Nouvelle question autour des aire qu'on espère avoir rendu intéressante notamment avec en rappelant des résultat peu utilisés surtout dans le système scolaire français.
L’aire de rien, ce n’est pas évident non plus. 😉 Obtenir des surfaces identiques pour les triangles 1 et 2, est contre-intuitif, mais vrai. Merci pour cet exercice.
Démonstration plus simple (je crois) : On nomme B (base) le segment commun aux deux triangles. On sait que l'aire = B * h / 2. La base étant la même pour les deux triangles, il suffira de montrer que leurs hauteurs sont aussi égales. Or, la hauteur du triangle isocèle rectangle vaut B/2 (il suffit de dessiner la hauteur pour s'en rendre compte) La hauteur du deuxième triangle isocèle vaut h = B * sin(30) (il suffit aussi de la dessiner pour le voir) ; soit h = B / 2. Les aires des deux triangles valent donc toutes les deux (B * B / 2 ) / 2 = B² / 4, CQFD ! Et l'aire totale de la figure vaut doc B² / 2. Edit : merci pour les commentaires, j'ai corrigé l'erreur.
Or, la hauteur du triangle isocèle rectangle vaut B/2 (il suffit de dessiner la hauteur pour s'en rendre compte) -> plus rigoureusement, le triangle isocèle rectangle est un demi carré. Or les diagonales d’un carré se coupent perpendiculairement en leur milieu et ont la même longueur. Donc B correspond à une diagonale complète et la hauteur à la moitié de l’autre diagonale, donc B/2
Pour la deuxième hauteur une fois celle ci tracée on a un triangle rectangle dont l'hyopthénuse vaut B et dont le coté opposé à l'angle de 30° est la hauteur. sin 30° = h/B d'ou h=B*sin 30° = B/2
Joli exercice... on aurait pu en profiter pour calculer le sin(15°) connaissant le sin (30°) ou le cos (30°) pour ceux qui ne connaissaient pas la formule de la surface d'un triangle connaissant un angle et deux mesures. par exemple 2*sin²x= 1-cos 2x
Merçi pour cette video , un vrai régal ! le triangle (3 traits !!) offre un nombre de calculs et de configurations absolument incroyables . une des plus belle invention de l'homme ce triangle .
@@jean-claudebertocchi9521 Vraiment ?Vraiment vous n'avez pas la réponse ? Une'invention serait-elle une création ? Mais l'homme ne crée rien, il découvre puis il imite. Aujourd'hui les scientiques ou philosophes tels Yuval Noah Harari se prennent pour Dieu parce qu'il savent l'homme capable de produire des choses extraordinaires comme par exemple des robots super sophistiqués, et pourtant ils restent totalement incapables de réaliser l'essentiel que réalise le divin, c'est à dire de donner vie à leurs 'créations'. L'homme restera toujours totalement incapable de créer ne serait-ce qu'un simple brin d'herbe à partir de la matière, il ne fera qu'imiter la nature, il n'est capable de produire que des objets morts, vides de toute vie, et c'est tant mieux ! Cela me donne à penser à geppetto et Pinochio, de l'enfantillage ! Pour moi c'est aussi clair que de l'eau de roche, ne vous laissez pas enfumer, ne vous laissez pas prendre à leurs présompteux propos. Bonne soirée Jean-Claude, je m'appelle aussi Jean-Claude !
La formule que tu as donné, on peut la retrouver avec la loi des sinus, c'est facile. Et de là tu retrouve la formule de Héron moyennant un petit rappel de cos^2 + sin^2 = 1 donc sin^2 = (1-cos)*(1+cos) car l'angle que tu considère est inférieur ou égal à 180°, donc le sinus est positif. Ensuite tu pose p le demi périmètre du triangle quelques identités remarquable et le tour est joué.
Personnelement, je nai pas su la formule avec les angles a b et c mais jai kan meme reussi a resoudre lexercice et a trouver que les 2 aires sont egales a x"2/2, en fait jai trace une autre hauteur dans le triangle n•2 et la exprime en fonction de x car je connaisssais en fonction de x la base (x fois racine(2)) et je pouvais facilement trouver facilement exprimer la hauteur en fonction de la base en connaissant lintegralite des angles du nouveau triangle rectangle formé. Merci ppur la vidéo elle est super sympa et puis jespère que mon commentaire taura plu et est facile de comprehension afin de comprendre mon raisonnement.
