[UT#64] Gradient & Dérivées directionnelles (Introduction)

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Dans cette émission, je présente les notions de gradient et de dérivées directionnelles sur un exemple très visuel dans lequel le chevalier Perceval se met en route en quête du Saint-Graal.
🕒 Repères temporels:
0:00 - Introduction
0:25 - Exemple d'illustration
2:05 - Une question fondamentale
5:14 - Vers une généralisation
6:20 - Application sur l'exemple
10:22 - Définitions (gradient, etc.)
11:32 - Une question salutaire
12:30 - Une propriété importante
14:23 - Interprétation du gradient
18:00 - Quelques questions
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✒️ Notions abordées: gradient, dérivée directionnelle, dérivée partielle, nombre dérivé, pente, différentielle, inégalité de Cauchy-Schwarz, produit scalaire, quête du Graal, variations d'une fonction, algorithme du gradient, algorithme de descente,
🌞 Bonne écoute !
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Опубликовано:

9 июл 2024

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Комментарии : 113

@ent6322 Год назад

C’est absolument excellent. Je comprends pas pourquoi votre chaîne RU-vid n’est pas plus connu, vous faites l’effort d’expliquer proprement les concepts et l’intuition derrière pendant que d’autres qui se content de recopier un cours sur un tableau ont + de vues…

@oljenmaths Год назад

Merci beaucoup 🙏🏻. J'espère seulement que mon travail finira par payer, ou bien que je trouverai un jour ce qui fait que mes vidéos connaissent moins de succès malgré une forme et un fond d'une qualité moindre, du moins d'après mes perceptions 😇.

@rubensilvera1164 5 месяцев назад

@@oljenmaths Choqué de voir que des vidéos minables, qui sont littéralement des paraphrases de cours sans explications font plus de vues que ce chef d'oeuvre que je viens de voir.

@oljenmaths 5 месяцев назад

Merci beaucoup@@rubensilvera1164 !

@mollyx6049 3 месяца назад

Merci beaucoup pour cette vidéo ! Je comprends immédiatement le concept de la dérivée directionnelle ! Si jamais mon prof avait intégré la visualisation dans le cours...🥲

@oljenmaths 2 месяца назад

Au plaisir 😁 ! C'est pour cela que je réalise des vidéos : c'est un complément bien utile 😇.

@leJzer__ Год назад

Brillant tout simplement : clair net et concis soit tout ce qu'on recherche d'une vidéo résumé ! Continuez comme ça vous sauvez bon nombres d'étudiants!

@oljenmaths Год назад

Merci beaucoup 🙏🏻!

@amandineleretour 3 месяца назад

Merci beaucoup pour cette vidéo qui m'a fait comprendre une semaine de cours en 20min !! Vous sauverez mon semestre. Je suis admirative du travail que ça doit demander et l'exemple est tellement clair merci infiniment

@oljenmaths 3 месяца назад

C'est à mon tour de vous remercier pour ce message qui fait chaud au cœur, et qui m'encourage à persévérer dans la réalisation de vidéos de ce type (d'autant plus qu'en effet, leur réalisation prend un temps fou)😇! Bonne continuation dans vos études !

@wilfriddelabre6886 Год назад

Merci de faire apprécier les mathematiques. Votre travail est d'une grande qualite et d' une simplicité ce qui en dit long sur le travail fournit. Un grand merci

@sengoku7348 Год назад

Un trés bon travaille je doute que mon professeur de maths peut expliquer avec une telle rigorisité vraiment briallant 👏👏👏

@oga657 Год назад

On dit rigueur 😉 Une telle rigueur....

@emilie375 Год назад

Je n'ai pas tout regardé encore et il faudra que j'aille voir la vidéo sur la différentielle aussi mais j'adore ! Ce sont des notions depuis des années me font un peu peur et la tout est expliqué très clairement et prend sens. Merci !

@DamassiTV Год назад

J'adore vos vidéos. Les explications sont magnifiques. Les démonstrations et les sujets des maths sont représentés d'une façon incroyables.. Merci beaucoup du Maroc ❤️🇲🇦

@acn8713 4 месяца назад

Vraiment fantastique!

