Сегодня решаем интересную олимпиадную задачу по математике (аналогичное уравнение встречалось и в ДВИ, и в первых версиях ЕГЭ по математике). Тема: функциональные уравнения
проект "Поступашки" это фактически РЕВОЛЮЦИЯ на ютубе смешать в себе сложную математику и ее классное объяснение, а также истории про жизнь в СССР учителя научного атеизма, спровоцировавшие бурные дискуссии марксистов и рыночников. Безмерное уважение Михаилу Абрамовичу.
@@user-vz8hf2wb7v, а зачем доказывать теорему, которую сама жизнь опровергла с точностью до наоборот? Т.е. оказалось, что эта была вовсе не теорема, а гипотеза, которая никак не подтвердилась! Впрочем о религии можно сказать почти то же самое. 😊
Предложенный уважаемым автором вариант решения задачи слишком сложный и, очевидно, выходит за рамки знаний рядового 8-ми классника, т.к. предполагает знание понятия предела, т.е. элемента математического анализа, а это за пределами школьной программы. Но эту задачу можно решить гораздо проще, не выходя за рамки школьной алгебры и арифметики. 1) исходя из наличия в уравнении члена X*Y, ищем частное решение в виде a*Х**2 + b*Х + c Подставляя в уравнение, находим с=0 и а=1/2, и используя условие, что f(1)=2, находим, что b=3/2, т.е. F(x)= (x**2+3*x)/2 - частное решение 2) будем искать общее решение в в виде F(x)+G(x) Подставляя в исходное уравнение, получим условие, что G(x+y)=G(x)+G(y) Докажем, что это возможно только при G(x)==0 3) 1)) при x=y=0 получаем, что G(0)=0 2)) при y=-x получаем, с учетом 1)), что G(-x)=-G(x), т.е. G - не четная 3)) из условия, что f(1)=2, получим, что G(1)=0 4)) при y=1 и с учетом 3)) получаем, что G(x+1)=G(x), т.е. G - периодическая с периодом 1 5)) предположим, что G не ==0, и пусть, не теряя общности, G не убывает при 0=G(x2), т.е. G - не убывающая, что противоречит условию непрерывности и периодичности 6)) значит G==0 и наше частное решение является общим
Хорошее решение! Но я замечу, что 8-классники не знакомы и с понятием периода, а когда вы переходите к непрерывности вы по сути все равно переходите к пределу
@@Postupashki на самом деле, получив явное выражение для ф-и мы можем просто сразу формально подставить туда произвольное действительное x+y и убедиться что полученная ф-я удовлетворяет исходному условию.
Классика марксизма и математики! Помню, выдавали паспорта колхозникам в начале 70- х. Тоже многим отказывать приходилось. Слабы были в математике. Зато дочери и жёны их были сильны. Ох сильны. Но лет до 25. Старше- ум менее дерзок! В бане паспорта выдавал. Лучшее место для изучения марксизма- ленинизма и математики. А отщепенцы так до сих пор ходят без паспортов. Придется опять колхозный строй поднимать!
задачка не сложная, "на разок" (как сказал бы Михаил Абрамович "для советских первоклашек", хехе), однако довольно интересная. Как раз делать нечего, спасибо что заняли мои 10 минут чем-то увлекательным :>
Решение - сумма однородной и неоднородной частей, несложно подобрать x(x+3)/2; после замены g(x)=2f(x)-3x, легко доказать g(n)=n^2, g(n/m)=n^2/m^2, +непрерывность=чтд. P.S: ясно, а можно было не думать и сразу начать с последнего шага.
Надо отметить, что в данном задании ответ угадывается сразу (без дифференцирования и других ухищрений). Ну а если ответ уже известен (неважно как он найден) и выражается аналитически, то-есть очевидно непрерывной и и дифференцируемой функцией то этим можно пользоваться при доказательцтве единственности.
Я не понимаю если функцию получили для рациональных чисел, как вы считаете значение в иррациональной точке?и ещё как вы получили функцию f(k/n) непонятно,могли бы вы поконкпетнее написать
Три составных части марксизма: 1)немецкая классическая философия 2)классическая английская политическая экономия 3)французский утопический социализм. Жду лайка от Михаила Абрамовича. и у меня предложение в каждом выпуске задавать теоретические вопросы о марксизме-ленинизме, дабы провести лик-без после реформы образования.
