What is the 2 in V - E + F = 2? [English Subtitles] 

恐らく双対多面体を一般的な立体、それをグラフにしたもので考える感じかと 確証はないです。すみません。

その方法で任意の多面体を作れるかどうかって分かりますか？

@@overture3928 今見返したら不備があったのですが、基本的には任意の多面体から点を取り除くように逆算して考えれば成り立つと思います。 不備の例を一つ挙げると、立方体から頂点を一個取った形に頂点を一個足して立方体を作る時、頂点が+1、辺が+0、面が-1になります。(これでも当然公式は成り立つ) 一般化すると「底面をまっすぐ伸ばした平面x個」に含まれる頂点を1つ足す場合、頂点が+1、辺が+m-x(x個の既存の辺が新しい面に吸収されるので)、面が+m-1-x(1個の既存の面が新しい立体に埋まって、x個の既存の面が新しい面に吸収されるので)になりますね。(少なくとも凸多面体は)

証明をそのまま真似てみると双対グラフが木になるという所で破綻します(閉路が内側と外側を切り分ける(ジョルダン閉曲線定理)のは平面や球面上でしか成り立たないため)。 例えばトーラスの場合、双対グラフは木に更に二本の辺が追加されて二つの閉路を持ったグラフになる様です。すると V-E+F=0 となって辻褄が合います。 「様です」と書いたのは良い証明が思いつかなかった為です。つよつよトポロジスト助けて...

因みに上記の二つの閉路は一次ホモロジー群の二つの生成元に対応するサイクルになっていて、オイラー標数とホモロジーの関係も見えてきそうです。

任意のケースでこの方法で数えられると主張したのではなく、今回のイラスト（ www.irasutoya.com/2015/01/blog-post_273.html ）がちょうど半分の面を写すアングルであることを利用しました。

​@@evimalabつまり偶然？

@@evimalab ＞ちょうど半分の面を写すアングル むつかしいことはよくわからないけどどことなく循環論法になってるようなきがする。コントや小話としては成立してるけど数学としては危うくない？

一つの面を引き伸ばして大きくする事で平面グラフに必ず帰着することができます

@@okim8807 1.「反対側から見ても同じように見えて、なおかつ両側から見えるような面がないアングル」といえば良いでしょうか。 2. 動画のこの部分は「コント・小話」で、「数学」は 1:02 からです。

今回の図だと頂点の全域木で使われなかった辺と、双対グラフの辺とがそれぞれ組となって1回だけ交差しているのでe-e'=e''になることがわかるけど他の場合では本当にそうなのか気になる……

そもそも証明するものではなくそうなるように仮定してますね。 2:39 あたりで、最初に全域木を構成する上で取り除いた辺を双対グラフの辺として採用しています。あとは双対グラフが全域木となることを示す流れですね。

@@tsidium ああ、なるほど！確かにそのように説明されてますね！ 回答ありがとうございます～！

もう一個上の次元まで考えると自然になるよ 2次元(f=1)はv-e+f=1 3次元(c=1)はv-e+f-c=1

cって何？

面で構成される立体の数。