@mohamedharek5768 Год назад

Merci pour cette vidéo explicative 🙏

@DARELVICAIRE-yg8yg 8 месяцев назад

Vraiment grand merci à vous vous faites du bon boulot

@bonsai3975 8 месяцев назад

Juste exceptionnel ;) Merci beaucoup pour votre travail!

@procureurkhyssa5730 Год назад

trop bien expliqué ! merci pour le partage salut et joie !

@chihabmajdolin504 Год назад

Très bonne vidéo, continue dans les fonctions de deux variables, c'est très intéressant.

@borhaneyahiaoui9965 Год назад

C’est super agréable de comprendre le lien entre les notions, et le véritable sens qu’elles ont !

@gilldeguill Месяц назад

C’est très bien expliqué

@douaabousnina 2 месяца назад

merciiiiii !!!! vous m'avez sauvée!

@user-zq5pg3ps2t 4 месяца назад

merci pour vos efforts !

@user-hy4zf5lz8w 10 месяцев назад

Excellent, très bien fait et très clair, merci !

@antoine5571 Год назад

C'est excellent, merci énormément !

@aminaa3973 Год назад

Merci beaucoup pour votre travail

@christelep601 Год назад

Superbe vidéo et excellent travail ! Bravo

@zakariaeaznay7949 Год назад

Wow, Très excellent vos explications

@imkwuik3234 8 месяцев назад

La vidéo est génial, les illustrations sont top, c'est rare d'aborder et d'expliquer aussi bien des définitions assez subtile comme ça on sent que vous êtes très pédagogue, merci beaucoup pour votre travail !

@oljenmaths 8 месяцев назад

Au plaisir, merci pour ce message chaleureux 😁!

@mehdibenrejeb212 Год назад

superbe explication ! continue.

@Louis-ml1zr Год назад

Géniale vidéo! Très très claire bravo a vous et bravo aussi pour les animations/textes c’est vraiment très bien fait !

@oljenmaths Год назад

Merci beaucoup 🙏🏼!

@lazm6047 Год назад

Merci beaucoup 😊👍

@Agentsecret Год назад

Merci !!

@hammalemourad8936 Год назад

Thank you 😊 that's great it will be helpful to understand how the machine learn

@mohammedjmili3952 Год назад

Excellent. 👍👍👍

@halikiidrisswouche6572 4 месяца назад

J'❤aime car très expliqué! Merci infiniment!

@yiphtambanguelobe1405 Год назад

Excellente tes vidéos j'ai enfin compris pourquoi dans l'algorithme de descente de gradient, on descend dans la direction du gradient et pas dans une autre

@nicolasbiviano7028 6 месяцев назад

La manière d amener l algorithme est juste parfaite

@bilelselmi4267 Год назад

Merci bcp , j'espère un vedio sur la divergence avec une explication comme ça

@Venden_IX 10 месяцев назад

Super vidéo, ça serait super des exercices corrigés sur les dérivées partielles

@myfreedom42 Год назад

ma premire video sur ta chaine, et meme si je suis largué en math sur certaines notions, ça reste quand meme tres bien et éclairci certains point :) continue !

@oljenmaths Год назад

Merci beaucoup, bienvenue sur la chaîne !

@myfreedom42 Год назад

@@oljenmaths le vrai probleme c'est que les lacunes se cumule, pour dire, on fait meme plus de calcul mental, donc j'ai certaines table que j'ai oublié, donc c'est chaud ^^ Par contre, vu que je programme, les fonctions c'est devenu beaucoup plus clair, enfin sauf quand y a plein de symbole autour XD

@oljenmaths Год назад

Oui, je comprends pour les lacunes. Je ne sais pas dans quelle mesure c'est possible pour toi, mais il faudrait que tu prennes le temps de les combler, une par une, ces lacunes (et je suis sûr que tu le sais). L'idée, c'est d'y aller petit à petit, parce que si tu essaies de tout combler en même temps, tu vas juste te décourager. Tu sais, pour le calcul mental, ça peut juste être une douzaine de multiplications à un ou deux chiffres chaque jour: ça te prendrait 5-10 minutes et tu serais fier de faire encore plus partie du côté de ceux qui affrontent leurs problèmes 😜!