C'est marrant, pour A2 j'ai justement utilisé le triangle spéciale que tu évoques brièvement : Pour le premier triangle, j'ai utilisé a comme base, b étant l'hypothénuse. b = a√2 Si on projette la hauteur h à partir d'un des angles à 75°, ça forme un triangle rectangle qui, justement, est de type "30 60 90". En partant de la règle que tu avais donnée précédemment, on peut dire que h = b/2 A2 est alors égale à b . h / 2 : A2 = (b . b/2) / 2 = b² / 4 = (a√2)² / 4 = 2a² / 4 = a²/2 = A1 ^__^
Un petit bijou et une formule sympa concernant un triangle quelconque avec un sinus. Moi, quand je vois un angle de 30°, je pense tout de suite au triangle rectangle 30°/60° et X, 2X et X*racine de 3. Si tu abaisses la hauteur partant de l'angle 120° vers le coté du triangle isocèle, la hauteur, c'est X et l'hypoténuse, c'est 2X = x*racine de 2 ici. La hauteur c'est x*racine de 2/2. La base, c'est x*racine de 2 et l'aire x carré/2.
On a encore une autre démonstration avec le Théorème d'AL-Kashi pour trouver la longueur de la base pour le triangle isocèle : x * racine carrée (4 -2 * racine carrée de 3), on en déduit la hauteur issue du sommet de 30° par le théorème de Pythagore : x*racine carrée (1 - (racine carrée de 3 ) /2 ) et en faisant la moitié du produit pour calculer l'aire du triangle et en développant, on retrouve x²/2 qui est l'aire du triangle isocèle rectangle. Essayez de le faire, ça fait un bon entrainement.
Si on pose A le sommet de l'angle a, B le sommet de l'angle b, C le sommet de l'angle c, H le pied de la hauteur issue de B et h la longueur de cette hauteur, on a le triangle BCH rectangle en H. Donc sin c = h/a Donc h = a* sin c Or l'aire de ABC = b*h/2 En remplaçant h, on trouve : aire de ABC = (b*a*sin c)/2 CQFD
Bonjour il serait super de donner le niveau de l'exercice. (3 ième, 2nde, ...). Cela permettrait de savoir quels outils on peut utiliser. Merci sinon c'est top !
Heu sans racine, il suffit de prouver que les deux triangles ont un hauteur identique. Le triangle rectangle a une hauteur qui est la moitié de l’hypotenuse car il est rectangle et isocèle. Le triangle isocèle son angle unique qui fait 30deg, donc sa hauteur/“hypotenuse” = sin(30deg) = 1/2. Donc les deux triangles ont la même aires.
Je ne me souvenais plus de la formule de l'aire que tu donnes à 7:12 mais je m'en suis sorti autrement (en la redemontrant en fait?): j'ai tracé la mediane du triangle isocèle. Ca donne deux triangles rectangles, chacun d'hypothenuse x.sqrt)2_ et de longueurs h et b. Ils coupent l'angle de 30 degres en 2 donc cos15=h/(x.sqrt(2)) et sin15=b/(x.sqrt(2)). L'aire du second triangle est 2*(bh)/2 donc b*h = (x.sqrt(2)).cos15.(x.sqrt(2)).sin15 = x2 * (2 cos15.sin15) = x2. sin(2*15) = x2. (1/2). faut juste se souvenir de sin2a=2sina.cosa et sin30=1/2
Le raisonnement que j'ai fait dans ma tête me semble plus simple : Les deux triangles dont je dois vérifier que les aires sont identiques ont un coté en commun. Je vas appeler ce coté "base" dans le suite du raisonnement. Je vais donc comparer les hauteurs des deux triangles issue de cette base. En effet, si je montre que la hauteur est la même, c'est qu'ils ont la fameuse mémère ! La longueur de la hauteur du triangle rectangle est la moitié de la base. La longueur de la hauteur de l'autre triangle correspond à sin(30) fois la longueur de la base, donc la moitié de la base. Les hauteurs sont identiques, les bases sont identiques, donc les aires sont identiques, donc la fameuse mémère !
