Exercice très intéressant ^^ Petite remarque : Etant donné que pour tout x appartenant à R, f est bijective, donc elle admet une fonction réciproque, et f(x) appartient à l'intervalle ]-1,1[ qui va donc par définition constituer le domaine d'étude de la fonction réciproque. Il me semblait même qu'on devait démarrer par cette détermination du domaine de f-1. Ca aurait pu être l'occasion d'un petit rappel sur le calcul de limites (idem d'ailleurs pour le quotient 1+y/1-y). Du coup, on a l'impression qu'il pourrait se passer des choses pas catholiques à l'extérieur de l'intervalle ]-1,1[ mais qu'on choisit de les ignorer pour pouvoir appliquer le logarithme. C'était une petite remarque en passant mais bravo pour l'ensemble de ton travail et ta pédagogie !
Grand erreur à la minute 2:40 : l'animateur dit pour qu'une fonction admet une fonction réciproque elle doit être continue et strictement monotone, Faux il suffit qu'elle soit continue et strictement monotone c'est une condition suffisante et non nécessaire comme il le prétend, la bonne réponse c'est que pour qu'une fonction admette une fonction réciproque elle doit être bijective et la c'est une condition nécessaire et suffisante !
Je ne peux que le remercier mdr. Aider des milliers d'étudiant dans leurs études, cet homme peut être fière de son influence sur la société et la communauté !
Grand erreur à la minute 2:40 : l'animateur dit pour qu'une fonction admet une fonction réciproque elle doit être continue et strictement monotone, Faux il suffit qu'elle soit continue et strictement monotone c'est une condition suffisante et non nécessaire comme il le prétend, la bonne réponse c'est que pour qu'une fonction admette une fonction réciproque elle doit être bijective et la c'est une condition nécessaire et suffisante !
fun fact, si l'exposant des exponentielles était 2x au lieu de x alors sa fonction réciproque serait (1/2)*ln((1+x)/(1-x)) qui se trouve être la fonction argument tangente hyperbolique
@@basarepistemepas vraiment parce-que le X= x/2 à l'intérieur des parenthèses sera aussi multiplié par deux, on aurait donc du (1/2)*ln((1+2X)/(1-2X))
J'ai 67 ans, je n'étais pas un "matheux" quand j'étais au lycée mais j'avoue que vos démonstartions sont très impressionantes ne serait ce que par le côté ludique que vous amenez. C'est vrai que les maths c'est vraimaent un jeu passionnant avec vous. merci de tout ça.👏👏👏
Très bonne vidéo. Petite suggestion si tu en refais une sur ce sujet : tu pourrais revenir sur la courbe de départ pour observer qu'effectivement l'image de f(x) est bien entre -1 et 1 (potentiellement avec y=1 et y=-1 en asymptotes mais c'est peut-être trop de détail)
C'est là que découvre enfin ce qu'est une fonction réciproque. C'est tout de suite plus clair quand, d'une part c'est bien expliqué et d'autre part il y a un exemple simple. Yeeeeesssss. 👍
Mais pourquoi j'ai pas eu des profs de math comme toi !! En regardant tes vidéos je récupère le plaisir que j'aurais du avoir du collège à la la fac. Un grand merci pour être aussi didactique que rusé dans la résolution des exercices.
En étudiant les limites de f(x) Celle en - l'infini est -1 Celle en + l'infini est 1 (Factorisation par exp(x)) Comme f est strictement croissante sur R, l'intervalle de la fonction réciproque est ]-1;1[
Un problème intéressant. Des explications claires et un discours captivant. Une remarque : pour avoir une fonction réciproque, une fonction n'a pas besoin d'être continue ou monotone. Il suffit qu'elle soit bijective. Par exemple, si on considère la fonction f définie sur R par f(x) = x si x est rationnel et f(x) = x+1 sinon. Cette fonction n'est pas continue ou monotone sur R mais elle est bijective sur R. Et elle possède une réciproque. En France, il y a quelques années, l'étude de fonction était bien plus approfondie qu'aujourd'hui. Montrer qu'une fonction est une bijection et rechercher sa fonction réciproque étaient des exercices courants. Si actuellement, les anglo-saxons pratiquent plus ces exercices que les français, cela n'est pas un effet de mode mais un exemple de l'effondrement du niveau en mathématiques des élèves français.