@U55705 6 месяцев назад

Merci bcc

@fahsifahsi1968 Год назад

Bravo

@yaellouaked9230 Год назад

Je crois que les types de cartes qui pourraient posé problème a perceval serai celles avec plusieurs extremums locaux (plusieurs montagnes...) le gradiant "indiquerait" donc simplement le somet le plus proche mais pas forcément celui souhaitée! Ps: Une question m'est venue en ecrivant ce commentaire, existe t'il un outil mathématique analogue qui indiquerait l'extremum global d'une fonction? (En supposant qu'il n'en en est qu'un seul)

@oljenmaths Год назад

C'est une très bonne proposition. Quant à un outil analogue qui n'indiquerait que les extrema globaux, je n'en ai pas connaissance, ce qui ne veut absolument pas dire que ça n'existe pas 😉. En tout cas, le gradient est vraiment un outil local, donc à part dans des cas très particuliers (fonctions convexes / concaves, par exemple), il est peu probable de tomber sur un extremum global.

@ThibaudOU Год назад

La matrice hessienne par exemple ?

@michelbernard9092 Год назад

Petite suggestion en passant (je me venge !), lorsqu'il y a une confusion possible, mettre une flèche sur les éléments de iR², sinon très belle vidéo, bien claire, bien agréable.

@user-zq5pg3ps2t 4 месяца назад

j'adoreee

@eladnanimohammedamine1271 Год назад

Un exemplede carte qui poserait problème à Perceval serait l 'image de la fonction f:(x,y)-->1/x car il ne peut monter à l'infini. D'ailleurs si on multiplie la fonction par (-1) il va lui falloir sauter sur le domaine voisin de x=0 pour passer d'un côté à l'autre de la carte :)

@oljenmaths Год назад

Ah oui, faire partir l'altitude à l'infini, c'est sportif 🤣!

@ahmed51988 Год назад

Votre contenu est très utile et unique ! Expliquer ces idées dans cette vidéo assez concise n'est pas evident et articuler ses idées avec un français agréable et riche ajoute au plaisir des maths Je vous souhaite la réussite Conseil ou remarque : Penser a plus adapter les vidéos aux smartphones , pensez a un police plus grand peut être car une grande partie des matheux élèves ou amateurs utilise les portables Verrons nous des vidéo sur les matrices dans le futur ? Et bonne continuation !!!

@oljenmaths Год назад

Merci pour les compliments 🙏🏻! Pour les matrices, il faudra sans doute attendre un peu parce que je suis lancé dans l'analyse en ce moment, mais je reviendrai assurément à l'algèbre que j'aime beaucoup. Quant aux smartphones, il me semble que le tableau est bien lisible en plein écran... en tout cas, je n'écrirai pas plus petit, promis !

@momohiio941 Год назад

Super vidéo comme d'habitude !! (on est d'accord que le nombre dérivé -4exp(-5) renseigne sur les variations des pts qui sont "proche" du point a ? )

@oljenmaths Год назад

Oui, complètement, cela ne donne que des informations locales 👍🏻.

@sadiboudjitte2851 Год назад

très intéressant je vois mieux maintenent le concept de Gradient franchement tes vidéos sont très instructives, on arrive à mieux comprendre les outils abstraits des mathématiques PS: est ce que vous pourriez faire un jour une vidéo sur La Loi faible des Grands Nombres ?

@oljenmaths Год назад

Merci beaucoup ! Je ne parlerai pas de si tôt de la loi faible des grands nombres, mais cette idée est déjà quelque part dans mon énorme tableau d'idées, donc ça arrivera un jour, lorsque je serai dans une dynamique de probabilités. Pour l'instant, je suis à fond dans l'analyse 😅!

@lecokase Год назад

Merci beau boulot. Je reviendrai car j’ai pas tout capté

@leeknowbiased4644 11 месяцев назад

C'est une vidéo incroyable merci beaucoup. J'ai juste une petite question, pourquoi on considère que "monter" est aussi une direction alors que monter c'est l'axe de la variable. Quand on a des fonction de R dans R on ne considère pas que monter sur l'axe de la variable est une direction pourtant?

