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Songtext:
Refrain:
Wurzel 2 Pi n mal n durch e hoch n
das ist die Stirling-Formel.
Wurzel 2 Pi n mal n durch e hoch n
ist in etwa n Fakultät.
Das ist sogar asymptotisch äquivalent.
Das heißt: Der Quotient ist gegen 1 konvergent.
Also wird der relative Fehler immer kleiner
und die Approximation für große Werte immer feiner.
Mensch, das ist gut, denn wir können damit jetzt
auf die Frage, wie schnell eigentlich die Fakultät wächst
in diesem Sinne die genaue Antwort geben
und sie lautet eben: Genauso schnell wie ...
Refrain
Wusstest du, dass n Fakultät
durch x hoch n mal e hoch minus x entsteht,
wenn man das von 0 bis unendlich integriert?
Das induktiv zu zeigen ist nicht wirklich kompliziert.
Somit sind die Fakultäten bildlich gesehen
die Flächen, die unter diesen Graphen entstehen.
Und die wachsen hier natürlich immer weiter,
denn sie werden immer höher und auch noch immer breiter.
Und macht man jetzt ein bisschen Kurvendiskussion,
dann findet man das Maximum von dieser Funktion
bei x gleich n und damit siehst du jetzt,
wie schnell die Funktion in die Höhe wächst,
denn der größte Funktionswert ist immer n durch e hoch n.
Das könnten wir auch vertikalen Wachstums-Term nennen.
Wir ziehen den jetzt erstmal aus dem Integral heraus
und gleichen das dann dafür durch eine Division aus.
Wir haben unsre Integranden also jetzt
so gebaut, dass es nicht mehr nach oben wächst,
doch das Maximum ist immer noch an der Stelle n
und dadurch driftet das nach rechts - kann man ja gut erkennen.
Doch schiebt man das jeweils um n nach links, dann
bleibt das Integral gleich, aber jetzt sieht man:
Der Hochpunkt ist genau bei (0, 1) fixiert
und mit wachsendem n wird das “breitgeschmiert”.
Such ich jetzt die Wendepunkte, dann erkenn
ich: Die liegen bei plus-minus Wurzel n.
Ich könnte das jetzt um den Faktor Wurzel n stauchen,
den wir als Ausgleich dafür vor dem Integral brauchen.
Da wir hier insgesamt nur linear substituiert haben,
bleibt es bei den gleichen Formen - nur mit anderen Koordinaten.
Lass ich n laufen, seh ich im Grenzwert die
Gaußsche Glockenkurve mit Integral Wurzel 2 Pi.
Refrain
[Wurde leider zu lang für Videobeschreibungen. Der ganze Text ist unter www.dorfuchs.de/stirling-form... zu finden.]
Danke an meine Frau, die im Urlaub bereit war, mit mir am Atlantik ein paar Aufnahmen zu drehen. :D
Besonderer Dank auch an Silko Pillasch, der mich auf / dorfuchs unterstützt.
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15 дек 2021