И все бы хорошо, но французский утопический социализм привел к марксистскому же утопическому коммунизму. А утверждение Ленина, что учение Маркса всесильно потому что оно верно возводит его (марксизм) в разряд религии. А это приводит к мысли, что в коммунизм можно только верить, но построить его- никогда!
Спасибо вам, Михаил Абрамович. Если бы не этот канал с группой в ВК, так и остался бы я либерал-консерватором с одним-единственным дипломом бельчонка в портфолио. Становление марксистом-же и последовавшее за ним приобретение "Капитала" серьезно улучшили мое математическое чутье - объединение многих социально-экономических материй во вполне логически мыслимые системы, конкретные экономические примеры с вычислениями - все это чувствуется, -душой- умом воспринимается, как нечто близкое, как что-то, что вот-вот начнет тебя угнетать и эксплуатировать. Последний момент получает в ваших роликах прямое продолжение: не знаешь матан - не поедешь заграницу/выпрыгнешь из окна/будешь признан нелегитимным президентом/сослан в Сибирь. Очень радует то, что разбираемые вами задачи, пусть и не являются ну ОЧЕНЬ сложными, все равно, вселяют уверенность в том, что дальнейший путь в изучении темы (для меня это, например, функциональные уравнения), преодолим'!
Красивая мысль про n переменных, решение хорошее. Я приравнял x = y, и дальше решал уравнение f(2x) = 2f(x) + x^2, Положив x = 2^n получим f(2^(n+1)) = 2*f(2^n) + 2^2n, Которое решается методом, схожим с вариацией постоянной для Д.У., откуда решение f(2^n) = A*2^n + 2^(2n-1) - сумма однородного и неоднородного решений Из Н.У. f(1) = f(2^(0)) = A + 1/2 = 2, A = 3/2 f(2^n) = 3/2 * 2^n + 2^(2n-1) f(sqrt(2)) = f(2^(1/2)) = 3/2 * 2^(1/2) + 1 = 3sqrt(2)/2 + 1 - ответ Навскидку, таким образом не используется напрямую знание о непрерывности решения, но это детали. Получил искреннее удовольствие от просмотра ролика, надеюсь на скорейшее развитие канала.
ну сначала я понял что это рекурсия, это очевидно, а раз это рекурсия, то должен быть предел рекурсии, это значит то, что если бы мы считали функцию для какого-то аргумента, нам бы пришлось бесконечно считать ее, если нет какого-то условия такого аргумента, который будет достигаться всегда, и значение функции при нем равно какой-то константе
Очень крутое решение! Я решил несколько более топорно. Посмею рассказать :) 1. Расмотрим наше равенство f(x+y)=f(x)+f(y)+xy => f(x+y)-f(x) = f(y)+xy давайте поделим его на y (полагая при этом что y не будем брать равным нулю разумеется) (f(x+y)-f(x))/y = f(y)/y + x (*) теперь предварительно докажем что f(0)=0 действительно f(x+0)=f(x)+f(0)+0*x => f(0)=0 с неизбежностью возвращаемся к нашему равенству (*) и заметим, что с учётом того что f(0)=0 легально записать что f(y)/y = (f(y)-f(0))/(y - 0) тогда (*) приходит к виду (f(x+y)-f(x))/y = (f(y)-f(0))/(y-0) + x (**) перейдем теперь к пределу y->0 f'(x)=f'(0)+x тогда с учётом теоремы Ньютона-Лейбница f(x)-f(0)=/int_0^x{f'(0)+x}dx = f'(0)*x + x^2/2 f(x)=f'(0)*x+x^2/2 но по условию f(1)=2 f(1)=2=f'(0)+1/2 => f'(0)=3/2 => f(sqrt(2))=3/2*sqrt(2)+2/2 = (2+3sqrt(2))/2 Небольшая ремарка. По условию задачи функция f была лишь непрерывно, поэтому когда мы начали переходить к пределу (**) мы, вообще говоря, совершили нелегальное деяние :) Однако если подумать, то на самом деле всё совершенно законно. Почему? Потому что мы просто можем сказать что мы ПРЕДПОЛОЖИЛИ, что функция f дифференцируема, и исходя из этого предположения мы предъявили конкретный вид функции f(x)=f'(0)*x+x^2/2, которая очевидно, является даже бесконечно дифференцируемой и нашли требуемое значение f в точке sqrt(2). Однако, нужно заметить здесь, что из-за того что мы сделали более сильное предположение относительно функции, то мы могли "потерять" другие случаи, например возможно что при заданых условиях задачи существует ЕЩЁ какая-то непрерывная (но НЕ диффренцируемая при этом функция) у которой значение в точке sqrt(2) будет отличаться. Впрочем, можно попробовать доказать, что такой функции на самом деле не существует. Я ещё подумаю над этим.