@oljenmaths 11 месяцев назад

De R dans R, il n'y a pas tellement besoin de parler de direction parce qu'il n'y a pas vraiment le choix. À la limite, on pourrait de parler de dérivée directionnelle selon le « vecteur » 1 (pour que l'augmentation de la pente soit jaugée de gauche à droite) ou selon le « vecteur » -1 (auquel cas les fonctions dont la dérivée directionnelle correspondante est positive seraient décroissantes, et bonjour le chaos). Pour des fonctions de plusieurs variables, ces notions sont bien plus pertinentes, dans la mesure où Perceval, perdu sur son terrain, a désormais une infinité (et non pas deux) de directions dans laquelle aller. Et donc, dire « ça monte » demande des précisions pour ne pas être équivoque. J'espère que j'ai répondu à la question plutôt que te tourner autour. Sinon, il faut insister 😁.

@hamatismailguire3329 Год назад

Excellent formidable vous la creme de la crème. Dite nous comment aimeriez vous qu’on vous soutiennent

@oljenmaths Год назад

Merci beaucoup 🙏🏻! Dans un ordre croissant d'importance, je dirais que « soutien » évoque des pouces bleus sur les vidéos, le partage de ces vidéos et d'éventuels dons (je travaille à la réalisation de vidéos à 100% désormais). 🤝🏻 Faire un don - bit.ly/3pMOJFN

@TristanScuiller Год назад

si perceval passe par un plateau avant d'arriver au sommet il ne saura pas décider de sa direction juste avec la nullité du gradient : il va devoir regarder au loin soit chercher par exemple en spirale dans un certain rayon autour de sa position et choisir la position où il recommence à monter là où l'altitude est la plus grande. Dans l'hypothèse où il y a un seul sommet ponctuel sur la carte où se trouve le graal.

@oljenmaths Год назад

Voilà deux problèmes pertinents soulevés: des zones de plat, ainsi que des sommets éparpillés ici et là et qui ne sont pas forcément le sommet de la montagne (un tas de bouse séchée, par exemple). Bien vu 👍🏻!

@richardsantamaria820 10 месяцев назад

Bonjour, pourquoi la dérivée directionnelle est-elle le produit scalaire du gradient et du vecteur directeur h ?

@oljenmaths 10 месяцев назад

Bonjour ! C'est la propriété citée à 13:16 qui permet d'affirmer cela, et elle peut se démontrer par un calcul plus ou moins pénible faisant intervenir une formule de Taylor 👨🏻‍🏫.

@pit22829 2 месяца назад

Un graphe qui pourrait poser problème à Perceval selon moi serait par exemple constitué de plusieurs sommets locaux et d'un sommet absolu. Difficile de trouver son chemin dans ce cas, avec les gradients. Non?

@oljenmaths 2 месяца назад

Exactement 👍🏻! C'est ce qui pose pas mal de problèmes dans plusieurs méthodes d'optimisation où l'on se contente de « suivre la boussole », cf. ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-EWjUY_3ubf4.html, par exemple.

@blondsucre8179 7 месяцев назад

Maid si perceval est sur un massif montagneux avec des plateaux parfaitement plat et lisses, . Le gradient le laisserait-il bloqué sur un plateau ou bien lui indiquerait il la direction de l'absolu sommet culminant ?

@oljenmaths 7 месяцев назад

Il le laisserait bloqué sur un plateau ! C'est ce qui pose problème dans bon nombre d'algorithmes utilisés dans l'intelligence artificielle, notamment.

@lherissondespontex6657 Год назад

Je ne comprends pas d'où vient l'exponentielle à 8:50, est-ce quelqu'un peut éclairer ma lanterne svp :) ?

@oljenmaths Год назад

Présent, @lherissondespontex6657 ! C'est la fonction du tout début, introduite à 0:32, dont je me sers pour illustrer les concepts. Comme elle n'apparaît plus explicitement pendant plus de huit minutes, son oubli est parfaitement compréhensible 😅 !

@christophem6373 Год назад

Soit la fonction 1/x² avec la droite réelle achevée comme image et f(0) = +oo cette fonction a un maximum atteint en 0, continue et pas de point "anguleux" en 0. Mais sa dérivée est différente de zéro en zéro (est-elle définie sur Rbarre ?). Quelle est l'hypothèse que j'ai loupée dans le théorème "extremum => dérivée nulle" ?