Je ne comprends pas votre raisonnement... Pour le triangle rectangle, c'est évident. Par contre pour le triangle isocèle non rectangle, ça ne me paraît pas évident que son hypothénuse vaut x!
@@jargon67370 utilisons le côté commun entre les deux triangles comme base de longueur 1. Le premier est triangle rectangle isocèle donc sa hauteur est 1/2. Son aire est 1/4. Le second est triangle isocèle avec un petit angle de 30deg. Sa hauteur est donc de sin(30deg) soit 1/2 également. Et donc son aire est également de 1/4. Les deux triangles ont donc ensemble une aire totale de 1/2. La moitié du carré de lhypotenuse qu’on a pris comme base unitaire par commodité. Plus visuellement, si vous tracez les parallèles à lhypotenuse au niveau des sommets opposés vous verrez que les deux triangles sont inscrits dans le carré que lhypotenuse coupe en deux. :)
Elle etait belle la memere !!! 🤣🤣 Question : Peut-on le démontrer 'Graphiquement' ? Mon intuition me dit que oui !!! Vu que l'on a 45+30 = 75 aussi !!! En dessinant l'isocèle de base x . sqrt(2) ?
Ah... J'étais frustré parce que je voyais avant tout mon triangle "du haut" comme deux triangles rectangles avec un angle à 15°. J'avais posé x le côté commun des deux triangles, donc x² / 4 pour l'aire du triangle "du bas" ; et pour l'autre, je me rends compte que pour que ça marche il faudrait que sin 15° · cos 15° fasse 1/4. Ce qui est bien le cas, mais paraissait complètement "magique". Pourquoi on a cette propriété avec sin15° et cos 15°, qu'est-ce qui justifie ça ? Et du coup en voyant votre preuve, ça m'a débloqué : parce que pour le triangle du haut plutôt que de prendre la hauteur issue du sommet principal, on peut prendre la hauteur issue d'un autre sommet, on se retrouve avec un fameux triangle 30° 60° qui justifie que cette hauteur est la moitié du côté commun, du coup ça découle du fait qu'on peut calculer l'aire d'un triangle en choisissant n'importe quel côté comme base. Bref, compliqué d'expliquer tout ce qui s'est passé dans ma tête, j'imagine que mon commentaire est assez incompréhensible... XD
Juste un exemple, le 120 degrés. Tu peux refaire l’exercice avec 50 degrés, 60, 90, 110, 150, 123,45 , 63 degrés , etc , si tu veux, les résultats vont changer bien sûr Et on pourra tout calculer mais on conclura que les triangles 1 et 2 n’auront pas la même surface dans cas si le triangle 2 doit rester isocèle.
Sans connaître la formule j'ai tracé la perpendiculaire à partir d'un de deux angles de 75°. J'ai ainsi un triangle dont je connais la base (x racine de 2). Pour connaître son hauteur il suffit de considérer qu'il s'agit du coté opposé à un angle de 30° d'un triangle rectangle ayant pour hypoténuse (x racine de deux) ce qui correspond à la moitié de l’hypoténuse. Donc l'aire du triangle B est ((x racine de deux) fois (x racine de deux)/2)/2= ((x racine de deux)^2)/4=(x^2) fois 2/4= (x^2)/2... la clé reste l'angle de 30°.
Mais oui. C’est beaucoup plus simple d’utiliser la base commune qui est lhypotenuse du triangle rectangle isocèle qui a pour hauteur la moitié de cette base. Le triangle isocèle a une pointe de 30deg. La hauteur/base =sin30deg =moitie. Même hauteur. Même aire. Ce que je trouve élégant c’est que la surface totale est la moitié du carré de l’hypotenuse.
On peut plus simplement poser que lhypotenuse vaut 1. Le triangle rectangle isocèle a une aire d’un demi. Le triangle isocèle a une aire d’un demi aussi car sa pointe fait 30deg et donc sa hauteur fait sinus de 30deg soit 1/2.