Grand erreur à la minute 2:40 : l'animateur dit pour qu'une fonction admet une fonction réciproque elle doit être continue et strictement monotone, Faux il suffit qu'elle soit continue et strictement monotone c'est une condition suffisante et non nécessaire comme il le prétend, la bonne réponse c'est que pour qu'une fonction admette une fonction réciproque elle doit être bijective et la c'est une condition nécessaire et suffisante !
Quand il y a un quotient du style (X+a)/(X+b), j'aime bien passer par (X+b+a-b)/(X+b), c'est-à-dire 1 + (a-b)/(X+b) : l'avantage c'est qu'on n'a plus qu'un seul X. Ici ça donne 1 - 2/(e^x+1)... et au final on retrouve le même résultat. Je trouve le calcul plus simple avec cette petite ruse.
Bonjour, en utilisant la technique du +1 -1 au début, on obtient donc : f(x) = ((e^x -1)/(e^x + 1))-1 +1 ----> (((e^x -1) - (e^x +1))/ e^x +1) + 1 soit (-2/e^x +1) +1 Je me demande si cela est plus efficace pour résoudre l'équation ou si c'est plus embêtant qu'autre chose. Avec y : y-1= (-2/e^x +1)-------> (y-1)(e^x +1) = -2 e^x= (-2/y-1) -1 x = ln((-2/y-1) -1) on retrouve bien l'inverse de la forme du début. J'aimerais connaître votre avis, si cela est plus digeste ou non. Merci.
very good stuff / merci / ne parle pas si vite, s'il te plaît, c'est difficile à comprendre pour quelqu'un qui n'est pas de langue maternelle (français). très bien présenté de manière didactique.
Grand erreur à la minute 2:40 : l'animateur dit pour qu'une fonction admet une fonction réciproque elle doit être continue et strictement monotone, Faux il suffit qu'elle soit continue et strictement monotone c'est une condition suffisante et non nécessaire comme il le prétend, la bonne réponse c'est que pour qu'une fonction admette une fonction réciproque elle doit être bijective et la c'est une condition nécessaire et suffisante !
@@Gorbi10 Une fonction f définie sur un intervalle I est une bijection de I vers un intervalle J si tout élément y de J admet un unique accédant x par f dans I, ça qui veut dire que pour tout y de J il existe un unique x dans I tel que : f(x)=y et justement cet unique x c'est ce qu'on appellera f^(-1)(y).
Très bien expliqué. Petite erreur dans le tableau de signe. La double barre doit aussi se trouver sous le -1 car le quotient doit être strictement positif (erreur corrigée ensuite dans le domaine de définition donné pour la fonction réciproque). Mais à part ça, excellent
Ce n'est pas une erreur car on étudie le signe du quotient (1+y)/(1-y). Il vaut bien 0 en y=1. La double barre devrait être mise si on écrivait "e^x" dans le tableau. :)
à 10:00, avec le tableau de variations, vu que -1 est éligible, il aurait fallu mettre y € [-1;1[ ; mais si y = -1 alors 1+y/1-y = 0 ; or log (0) n'existe pas. Donc, -1 est bien à exclure mais "après".
Merci vos vidéos sont très intéressantes mais svp si possible un peu moins rapide 😋 je retrouve la joie de faire parler les chiffres en maths...j'avais beaucoup de problèmes en maths etant jeune mais un jour j'ai eu la révélation grâce à des cours particuliers qui m'ont sauvé ma scolarité et en plus m'a donné le goût des maths...je remercierais jamais assez cette personne d'origine africaine milles merci!!
