[UT#2] Théorème fondamental de l'analyse (Démonstration)

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Dans cette émission, je démontre le théorème fondamental de l'analyse, qui fait le lien entre les notions de dérivée et de primitive en disant, dans les grandes lignes, qu'elle sont réciproques l'une de l'autre. En particulier, les intégrales, vues comme des aires, peuvent désormais être calculées grâce à des primitives, ce qui est un moyen très pratique de contourner un calcul d'aire « à la Riemann », par exemple.
🕒 Repères temporels:
0:00 - Énoncé du théorème
0:28 - Mise en contexte et prérequis
1:49 - Début de la démonstration
5:29 - Point stratégique
8:03 - Fin de la démonstration
10:37 - Pourquoi ce théorème est-il fondamental ?
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📰 Note historique: il s'agit ici d'une réédition de la deuxième émission de la chaîne disposant d'illustrations graphiques.
[UT#2-Archive] Théorème fondamental - • [UT#2] Théorème fondam...
✒️ Notions abordées: continuité, dérivabilité, primitive, calcul d'aire, linéarité de l'intégrale, inégalité triangulaire, croissance de l'intégrale, relation de Chasles, taux d'accroissement, analyse réelle, valeur absolue, théorème d'encadrement, définition de la limite, fonctions en escalier.
🌞 Bonne écoute !
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Опубликовано:

26 июл 2024

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Комментарии : 42

@michelbernard9092 Год назад

Cette fois ci c'est absolument parfait !... Après le théorème fondamental de l'analyse, je vous suggère le théorème fondamental de l'algèbre !😊

@smartcircles1988 Год назад

C'est une très bonne chose de reprendre d'anciennes émissions pour les remettre au goût du jour, en plus, avec autant de qualité 🙂

@abakaryoussoufguihini6130 10 месяцев назад

Merci beaucoup cher monsieur ! Toujours vidéos de classes comme d'habitudes.

@idrisrayane3795 Год назад

La vidéo que j'attendais ça fait longtemps merci 😍😍😍😍😍

@oljenmaths Год назад

Je dois avouer que c'est aussi un soulagement de ma part, parce que l'ancienne version est vraiment terriblement expliquée quand je la compare à celle-ci 🤣! Hourrah 🥳!

@mamadousaley4403 Год назад

merci beaucoup pour la vidéo ça m'a éclairé de ouf

@lacleman28 Год назад

Toujours aussi excellent ! 🤠

@wass7773 Год назад

Très bonne vidéo comme d’habitude, très attendu par les étudiants j’imagine !

@oljenmaths Год назад

Merci 🙏🏻! Oui, très attendu si je considère le nombre de vues en une heure après la publication 😅.

@matflash_6688 Год назад

Très bien expliqué. Bravo 👏

@meddark3795 Год назад

Magnifique, la grande valeur absolu résoud le problème ❤

@stefx2907 Год назад

Super clair merci (me replonge dans mes cours de SUP😊)

@ipopus2 Год назад

Très bonne vidéo. Tu as bien évolué depuis la version précédente de cette démonstration, notamment dans les détails des calculs qui pouvaient être un peu rapides.

@oljenmaths Год назад

Merci bien 🙏🏻! Oui, il y a quatre ans d'écart entre les deux, j'ai eu le temps de réfléchir à deux trois petites choses sur la manière dont je procédais 😇!

@lpm7656 Год назад

Très bonne vidéo

@saidbounite2499 Год назад

courage explication clair

@AllemandInstable Год назад

carré les animations

@AllemandInstable Год назад

un résultat légendaire certainement le plus marquant du lycée ( meme si non démontré)

@oljenmaths Год назад

Franchement, au lycée, je n'avais même pas identifié qu'il y avait un théorème. On m'avait parlé de l'aire sous la courbe d'un côté, de la différence entre deux valeurs d'une primitive de l'autre, et j'avais accepté ça comme argent comptant 🤣! Ça me fait rire quand j'y repense !

