En fait la diagonale du triangle formé dans le "plan" complexe est egale à 1-i, sa longueur est alors egale à son module qui est racine de 2. Il y a confusion entre le "plan" complexe et sa representation dans un plan euclidien. On utilise des propriétés s’appliquant au plan euclidien mais pas dans le "plan" complexe, d’ou l’apparente aberration.
i² et 1² pourraient être interprétés comme les 2 faces opposées d'un même carré. Dans un espace à une dimension -1 + 1 = 0. C'est comme si on avait 2 vecteurs unité opposés. On pourrait considérer qu'un plan peut avoir 2 orientations et que les 2 faces d'une surface s'annulent...
Il y a quelques dizaines d'années pour facilement comprendre les calcul des nombres complexes je me suis mis à faire l'analogie avec des vecteurs en 2d et la tout est devenu beaucoup plus simple, avec la partie reel en coordonnée x et la partie imaginaire en coordonnée y, qui se representent soit : - avec une paire de coordonée (x,y) ou écrit (a+ib) pour les complexes, - en forme polaire avec une paire longeur + angle (r, θ) (on parle de module & argument pour les complexes mais c'est la même chose) Dans tous les cas les calculs sont les mêmes, ici dans le cas de deux vecteurs qui sont de coordonées (1,0) et (0,1), (donc en complexe 1+0i et 0+1i) visuellement on voit bien que l'hypotenus a les coordonées (-1,1) ou (1,-1) suivant le sens, mais peu importe le resultat de la longeur (module) de ce nouveau vecteur est bien la racine de leurs de longeurs au carré, soit √2 == √(1²+-1²) ou toujours visuellement avec ses coordonnées qui sont soit (-1,1) soit (1,-1) au format complexe les solutions donneraient : (-1,i) et sont opposé (1,-i) (un peux comme quand on dit que √4 a deux solutions + ou - 2) PS: l'analogie en vecteur 2d permet aussi de facilement comprendre pourquoi i² == -1 et de travailler avec, trouver facilement les racines carrées etc... trés pratique.
Ce n'est pas seulement une analogie, la façon la plus courante de représenter les nombres complexes est de les représenter dans ce qu'on appelle le plan complexe. Dans ce plan, les nombres complexes sont des vecteurs (coordonnées cartésiennes). Dans ce même plan, on peut aussi voir les nombres complexes comme des rotations (coordonnées polaires). Chaque représentation à son utilité : - Pour additionner deux nombres complexes, il est beaucoup plus simple et visuel de voir les nombres complexes comme des vecteurs. - Pour multiplier deux nombres complexes, il est beaucoup plus simple et visuel de voir les nombres complexes comme des rotations.
@@Matazart oui voila c'est ce que voulais dire mais en mieux expliqué et avec les bons termes, c'est pas mon boulot hein ;), du coup rien quand regardant le triangle on a la réponse immédiatement par une simple soustraction des coordonnées, en fait même juste visuellement, et si besoin on obtient la norme et l'argument en le passant en coordonées polaire, et ça fonctionne bien entendu même si le triangle n'est pas rectangle.
@@brunoaugier Pas de problème. La vidéo invitait surtout à la réfléxion sur la notion de distance. Et signalait qu'une distance était forcément un nombre réel positif ou nul, et donc i ne peut pas être une distance.
Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne !!! Dans le plan complexe, i représente le vecteur unitaire de l'axe des abscisses ayant subit une rotation de 90° dans le sens trigonométrique (inverse des aiguilles d'une montre). Aussi, on doit interpréter la figure comme un triangle plat du plan euclidien. Nommer i le côté vertical du triangle est simplement un moyen de distinguer visuellement deux cotés normalement confondus dans le plan euclidien. Et donc... l'hypoténuse vaut bien 0 !
En réalité, i est un nombre imaginaire, même l'ensemble complexe n'existe pas en réalité. En plus on parle de module de i =|i| = 1 et c'est pas le nombre imaginaire i .
Ce ne sont que des appellations historiques dénuées de sens. Lorsque l'on est familier avec les nombres complexes, on se rend compte qu'ils sont plus 'réels' que les nombres réels.
Ça fait un moment que je trouve (mais je peux me tromper) que la définition de i est trompeuse : sqrt(-1). Je comprends historiquement pourquoi, mais en vrai, et en particulier depuis que j’ai découvert les quaternions, je trouve que la « vraie » définition de i est géométrique : -1 étant une rotation de 180°, quelle est l’opération, qui, appliquée 2* d’affilée, donne une rotation de 180° ? Autrement dit x*x = -1 ! D’ailleurs quand on voit ce que signifie i en physique, il s’agit bien d’une notion de déphasage, et encore une fois avec les quaternions, i, j et k sont bien là pour faire des opérations géométriques en 3D !
Oui la perspective géométrique rend les choses beaucoup plus simple et naturelle. Juste attention, tout comme il y a deux racines carrées de -1 (i et -i), il y a deux rotations de 90° (sens direct et indirect)
Pour faire de tels calculs sur le plan complexe, il faudrait prendre en compte la valeur absolue du carré, pour en faire des distances... Sauf meilleur avis ! 😂
Si on veut pousser le bouchon très loin - parce que les mesures des côtés ne sont déjà pas toutes bonnes -, en fait, on aura affaire à deux triangles rectangles possibles, l'hypothénuse ne sera pas seulement celle là ce qui est absurde à cause de la construction de ce triangle.
Effectivement...petite rectification (désolé), mais ce n'est pas hypothénus....mais hypothénuse....qui se prononce UZE et non pas USS...ca m'a peté les oreilles 🤣🤣🤣🤣🤣🤣!!!