Si je peux me permettre une critique, c’est pas très rigoureux de travailler sur l’expression d’une fonction sans avoir d’abord précisé son domaine de définition. En tout cas c’est un truc à ne pas faire. Avant de déterminer l’expression de la fonction réciproque tu aurais dû déterminer son domaine de définition. Tu te dis sans doute que cela revient au même. Dans le cas espèce ici oui ça revient au même mais en réalité c’est pas toujours le cas. Pour t’en convaincre il suffit juste de considérer une fraction rationnelle avec des zéros communs au numérateur et au dénominateur. Si tu commences par tes transformations il arrivera après simplification une expression où certaines valeurs interdites (c’est-à-dire les zéros du dénominateur) auront disparu. Par exemple [(x+1)(x-1)]/(x+1) (a) après simplification devient x-1 (b). On est certain que (a) et (b) ont toutes deux une réciproque qui ont des expressions identiques (x+1) mais la différence se situe au niveau de leur domaine de définition. Les transformations ont fait disparaître la discontinuité. Et donc déterminer le domaine de définition après transformation est une erreur grossière. C’est le même type d’erreur que calculer l’inverse d’un élément d’un anneau sans d’abord s’assurer que l’élément en question est inversible (si tu le fais tu trouveras une expression qui est vrai à condition que l’élément soit inversible. Par exemple l’inverse de A est 1/A seulement si A est inversible. Dans R pas exemple si A=0, 1/A n’existe tout simplement pas). Il y a une autre erreur que l’on rencontre souvent c’est le fait de prendre des éléments dans un ensemble sans d’abord s’assurer que l’ensemble en question n’est pas vide (quand on fait ça on trouve des résultats qui sont vrais que si l’ensemble en question n’est pas vide. Pour ceux qui se demandent comment on peut prendre des éléments dans un ensemble qui est vide il faut savoir qu’en maths sup l’essentiel des raisonnements sont abstraits et que les raisonnements commencent souvent par des formules du genre « soient a1 et a2 des éléments de l’ensemble A », très souvent A est défini en compréhension et donc avant de considérer des potentiels éléments a1 ou a2 il faut s’assurer que A n’est pas vide)… Bref ce sont des erreurs logiques que je vois souvent. Toi tu l’as commise certainement parce que t’as pas voulu présenter rigoureusement la réponse. La rigueur en mathématiques c’est pas pour embêter les gens : c’est justement pour éviter les erreurs.
Pourquoi on fait un tableau de signes pour avoir le domaine de définition de g ( la fonction qu’on cherche ) ? Simplement mettre son expression répond à la question non ?
c'aurait été intéressant que tu représentes les deux fonctions sur le même graphique car ça donnerait une idée globale de la bonne réponse. à l'avenir sur des questions analogues, on pourrait du premier coup d'oeil juger si on s'est trompé ou pas rien qu'en voyant la courbe de la fonction. (renverser et incliner à 90°)
Simplement une mention de la définition ^.^ Soit g la fonction réciproque de f, g(f(x))=x. Et x est ici la fonction linéaire qui coupe le plan à 45º. Ça se voit très bien avec les courbes de x^2 et racine de x qui sont symétriques par rapport à y=x !
Super vidéo! Comment ça se fait que dans la vidéo tu dis que la fonction réciproque de f ne se définit que sur [-1;1[ et après dans la représentation graphique il y a beaucoup plus que ça?
Non non, si tu regardes la dernière courbe elle n'existe bien que sur l'intervalle ]-1;1[. La courbe qui va de -inf à +inf est la courbe de f (celle du départ avec les exponentielles). ;)
Bjr, j'ai une question a propos des conditions d’existence des fonctions réciproque est ce que a part la necessite que f soit strictement monotone et continue , ne doit elle pas etre aussi bijective?
Grand erreur à la minute 2:40 : l'animateur dit pour qu'une fonction admet une fonction réciproque elle doit être continue et strictement monotone, Faux il suffit qu'elle soit continue et strictement monotone c'est une condition suffisante et non nécessaire comme il le prétend, la bonne réponse c'est que pour qu'une fonction admette une fonction réciproque elle doit être bijective et la c'est une condition nécessaire et suffisante !