Важный момент: следует отметить, что благодаря равенству f(x+y)-f(x) = f(y)+xy легко видеть что дифференцируемость функции f в произвольной точки следует из диффренецируемости лишь в точке 0.
Так. ок. Доказательство единственности :) Предположим что наряду с нашей дифференцируемой f есть еще какая-то функция g, которая НЕ дифференцируема. Запишем наше основное равенство для обеих функций f(x+y)=f(x)+f(y)+xy g(x+y)=g(x)+g(y)+xy вычтем f(x+y)-g(x+y)=(f(x)-g(x))+(f(y)-g(y)) (*) введем функцию d(x)=f(x)-g(x) тогда наше равенство (*) принимает вид d(x+y)=d(x)+d(y) и по условию функция d(x)- непрерывная (как минимум) поскольку является суммой нашей диффренцируемой f и непрерывной g. В этом месте школьнику можно остановиться и сказать - да это ж линейная функция вида kx и всё. В целом тогда получается мы пришли к противоречию, поскольку мы предполагали что d(x)=f(x)-g(x) является ЛИШЬ непрерывной но НЕ дифференцируемой (поскольку она сумма непрервыной и НЕ дифференцируемой), а получили что d(x)=kx - которая является дифференцируемой. Что означает что никакой "плохой" g попросту не существует. И наше решение f(sqrt(2))=(2+3sqrt(2))/2 единственно. ========= Но если хочется построже и понять, а почему уравнению d(x+y)=d(x)+d(y) может удовлетворять только функция kx, то тогда: d(x+x)=d(x)+d(x)=2d(x) d(x+x+x)=3d(x) и так далее d(m*x)=m*d(x) - свойство "однородности" для натуральных (да и целых тоже!) но тогда и (подставля вместо x = x*n/n, где n - натуральное) m*d(n/n*x)=d(m*n/n*x)=(пользуемся тем же свойством однородности, но "вытаскиваем" n)=n*d(m/n*x) получаем: m/n*d(x)=d(m/n*x) т.е. для всех рациональных чисел однородность тоже есть! Но это значит, что для вещественных тоже (ведь любое вещественное сколь угодно точно приближается рациональным, а функция d - непрерывна!) Таким образом для любого вещественного a имеем d(a*x)=a*d(x) возьмем x=1 d(a)=a*d(1) Таким образом наша функция d является линейной функцией. Всё.
Я похоже решил, только сразу взял дифференциал f'(x+y)d(x+y) = f'(x)dx + f'(y)dy + xdy + ydx, при подстановке y=0 несложно получить [f'(x) - f'(0) - x]dy=0 => f'(x) = f'(0) + x, а дальше тоже самое.
Мы уже знаем, что автор ролика был очень одарённым ребёнком. Так что без всякого сомнения он в восьмом классе уже был знаком с понятием частной производной и дифференциальными уравнениями. Так что берём сначала от обеих частей частную производную по Х, а затем частную производную по У и дальше всё уже дело техники.
