Fatemi sapere cosa ne pensate, o se avete dubbi o curiosità, questo video mi ha richiesto diverso tempo per realizzarlo.. Intanto ho aggiunto nella descrizione dei link a un canale molto interessante che parla di Tensor Calculus e General Relativity!
Ciao, al min.31.25 forse intendevi controvettori per "input che vanno a saturare gli indici bassi delle componenti covarianti"? per me dovevi invertire V* con V rispetto alla notazione che hai fatto in precedenza...corretto?
Ciao! Grazie del commento, è giusto covettori perché parlo delle basi, non delle componenti, questo perchè a generare lo spazio tensoriale sono le basi non le componenti. Infatti i covettori sono le applicazioni lineari e queste vivono nel duale V*, come scrivo nel video. Spero che ora sia più chiaro, fammi sapere
Aggiungo un altro dettaglio perché capisco il problema; qui la saturazione degli indici non è fatta per creare il tensore (si fa tra base e componente) ma per dare in pasto i giusti oggetti alle basi: pensa all’analogia con le applicazioni lineari, la BASE theta^j (controvariante) si mangia la BASE e_i (covariante) a dare la delta di Kronecker, quindi non sono saturati in senso lato ma sono comunque uno alto e uno basso come posizione
Bravo. Un bel ripasso orientato al Ris ultato (la definizione di tensore) a partire dai concetti di base e dall'esigenza di invarianza. Potresti accennare all'utilizzo dei tensori (algebra e calcolo) nelle teorie fisiche? Relatività ovviamente è non solo
Ciao, grazie per i tuoi video realizzati molto bene. Ho un dubbio sul passaggio al minuto 7:45, quando scrivi la matrice di trasformazione B; se v deve essere (1/2)e1+(1)e2 quando eseguo il prodotto della matrice B per le componenti (1/2 1) riottengo l'espressione di v nelle componenti di e(tilde) ma nella base e, come mai? Cioè B in questo caso non dovrebbe essere (1/2 0; 0 1)? Ciao, grazie ancora.
Ciao! Non capisco bene cosa intendi con "riottengo l'espressione di v nelle componenti di e(tilde) ma nella base e", perché la base di arrivo non può essere la stessa di quella di partenza. Mi spiego meglio: la matrice B è la matrice di cambiamento di base (di trasformazione) delle componenti, quindi se tu la applichi alle componenti di un certo vettore in una certa base (diciamo e) otterrai come devono essere le componenti dello stesso vettore ma nella nuova base (e tilde). Quindi se la applichi a un set di componenti in una certa base, il vettore nella nuova base sarà composto da queste nuove coordinate moltiplicate ognuna per il vettore associato della nuova base. Se B fosse (1/2 0; 0 1), applicata a (1/2 1) darebbe (1/4 1), ma 1/4e_tilde_1 + 1e_tilde_2 non è v
@@PhysicsMind Ciao, grazie della risposta. Cerco di chiarirmi: al minuto indicato hai scritto v espresso nei termini di e_tilde, dopo di che, siccome v rimane lo stesso, hai scritto la matrice B molitplicata per l'espressione di v nella base e. Forse manca un tilde?😅
Ciao! No, è giusto applicare B alle componenti del vettore nella base non tilde perché è appunto quella matrice che che manda le componendi dalla base “e” alla base “e tilde”. Il vettore finale dopo l’applicazione è per forza nella base “e tilde” perché le componenti sono diverse, ovvero non può essere lo stesso vettore con componenti diverse e stessa base (analogo a dire che il vettore di partenza è per forza in base “e”, non tilde). Prova a sostituire l’espressione della base “e tilde” in funzione della base “e” all’interno del vettore v in base “e tilde” e vedrai che viene la stessa cosa
@@PhysicsMind credo di aver compreso l'errore di interpretazione che facevo nel "leggere" la notazione della base e come un vettore riga mentre è una sorta di pedice che indica in quale base sono espresse le componenti...ora è tutto chiaro😅! Grazie per la tua disponibilità 👍
Davvero complimenti per questa introduzione al concetto di tensore !!! Se non vado errato, esiste una relazione tra componenti covarianti e controvarianti del tipo: A_1=A*e_1, A_2=A*e_2 A^1=A*e^1, A^2=A*e^2 dove e_1, e_2 sono una base di V e e^1, e^2 sono una base di V^* Come posso dimostrare le due relazioni ? grazie !!!
Ciao, ti ringrazio davvero! Esatto, la relazione che scrivi è corretta, si dimostra facilmente grazie alla definizione di tensore metrico (g_μν se metrica covariante). Questo tensore infatti è l’applicazione bilineare simmetrica e invertibile (fondamentale quest’ultima) che manda un vettore nel suo duale: ed ecco che magicamente hai trasformato componenti controvarianti (indici alti) in covarianti (indici bassi)! o viceversa se usi la metrica controvariante (g^μν). Per definizione g_μν= (prodotto scalare tra componenti di base), quindi se la applichi da entrambe le parti (ma nel tuo esempio devi usare g_jk) ad A_k=A•e_k e sommi su k ottieni la tesi: A^j=A•e^j con k,j=1,2 A presto, ti aspetto sotto altri video!
