonnement était : soit il a mis 0€ dans chaque enveloppe, soit c'est un menteur. Je crois que je m'y tiendrai finalement ^^ Blague à part : le raisonnement fallacieux du 50/50 est très courant en effet, j'entends tous les jours le "je ne sais pas, donc 1 et 2 sont possibles".
Faut qu'on m'explique pourquoi calculer l'espérance d'un "choix". Par définition, un choix est une action décidée et passée. C'est comme vouloir calculer des "regrets". Les calculs sont des outils pour résoudre des problèmes pas pour en créer. 😅 Sacré paradoxe
Vu que les responsables de l'étude savent que les répondants ont tendance à choisir "changer d'enveloppe", ils auront intérêt à mettre la plus grosse somme dans la première donc je ne change pas ;-)
J'ai pas compris. Si on avait tiré 1€, on aurait su qu'il fallait changer car il n'aurait pas mis 50cent dans l'autre. Mais là on avait tiré 2. Du coup je comprends pas comment on aurait pu être intelligent et trouver (2,4)
si tu tire 2, alors la question est: - y’a t’il 1 ou 4 dans l’autre enveloppe? s’il y’a 1, ça veut dire, pour l’expérimentateur, que tu avais une chance sur deux de tirer 1 si tu avais tiré 1, ta question serait: - y’a t’il 0.5 ou 2 dans l’autre enveloppe? Et pour cette question, il semble qu’on soit plus disposé à croire que la réponse est 2, que 0.5 Ce qui rend le problème moins intéressant dans ce cas. Donc l’éxpérimentateur, aura probablement voulu éviter ce cas, et donc ne pas mettre 1 et 2 euros dans les enveloppes Et donc il est plus probables que l’autre enveloppe contienne 4, que 1. (j’avoue que je n’y avait pas pensé, mais c’est assez génial ^^)
Oui c'est assez génial ! Par contre ça ne fonctionne vraiment que dans le cas où l'on tire vraiment l'enveloppe. Si on nous pose la question en nous présentant le problème et en nous indiquant qu'on a tiré les 2 euros, il n'y a en fait aucune chance qu'on tombe sur 1 puisque cette information a été choisi par celui qui explique le problème. D'ailleurs même si Lé aurait choisi 2-4 pour faire l'expérience en vrai, pour poser la question sur twitter je ne pense pas qu'il est choisit de nous dire que l'on tombe sur 2 au hasard et qu'on aurait eu 50% de chance que son tweet nous dise qu'on a tiré 4. Après la difficulté c'est de différencier les indications qu'on peut utiliser ou non lorsqu'on pose le problème juste en théorie et pas avec de l'argent réel dans une situation réel (mais on est un peu trop à suivre Lé pour qu'il fasse l'expérience en vrai avec tout le monde ^^).
@@GabrielPettier Raisonnement intéressant, mais qui soulève un autre paradoxe : on peut refaire le même raisonnement dans le cas où l'on tire le 4. Si on tire le 4, on va se demander s'il y a 8 ou 2 dans l'autre enveloppe. S'il y a 2 dans l'autre enveloppe et qu'on l'avait tiré, on se serait demandé s'il y avait 1 ou 4 dans l'autre. S'il y avait 1 dans l'autre, on se serait demandé s'il y avait 0.5 ou 2 dans l'autre, et on aurait pu deviner qu'il s'agissait plutôt de 2 que de 0.5, ce qui rend l'expérience moins intéressante... En fait, on ne peut pas lever le paradoxe uniquement par déduction, il faut faire des hypothèses.
@@127Nomis on tire 4. On se demande (2,4) ou (4,8). (2,4) plausible car si on avait tiré 2, (1,2) plausible aussi (contrairement à (0,5, 1) on suppose que les organisateurs ne mettent que des entiers). Donc il n'y a pas de paradoxe. Par contre on ne sait toujours pas choisir entre les (2,4) et (4,8) du début. Il faut s'en remettre à un pari sur la radinerie de l'organisateur
Même si c'est impair, genre 3euros tu peux mettre 1,5 euros. Rien d'impossible. Et même l'épaisseur des enveloppes tu peux faire des chèques... Donc pas moyen de deviner...
Variante: Je suis le père de 2 enfants, l'un des 2 enfants me propose 2 enveloppes pour la fête des pères et me dit que l'une contient !!!1000!!! fois plus que l'autre, je découvre 10€... #ContextMatter
Variante2: Imaginez deux enveloppes, l'une contenant 1000 fois plus que l'autre. Vous tirez au hasard une enveloppe, vous l'ouvrez, et vous y trouvez 2 bitcoins. On vous propose alors d'échanger d'enveloppe. Que faire en 2010? Que faire en 2021?
Non mais d'accord ça dépend du contexte, mais dans les faits là vous avez posé un probleme mathematique à tout le monde, puis vous expliquez ensuite qu'on est pas dans le monde des maths et qu'il faut raisonner avec un contexte... quand vous posez un probleme à quelqu'un, donnez toutes les informations possibles pour le résoudre. Sinon moi aussi je fais ça, voici mon problème pour vous: "Quel est l'âge du capitaine ?" :p
L'intérêt du paradoxe est de voir si les gens se rendent comptent que la modélisation du problème est incomplète ou pas. C'est une compétence importante pour un mathématicien.
@@neloka4313 Quand on en est réduit aux insultes, c'est vraiment qu'on n'a plus rien d'intéressant à dire. Mais cela n'a rien de surprenant, vu que tes commentaires étaient déjà tous dénués d'intérêt.
Il est probable en réalité que l'on puisse voir à l'épaisseur de l'envellope si il y a une pièce ou deux dans chaque enveloppe. Lee s'en sera rendu compte en préparant les enveloppes le jour du test. Il aura changé d'avis en mettant qu'une seule pièce dans chaque enveloppe pour ne pas fausser le test. Donc, Lee a mis 1 euro dans l'une et 2 euros dans l'autre, contrairement à ce qu'il pensait faire avant !
Un RU-vidur me propose un jeu où je gagne plus ou moins d'argent en fonction d'une décision à prendre. Quelle est la probabilité que je touche réellement de l'argent ? A peu près nulle. Raisonnement Bayesien : ça ne sert à rien re répondre à la question.
Désole mais je pense que tu es hors sujet Bayles n'a rien à voir avec ça, et tu n'expliques rien. L'erreur vient qu'on se mélange dans les mises selon les 2 cas, mais évidememnt la proba reste de 1/2 puisque il y 2 enveloppes. Donc il y a 2 enveloppes d'un montant S et 2S. Si tu tires S avec une proba 1/2 ton espérance de gain à changer de ce cas sera donc de 1/2 x (+S) Si tu tires 2S avec proba 1/2 l'espérance de gain à changer de ce cas sera de 1/2 x (-S) Soit une espérance de gain à changer totale de 0