C'est dommage de ne pas tracer la courbe pour la fonction ainsi que celle de sa réciproque sur le même repère pour constater la symétrie entre elles par rapport à la droite y=x
Elle existe puisque ta fonction est bijective (continue et strictement croissante sur R) mais de la à l'exprimer en fonction des fonctions usuelles c'est comme demande une primitive de exp(-x^2) ca existe puisque c'est continue mais à part l'expression intégrale tu ne peux l'exprimer en fonction des fonctions usuelles.
e^x est (strictement) positif, (1+y)/(1-y) doit également l'être sans être nul, il n'y a que l'intervalle ]-1;1[ qui soit 'valable', en dehors le problème n'existe pas, montré par l'étude du signe vers 9 minutes. Y a qu'une zone d'existence dans le contexte du problème. Avec (2+y)/(2-y) ça serait différent.
N'est t-elle pas tan(x/2) puisque si on met x/2 en facteur on aura (e^(x/2)-e^(-x/2))/(e^(x/2)+e^(-x/2)) ce qui est la forme de arctan(x/2) alors f-1(x) =tan(x/2) pour tout x appartenant à [-π/4;π/4] ?
Si j'utilisais e^1 au lieu de ln, ne serait-ce pas bon aussi ? Car e^1 = 0 On a qu’à juste ajouter + e^1 après l’expression trouvée. Par exemple: e* = l’expression + e^1
Quoi ? Non ! e^1=e, e^-1=1/e Et puis e^0=1 C'est tout. Exponentielle est une fonction TOUJOURS positive ! Justement car n'importe quel nombre réel (Sauf zéro) élevé à une puissance réelle sera toujours >0 !
Je m'étonne qu'il n'ait pas été mis en facteur exp (x/2) en haut et en bas pour faire apparaitre la fonction tangente hyperbolique de x/2, il y a donc du argth en fonction reciproque
Qui connaît la fonction arc tangente hyperbolique au lycée ? En fait, qui connaît la trigo hyperbolique ? Même en L3 de physique, quand je faisais un max de calcul, je n'en croisais qu'à de rares occasions. Pour le lycée, c'est juste hors programme. Sachant combien l'éducation nationale est frileuse sur le contenu supplémentaire, ce serait absurde d'expliquer ça aux élèves et pas d'autres choses plus pratiques. C'est mon point de vu.
Grand erreur à la minute 2:40 : l'animateur dit pour qu'une fonction admet une fonction réciproque elle doit être continue et strictement monotone, Faux il suffit qu'elle soit continue et strictement monotone c'est une condition suffisante et non nécessaire comme il le prétend, la bonne réponse c'est que pour qu'une fonction admette une fonction réciproque elle doit être bijective et la c'est une condition nécessaire et suffisante !
Très approximatif d'un point de vue pédago, même si le côté "bête calcul" est correct. La fonction f est définie sur |R--> ]-1 1[ donc la fonction réciproque ne peut exister (si elle existe) que de ]-1 ;1[-->|R. D'autre part quand on est capable de triturer des exponentielles (niveau 1ère ou Tale), on est aussi capable de trouver le signe de(1+x) /(1-x) en utilisant la règle du trinôme et donc en évitant la lourdeur d'un tableau de signes.
@@armand4226 un trinôme (du second degré) s'écrit ainsi : T(x) = ax²+bx+c. La règle du trinôme, c'est que le signe de T(x) est du signe de a sauf entre ses racines. Ainsi T(x) = (x-1)*(x+1) est toujours positif car le coefficient de x² vaut 1, sauf entre ses racines qui valent 1 te -1. Et d'autre part le signe d'un quotient est égal au signe d'un produit lorsque le quotient est défini, donc sgn((x-1)*(x+1) = sgn ((x-1)/(x+1))
@@michelbernard9092 Merci l'ami. C'est vrai que je la connaissais cette règle.... mais je l'avais oubliée. 😫 Mais il y a tant de trucs à se souvenir et surtout de savoir quand les appliquer. 🤪
Punaise, la notation f^-1 , il n'y a pas à faire, elle fait saigner mes yeux de physicien. Formellement f^-1 ce devrait être la fonction inverse, et non la réciproque... Il faudrait écrire x(f), et non f^-1 😅
des mondes irréconciliables... 🙂 En terminale en 1972-73, la prof de physique avait besoin de notion d'intégrale pour ses cours, mais le prof de math a dit, en faisant cours la dessus un peu plus tard, que c'était mauvais, pas ça du tout, etc. 🙂 Les êtres mathématiques et physiques ne sont pas les mêmes.
