Лайк! Хм, рассмотренная задача сильно разит теоремой пифагора и "суммой треугольников сторон"... Ну да, если уж притопали к доказанному углу 90°, то видим, что каждый пристроенный правильный треугольник равен по площади половине (не, чуть меньше половины...) квадрата стороны и вычитаем из двадцати пять.
Мне кажется, лучше было эту задачу решать в общем виде. Не тратя время на случайные частности вроде прямоугольных треугольников. Если обозначить сторону левого треугольника за 'a', правого за 'b', а внутреннего за 'c', то из теоремы косинусов для угла большого треугольника сразу получаем, что c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*1/2. И для площади S = S1 + S2 - sqrt(S1*S2). И ведь интересно посмотреть на эту общую формулу, она редкая - при S2 = 0 получаем S = S1. Но и при S2 = S1 тоже получаем S = S1. И значит, при увеличении S2 от нуля до S1 где-то случится минимум S. И случится он не где-нибудь, а при соотношении площадей S2 = S1/4 - то есть в точности как на рисунке! Что неслучайно совпадёт с теми самыми "частностями" в виде прямоугольных треугольников :)
ну вообще ДЗ интересное, сплошное пи и пи погоняет: обозначим углы при основании маленького тр-ка х, угол при вершине у. Но тогда у большого тр-ка (вписанного в окружность) совпадет угол при основании с маленьким и следовательно они подобны, угол при вершине большого равен также у. Рассмотрим также средний тр-к(две розовых стороны и черная), в нем угол при основании совпадает с углом при вершине большого и равен у. Но его угол при основании в сумме с углом при вершине маленького тр-ка(у) равен х. 2у=х. А угол при вершине среднего равен π-х. Обозначим угол при вершине среднего тр-ка z. Составим систему: 2х+у=π 2у=х 2у+z=π z+х=π Решим относительно х: х=2π/5 На рисунке вписанный в окружность четырехугольник, а у него по определению противоположные углы в сумме равны π. Следовательно искомый угол равен π-х=3π/5.
Задача ДЗ. Не уверен, что это самое короткое решение. Пусть x - длина красного отрезка у - длина нижнего горизонтального черного отрезка (самый маленький на чертеже) Δ₁ - треугольник со сторонами x, y, x (треугольник с двумя красными боковыми сторонами и черным основанием) Δ₂ - треугольник со сторонами x+y, x, x+y (треугольник с черно-красной боковой стороной и красным основанием) ● Сначала докажем, что треугольники Δ₁ и Δ₂ - подобны. Для этого на чертеже оставим только треугольники Δ₁ и Δ₂, все остальное сотрем. 1) Проведем окружность радиуса x с центром в верхней вершине треугольника Δ₁ Боковые стороны треугольника Δ₂ - секущие к этой окружности. Черную боковую сторону следует продлить до второго пересечения с окружностью. 2) По теореме о секущих имеем соотношение: y∙(2x+y) = x∙(x+y) Отсюда 2xy + y² = x² + xy xy + y² = x² y∙(x+y) = x² (x+y)/x = x/y 3) Перефразируем последнее равенство словами: Отношение боковой стороны к основанию в треугольнике Δ₂ равно отношению боковой стороны к основанию в треугольнике Δ₁. Отсюда треугольники Δ₁ и Δ₂ - подобны ∎ ● Найдем углы треугольников Δ₁ и Δ₂. Вернемся к исходному чертежу Пусть угол при вершине равен α, тогда угол при основании равен 2α Сумма углов треугольника: α + 2α + 2α = 180° Угол при вершине α = 36°, угол при основании 2α = 72° ● Найдем искомый угол. Противоположные угла вписанного в окружность четырехугольника дают в сумме 180° Отсюда: Искомый угол равен 180°-72° = 108° Ответ: 108°