@@julienmarcinkowski1546 pardon j’ai écrit trop vite. J’imagine que vous saisissez l’idée. :) L’utilité réside dans le fait que la moitié égale sin30deg. Je trouve d’ailleurs qu’il est élégant que la somme des Aires es des deux triangles égale la moitié du carré de lhypotenuse. Poser les côtés du triangle rectangle =1 ne me semble pas apporter facilité de visualisation ni de compréhension du lien entre les deux triangles. :)
Sympa ta chaîne mais deux critiques sur ce problème : aire d’un triangle = côté X hauteur relative /2 , il n’y a aucune raison d’appeler « base » un cõté d’un triangle quelconque ! Erreur que l’on retrouve dans les livres et sur internet deux fois sur trois ! Et, je trouve que plutõt que de balancer des formules toutes faites, il serait plus intéressant de montrer comment on peut les trouver plutõt que de les utiliser !
@@karelknightmare6712 le mot "base" dans un triangle n'a de sens que dans un triangle isocèle. Il faut parler de côté commun ou donner des noms au sommet pour se simplifier la vie. Mais j'aime bien sa chaine, me suis amusé à résoudre les énigmes et certains problèmes quand j'ai un peu de temps à tuer, sympa !
@@nicolasfumey8330 j’aimerais beaucoup que vous m’expliquiez pourquoi une base n’est pas arbitraire. Mon interprétation du mot base est justement arbitraire et utile pour faire référence à un côté particulier. Merci pour vos lumières.
@@nicolasfumey8330 en tout cas une rapide consultation en ligne du dictionnaire des termes mathématiques d’Oxford traite bien du côté arbitraire et pratique du terme base d’un triangle. Est-ce un abus de langage devenu usuel?
@@karelknightmare6712 Si vous cherchez la définition du mot base dans un triangle quelconque, vous trouvez : "La hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Ce côté est alors appelé la base du triangle. un triangle quelconque " Mais dans un triangle, il y a trois côtés qui ont chacun une hauteur qui lui correspond (appelée hauteur relative au côté) donc avec ces définition chaque côté peut être la hauteur du triangle ce qui n'a aucun sens ! Donc je parle de côté et de hauteur relative (ou correspondante ou "qui va avec"). Le mot "base" n'a de sens que pour un triangle isocèle, c'est le côté qui n'a pas le même longueur que les deux autres.
Conclusion : Les 2 triangles ont même surface. Ce n’est pas du tout intuitif, mais vrai et démontré, quelque soit x. Pour compléter , bien que non demandé dans l’exercice, Dans le triangle 2 , déterminons la longueur du coté opposé à l’angle de 30°, appelons ce côté CD. Appliquons la formule des cosinus, valable dans tous types de triangles , même quelconques. CD² = AC² + AD² - 2 .AC.AD .cos(30°) CD² = (x.√2)² + (x.√2)² - 2. (x.√2) . (x.√2) .cos(30°) = 2. 2.x² - 2.x². 2 .cos(30°) = 4 x² - 4 x². cos(30°) = 4 x² . (1 - cos(30°) ) = 4 x² . (1 - √3/2) = 4 x² . ( 2 - √3 ) / 2 = 2 x² . ( 2 - √3) CD = √ (2 x².( 2 - √3)) = x. √(2.(2-√3) = x. √2 . √(2 -√3)
Quand on est méditerranéen on est intelligent et on appartient au bassin de toutes les civilisations y compris de celle de tout les prophètes sans exception
si on double le triangle 30° on a un triangle équilatéral (de côté a=x✓2 donc de surface S= (a²✓3)/8 ) plus un petit triangle rectangle de côtés a/2 et a-(a✓3)/2 de surface S'= ( 2a² - (a²✓3))/8 S + S' = a²/4 = x²/2
Il était possible de trouver sans calcul et sans sinus. Le triangle isocèle a une pointe de 30deg. Et comme vous l’avez fait on peut imaginer que dédoublé il forme un quadrilatère que vous découpez en un triangle équilatéral et un petit triangle. Le triangle équilatéral suffit, sa hauteur est la moitié de son côté. Donc la hauteur est la moitié de la base commune entre les deux triangles de départ. Donc ils ont la même aire. Ce que j’aime bien dans votre idée c’est que ça donne une intuition de pourquoi sinus de 30deg égal 1/2. 😅