@etistyle96 Год назад

perso j'avais appris les formules parcoeur pour dérivée et primitiver et j'avais retenu que si c'était une aire je pouvais utiliser ça mais j'ai jamais capter qu'on créer un pont entre géométrie et analyse. xD

@oljenmaths Год назад

@@etistyle96 Et ce pont aurait pu être identifié grâce à la question « qu'est-ce qu'une aire ? ». Mais se poser la question, c'est déjà avoir une partie de la réponse 🥳!

@AllemandInstable Год назад

@@oljenmaths j'espère que sera attaqué plus tard dans l'année les mesures franchement mesure et intégrale de Lebesgue sont des théories très élégantes !

@oljenmaths Год назад

@@AllemandInstable Ça le sera, à part si je pète un plomb avant, ou si je découvre une mine d'or 🤣.

@erenksng5349 Год назад

Bonjour, Je ne comprends pas bien votre remarque à 5:10 sur l'inégalité triangulaire de l'intégrale. Je suis allé vérifier et ce théorème est censé être vrai quel que soit le signe de l'intégrande. On est censé toujours avoir : | ∫ f(t)dt | < ∫ | f(t) | dt car - |f(t)| < f(t) < |f(t)| => | ∫ f(t) dt | < ∫ |f(t)| dt, par propriété de la valeur absolue |x| < k => -k < x < k, ainsi que croissance de l'intégrale. En réfléchissant un peu plus j'ai l'impression que pour démontrer la croissance de l'intégrale, il faut admettre que F' = f. Ainsi, si f est positive, alors l'intégrale sera bien CROISSANTE et conservera les inégalités. Mais nous ne pouvons pas utiliser ce raccourcit, car nous n'avons pas encore démontrer que F' = f. Je suis bloqué..

@oljenmaths Год назад

Salutations 👋🏻! Il est vrai que la croissance de l'intégrale n'a pas grand chose à voir avec le signe de l'intégrande. Plutôt, ce qui est important, c'est l'ordre des bornes d'intégration. En l'occurrence, x et x+h sont rangés soit dans l'ordre croissant, soit décroissant en fonction du signe de h, et c'est pour cela que je procède avec une deuxième couche de valeurs absolues à 5:10. Quand à la démonstration de la croissance de l'intégrale, c'est-à-dire la propriété qui dit que si une courbe est en-dessous d'une autre, l'aire sous la première est plus petite que l'aire sous la seconde, cela ne fait pas intervenir de dérivée. Il s'agit plutôt de démontrer cette propriété sur des fonctions en escalier (avec des sommes de rectangles, tout devient plus facile), puis de procéder grâce à un passage à la limite. D'autres questions sont les bienvenues, notamment si mes explications sont trop laconiques 👨🏻‍🏫! PS: Je mentionne aussi l'existence de mon serveur Discord, au cas où, ce qui est plus pratique si les discussions viennent à se développer bien davantage. 🤖 Le lien: discord.gg/fhmqhRrRFq

@erenksng5349 Год назад

@@oljenmaths c'est plus clair, merci beaucoup. M'autorisez-vous à partager votre lien discord sur Twitter ? J'ai une petite communauté d'apprentis physiciens qui aimeraient sûrement discuter de mathématiques sur votre serveur et découvrir vos émissions.

@oljenmaths Год назад

@@erenksng5349 Oh oui, bien sûr ! C'est fait pour 🙏🏻!

@lecokase 7 месяцев назад

Dommage que je n’ai pas les bases pour comprendre, merci quand même

@oljenmaths 7 месяцев назад

Au plaisir 🙏🏻! Il est vrai que la démonstration est bien plus âpre que l'idée qui sous-tend le théorème, cela ne fait aucun doute 😇!

@florianvincent3932 Год назад

Bonjour Excellent et merci Quel logiciel utilisez vous et quel support hardware , tablette graphique ou pas Merci à vous

@oljenmaths Год назад

✍️ Tablette graphique: amzn.to/32Pe1VY ou iPad. 📝 Enregistrement vidéo: OBS + Photoshop. 🎧 Enregistrement son: Audacity. 🎬 Montage vidéo: Adobe Premiere.