Scusami, avevo una domanda molto stupida da farti, ma secondo quale principio o criterio la matrice del minuto 6:00 è composta in questo modo? Cosa determina i valori immessi in essa? (2-0 0-2)? In pratica i metodi "risolutivi" di una matrice mi sono chiari a patto che la matrice mi venga servita, ma se dovessi comporla io c'è un vuoto cosmico totale, non so secondo che criterio si compongano. Cosa dovrei approfondire per riuscirci anch'io? Grazie mille.
Non preoccuparti, non esistono domande stupide.. puoi vederla in due modi per cui la matrice dev’essere così, in quello più semplice puoi partire al contrario usando una matrice generica (a-b,c-d), e vuoi che questa applicata al tuo vettore di base (1,0) mi dia (2,0) (quindi si dice che la matrice manda il primo vettore di base nel suo doppio, ma per noi il suo doppio è il vettore della nuova base).. facendo i calcoli viene (2-0,0-2). L’altro metodo è più immediato, e si basa su quello che ti accorgi facendo i calcoli sopra. Ovvero tutte le matrici sono fatte in modo che abbiano come colonne i nuovi vettori di base; questo perché ogni volta che moltiplichi per un vettore di base del tipo (1-0) o (0-1) (ma vale anche in più dimensioni) nel prodotto riga-colonna stai estraendo la prima colonna della matrice, che per costruzione è il vettore della nuova base. Nel video gli elementi fuori diagonale nulli implicano che stai facendo un riscalamento del vettore di base SENZA quindi rotazione (prova a pensare perché), ed è proprio quello che vogliamo in questo caso. Una cosa interessante è che se ci pensi, quando fai un cambiamento di base ti stai comunque riferendo alla base vecchia per costruire i vettori nuovi. Nel video è come dire (2-0) è il doppio del vettore (1-0), che è appunto la base vecchia. Spero che ora sia più chiaro, fammi sapere senza problemi se hai altri dubbi!
Encomiabile, specie per chi lavora ed ha poco tempo come me. Davvero un buon lavoro, anche per la terminologia usata...ed arguzie, utilissime per ricordare notazioni e concetti complicati...se posso mi resta ancora un nodo generico...: .i sistemi di riferimento sono ancora del tipo ...origine...coord. ...e tutte le cov. e controv. ....riferite a...ad un osservatore -misuratore...devo rivedere e meditare , ma sempre mi pare si deve concordare una partenza (base) ec....Ma come noto....non abbiamo alcun punto di appoggio nell'universo...tutto isomorfo...senza nessun centro ....ed allora su cosa piantare ....??? Ho sempre l'impressione di sistemi fluttuanti e relativizzati. Grazie per l'ottimo lavoro
Ciao Maurizio, grazie mille! Un sistema di coordinate, e questo è vero per qualsiasi problema in Fisica, serve a descrivere un certo fenomeno. In base al problema specifico sarà più comodo centrarsi in un certo punto invece che un altro, ma le conseguenze fisiche non devono cambiare. Quindi l'origine del sistema di riferimento le scegliamo noi. Ad esempio, nel caso di buco nero di Schwartzschild, (farò un video a breve) il primo approccio alla descrizione del problema consiste nel porre il centro della massa come centro del sistema di coordinate, questo in modo che sia tutto perfettamente simmetrico rispetto a questo punto, e quindi semplificare tantissimo i calcoli. Successivamente ci si accorge però che appaiono delle divergenze utilizzando queste coordinate (il famoso orizzonte degli eventi) che però sono eliminabili (non sono veramente delle divergenze). Quindi, e solo DOPO, si va a cercare quale cambio di coordinate elimina questo problema, ed ecco che l'orizzonte degli eventi scompare. Ciò che però non è possibile fare è eliminare la singolarità nell'origine (intesa come quella nel centro della massa), questo perché non è un problema delle coordinate ma dello spazio-tempo stesso, quindi non esiste nessun sistema di coordinate in grado di descriverlo: si chiama singolarità di curvatura. Quindi vedi che le coordinate alla fine sono solo uno strumento matematico per descrivere una realtà fisica, ma non aggiungono niente in più al sistema (ovviamente aggiungerei)
@@PhysicsMind risposta esaustiva, grazie, ...; .forse è una mia mania -tarlo (la scelta dell'osservatore -misuratore ..il prof, TULLIO REGGE lo definiva una sorte di semideo ): Mi sto riguardando il tuo video...ottimo e " maneggievole".
Nell’esempio che ho portato abbiamo definito la nuova base come il doppio di quella vecchia, quindi se voglio una matrice che mi mandi un vettore di base vecchio in quello nuovo deve per forza essere così, se non metti zero fuori diagonale non funziona; prova ad applicare una matrice del tipo (2 c // c 2) (con c un numero reale diverso da zero, elemento fuori diagonale) al vettore (1,0), con il prodotto riga per colonna il risultato è il vettore (2,c) che non è il primo vettore di base e_tilde (che invece è (2,0) in base vecchia), ora è chiaro?
@@PhysicsMind intendo usare indici diversi i, j per i due tensori v ed α ( e le loro rispettive basi co e contro variante ) in modo da avere un tensore (1,1) con tutte le componenti, altrimenti usando solo l'indice i ottieni la traccia di quel tensore, ma sono certo che si sia trattato di un refuso. Bella lezione riassuntiva.