@oljenmaths Год назад

L'hypothèse loupée, c'est l'hypothèse topologique qui consiste à avoir un ensemble de départ ouvert. Plus simplement, sinon, je peux considérer la fonction qui à un réel x du segment [0,1] associe lui-même, et on a de beaux extrema locaux tout en ayant une dérivée constante égale à 1, qui ne s'annule donc jamais.

@christophem6373 Год назад

@@oljenmaths mais dans mon exemple je crois que 1/x^2 était définie sur un ouvert, c'est pas le cas ?

@oljenmaths Год назад

Ah oui, j'ai mal lu, j'ai fait un hors-sujet. Après réflexion, je dirais que la fonction proposée n'est juste pas dérivable en 0, la dérivabilité d'une fonction de la variable réelle étant définie comme l'existence d'une limite finie du taux d'accroissement, ce qui n'est pas le cas ici.

@mathurinrouan3971 Год назад

S'il y a un plateau sur sa montée, sa boussole "arrêtera de fonctionner" une fois sur ce plateau. De même, tout escalier (même dont les angles seraient adoucis pour admettre des dérivées directionnelles) est infranchissable par une boussole de gradient. Si le haut de la montagne est un pic (ce qui n'est pas impossible du tout), la boussole ne fonctionne plus puisque le gradient n'est pas défini en ce point de non dérivabilité.

@oljenmaths Год назад

J'achète tout ! Une zone de plateau, un extremum local, un point de non dérivabilité, tout cela rend l'utilisation de la boussole problématique 👍🏻.

@alexandregaeng3638 Год назад

Croissance, décroissance... Selon comment on est tourné ça change tout !

@oljenmaths Год назад

Magistrale celle-là 🤣! Bravo 👏🏻!

@alexandregaeng3638 Год назад

@@oljenmaths Bravo pour votre travail toujours aussi propre

@oljenmaths Год назад

@@alexandregaeng3638 Merci beaucoup 🙏🏻!

@user-np5pi5mp7q 5 месяцев назад

Peut-on affirmer que l'être humain, lorsqu'il gravit une montagne, utilise inconsciemment l'algorithme de descente de gradient ?

@oljenmaths 5 месяцев назад

Je ne le pense pas, dans le sens où il se retrouverait en mode « stationnement » dans n'importe quelle cuvette / sur n'importe quel monticule qui, localement, ressemble à un terrain plat. Pour ne pas faire dans la dentelle, c'est ce que j'appelle le « problème du tas de bouse », et c'est un vrai problème dans les algorithmes qui sont basés sur ce principe. En voici un exemple : ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-EWjUY_3ubf4.html Une vidéo où l'IA, à un moment donné, « stationne » dans sa technique parce que localement, toutes les petites variations qu'elle peut envisager amènent systématiquement des résultats inférieurs au résultat médiocre qu'elle est parvenue à obtenir.

@mamounaich3129 Год назад

Est-ce qu’en France aussi vous voyez le gradient en 1ère année ?

@oljenmaths Год назад

J'ai mis un petit « +2 » en haut à gauche, dans la mesure où je pense que c'est plutôt quelque chose qu'on voit en deuxième année. Après, tout dépend de la filière dans laquelle on étudie, parce qu'on peut avoir besoin de cet outil plus ou moins tôt. Quoiqu'il en soit, l'introduction peut assurément être suivie en première année, ça c'est sûr !

@yael2593 Год назад

Mais alors concrètement, si on a deux vecteurs colinéaires et de même sens qui partent du même point( de normes différentes ),les dérivées directionnelles selon ces deux vecteurs seront pratiquement les mêmes ?

@oljenmaths Год назад

Dans le cas où un vecteur serait 5 fois plus long que l'autre, alors les « dérivées directionnelles » diffèreraient d'un facteur x5. Pour régler cette équivoque, on décrète que les vecteurs doivent être unitaires. Pour Perceval, le côté unitaire revient un peu à se poser la question: « quand je fais un pas dans ce sens et cette direction, de combien de centimètres me suis-je élevé », et toujours un seul pas: ni 3, ni 5 ni 18.