@mathematicien 10 месяцев назад

Blup blop video bieng❤

@etistyle96 Год назад

très bonne vidéo. J'ai toute fois quelques question, sur la notation: _je vois tout d'un coup un "a" apparaitre dans les bornes de l'intégrales, j'imagine qu'il s'agit de la constante à partir de laquelle x "se déroule" ? _dans le passage de f(x) à 1/h int( f(x)dt ) à 4:05 de la vidéo, je vois qu'il y a x en bornes de l'intégrale et f(x) dans l'intégrale, est-ce que c'est "légale" d'avoir la variable dans l'intégrale être la même qu'au borne. N'est-ce pas pour cela à la base, qu'on remplace x par t ? _c'est étrange mais je me pose des questions sur la nature de x. Par rapport à a, j'ai l'impression que x est une variable, que sa valeur change, mais par rapport à x+h, x me semble fixe, comme si x était une constante. si l'intégrale f(x)dt est a une valeur fixe c'est parce qu'il n'y a pas de "t" dans l'intégrale ?

@oljenmaths Год назад

Merci Étienne 😉! Pour les questions très intéressantes, voici ! 🔸Effectivement, le « a » qui est dans la première borne de l'intégrale, à gauche, il est fixé. Et la fonction F, elle mesure la manière dont l'aire sous la courbe évolue (je me rends compte que j'aurais pu faire un beau dessin). En particulier, si x = a, F(x) = 0 puisqu'on n'accumule aucune aire. 🔸Dans le passage à 4:05, c'est un point important: avoir du x à l'intérieur de l'intégrale est dans la borne est tout à fait possible, mais dans ce cas là, impossible de prétendre que x est la variable d'intégration (sinon elle ne serait pas dans la borne). Dans notre cas, justement, x est une constante, et donc la fonction intégrée, qui à *t* associe f(x), est une fonction constante (au contraire de la manière dont F est définie en tout début d'émission), raison pour laquelle sa valeur moyenne est égale à cette constante. Enfin, pour la dernière question, afin de dissiper la brume, il faut comprendre à quel moment certaines variables sont fixées. 🔹La variable a est fixée en premier, et elle est à la base de la manière dont F est définie. À ce propos, la fonction F aurait pu être indicée par a, ça aurait eu du sens. Et dans cette fonction F, la variable, c'est x (cf. ma première réponse). 🔹Par la suite, pour démontrer que F est dérivable sur R, on démontre qu'elle est dérivable en tout réel x. Pour cela, je fixe un x, et je considère le taux d'accroissement correspondant. À ce stade, le x est fixé, et la quantité qui va varier, c'est h, que je souhaite faire tendre vers 0. N'hésite pas à me dire s'il faut creuser ici ou là, c'est très pertinent 👍🏻!

@etistyle96 Год назад

@@oljenmaths réponse très utile ! Le dernier point dissipe beaucoup de choses merci ! 🙏

@davidgg8462 Год назад

le repères temporels me semble faux, mais la video est tres claire

@oljenmaths Год назад

Effectivement, ils ont été intervertis avec ceux d'une autre vidéo. Normalement, c'est rectifié ! Merci beaucoup de me l'avoir signalé 😄!!

@blokyt_7910 Год назад

Je ne comprends comment on passe de l'étape (i) à (iii), comment on peut rentrer la valeur absolue dans l'intégrale ? 4:41

@oljenmaths Год назад

J'utilise l'inégalité triangulaire. En fait, (i) et (iii) ne sont pas des numéros d'étapes mais des numéros de propriétés que j'admets en début d'émission, et la (iii) est l'inégalité triangulaire, justement 👍🏻.

@kanomaths7796 Год назад

Inégalité triangulaire

@chalandguy7770 9 месяцев назад

D'où le problème de l'indéfiniment numérique, croissant ou décroissant, à ne pas confondre avec l'Infini, qui jamais ne peut se résoudre à une quantité . 😂