@yael2593 Год назад

@@oljenmaths Merci pour la vidéo et pour la réponse !

@loicgeeraerts Год назад

D'après la définition de la croissance d'une fonction, on peut aussi bien choisir "si les x croissent, alors les y croissent" que "si les x décroissent, alors les y décroissent" d'où la phrase de votre professeur. Dans ces conditions, peut-on vraiment dire 4:45 "Autrement dit, c'est le sens des x croissants qui est retenu." ?

@oljenmaths Год назад

Peut-être pas, en effet. Si on allait vers la gauche, par exemple pour la fonction qui à x associe x, on trouverait une dérivée directionnelle égale à -1, ce qui est cohérent puisque quand Perceval fait un pas vers la gauche, il descend autant que la longueur de son pas. Sans doute est-il plutôt question d'une convention occidentale, alors, qui consiste à préférer le fait d'aller de la gauche vers la droite ? [Je sens que je manque de sucre 🤣]

@loicgeeraerts Год назад

@@oljenmaths Je suis tout à fait d'accord avec vous en ce qui concerne l'influence des habitudes/normes occidentales.

@hasinazoe3997 5 месяцев назад

Et c'est quoi la derivé directionnelle seconde ? Est ce que c'est liée à la matrice hessienne ?

@oljenmaths 4 месяца назад

Oui, complètement, la dérivée directionnelle seconde est liée à la matrice hessienne. Plutôt que de mesurer la pente, Perceval regarderait la manière dont le chemin est incurvé sous ses pieds : plus ou moins convexe ou concave.

@hasinazoe3997 4 месяца назад

@@oljenmaths je suppose que sa démonstration est liée à la formule de Taylor d'ordre au plus 1(pour le cas multivariée)

@oljenmaths 4 месяца назад

En effet, le lien entre la convexité locale et les dérivées partielles s'appuient sur la formule de Taylor@@hasinazoe3997. Si on va jusqu'aux dérivées partielles secondes, alors on emploiera la formule de Taylor à l'ordre 2, dont le terme d'ordre 2 peut s'écrire avec une matrice hessienne.

@AllemandInstable Год назад

Calcul diff, mon chapitre préféré en MP

@kishanpatel2838 9 месяцев назад

7:23 pourquoi la droite D en 2D ça donne ça ? J’ai l’impression que z est constant sur D

@oljenmaths 9 месяцев назад

En fait, la droite D sur le schéma en 3D, tu peux te la représenter comme la vue de dessus de Perceval. On dit juste qu'il va dans une direction donnée dans le plan (Oxy). Mais l'enjeu, ce n'est pas de faire ce déplacement dans le plan, mais plutôt de le faire sur la surface. Ainsi, si on lui dit « avance par-là », il va se taper une petite côte, puis une petite redescente, et c'est ce que j'ai représenté 👍🏻.

@-alim-3585 Год назад

La balle perdue pour Perceval 😭

@georgesneaimeh5793 Месяц назад

Excellente la vidéo, mais si quelqu’un sait la réponse à la question posée en fin de vidéo qu’il me la partage et mercii

@oljenmaths Месяц назад

Merci 🙏🏻! Pour la question, il suffit d'imaginer une carte avec un grand sommet (disons 1500m d'altitude), et plein de petits sommets (disons 50m d'altitude). Perceval pourrait se retrouver coincé sur un petit sommet, et sa boussole ne le mènerait absolument nulle part puisque sous ses pieds, ce serait « plat ».

@ceytixg2508 Год назад

Problématique du cours: Comment pouvons-nous comprendre le cours ? Je rigole, merci beaucoup

@DARELVICAIRE-yg8yg 8 месяцев назад

Perceval rencontrera un problème au cas où la fonction choisi n'est pas continue en un point situé sur la direction qu'il suit.

@oljenmaths 8 месяцев назад

Cela, c'est certain ! Dans l'idée, je pensais plutôt au fait qu'il se trouve sur une colline minuscule. La boussole lui indiquera qu'il est au sommet, mais ce ne serait qu'un sommet local, bien loin de son objectif principal. C'est un problème qu'on retrouve avec pas mal d'algorithmes d'apprentissage par intelligence artificielle aujourd'hui.