Бред сивой кобылы в начале, как обычно, проматываю, а вот задача интересная и довольно крепкая! ЕГЭ-шный школьник, разумеется, её никогда не решит, ибо такое использование пределов в связи с непрерывностью + разложение иррац. корня через рац. дроби для его приближения, и тем паче формула сочетаний далеко за пределами школьной программы (если не ошибаюсь непрерывность в школе даётся только через изображение графика фук-ии, но никак не через пределы с док-ом, а комбинаторики вовсе нет). Но вот для средней олимпиады или первого курса тех. ВУЗа - самое то. За задачу ставлю - лайк, за отсебятину - неуд :)
@@Postupashki, ну ладно, ладно, не всё так плохо, Михаил Абрамович. Благодаря вашему каналу во всяком случае я кое что сам решаю, кое что подсматриваю у вас. Короче "восстанавливаю" мозги и математическую культуру после 20 лет работы в финансах, где всё гораздо проще в плане математики и за тебя часто считает софт )) Так что лайк заслуженный! 👍
Спасибо за задачу, поучительно. Мне кажется Вы совершили ошибку, пошли не самым прямым путем. В комментариях я нашел, что уже писали о том что уравнение сводится к функциональному уравнению Коши, но это видно сразу, ведь должно кинуться в глаза, то, что уравнение линейное неоднородное. Значит находим частное решение и делаем его однородным, то есть пусть g(x) = f(x) - 0.5x^2 (или сразу f(x) - 0.5x^2 - 1.5x) и значит g(x+y) = g(x) + g(y), а g(1) = 1.5 (или даже ноль при второй замене). А это уже уравнение Коши, то есть сразу g(nx)=ng(x), g(p/qx)=p/qg(g) и если функция ограничена хоть на каком-то интервале, то g линейная (а иначе есть контрпример, ответ может быть любым)
Да, я, на самом деле, задачу так и решал. Мне просто показалось, что большая часть зрителей не так хорошо ориентируется даже в самых простых вещах, которые связаны с функциональными уравнениями, и поэтому я решил выбрать такой вариантик чуть менее теоретизированный. Хотя, по сути своей, то, что мы делали тут ничем не отличается от поиска решений ур-я Коши для рациональных
@@Postupashki А это сознательный выбор из двух, понял. Не знаю наверняка как лучше, но если есть возможность упрощать сразу простыми заменами, то почему так не делать, приучая к такому зрителя. Хотя если будет аналогичная задача, где что-то подобное пройдет, но такого упрощения не будет, то и такой опыт будет полезен.
Полагая в исходном уравнении y=1, получаем с учётом, что f(1)=2 : f(x+1)=f(x)+x+2. (1) Ищем решение в виде f(x)= a(n)*x^n +a(n-1)*x^(n-1)+...+a(1)*x+a(0). Подставляем это выражение в уравнение (1). Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях равенства. Предположим, что n>2. При x^n: a(n)=a(n). При x^(n-1): a(n-1)= n*a(n)+a(n-1), значит a(n)=0. Значит, f(x) - многочлен степени не выше 2-ой. f(x)=a(2)*x^2+a(1)*x+ a(0). Подставляем в (1) . Получаем, a(2)=1/2, a(1)=3/2, a(0) - не определена, но если в исходном уравнении положить x=y=0, то получим f(0)=0. Значит а(0)=0 Ответ: f(x)=(x^2+3x)/2 .
Блин! Как вольно вы от целых чисел переходите к рациональным, а от рациональных к иррациональным переходите! Не, я все понимаю, но если бы я на экзамене по матану точно так же вольно с числами общался, мне бы какой- нибудь зверь типа Никольского неуд тут же бы и влепил!
Неправда. Я показываю, что любая функция, удовлетворяющая данному соотношению должна иметь данный вид для рационального аргумента. Предельный переход ничего не меняет с точки зрения логических следствий. Из этого следует, что никакая другая кроме данной не подойдет (да, я не подставил в исходное уравнение найденную функцию, хотя надо было бы но то, что она удовлетворяет условию совсем уж очевидно). Если вы не согласны, то укажите в каком месте в моих рассуждениях следствие из исходного условия не выполняется.
@@Postupashki потому что сам бы не допёр(( А учитывая, что мы вообще не использовали, что f(1) = 2... Слава богу уже на физфаке и меня тут научат уму разуму!
Раўнанне цікавае. Можна вырашыць праз вытворныя. f'(x+y)=f'(x)+y, падставіць x=0, f'(y)=f'(0)+y, праінтэграваць, f(y)=y^2 / 2 + a y + b. Падставіць у зыходнае раўнанне і ў f(1)=2 і атрымаем адказ.
Послушай, решай задачу а не время терять на болтавния. То что рассказываешь, чем это помогает в решении функционального уравнения. Время которое ты теряешь на твои Бреды, мог бы его использовать на объяснение методов решении таких задач.
У меня сложное отношение к автору. Ваши задачи и решения прекрасны. Но что-то отпугивает: никакого значения знания математики к отъезду из страны не имеют. Автор взяточник с антисоциальным поведением. Как бы вы хорошо не решали задачи это никак не реабилитирует антиобщественные действия не только в коммунистическом понимании, но и в капиталистическом понимании. Расскажите, пожалуйста, вы явно относитесь к еврейской нации, как при этом Вас наделили правом принятия административных решений по выезду из СССР? Как раз евреи уезжали из СССР. Назначить еврея на этот пост означало допустить право выезда в отношении огромного числа людей. А это потеря работников. СССР боролся за работников не конкурентными методами. Не верю в вашу историю.
Нет-нет-нет! Вы ошибаетесь. Я чисто русский человек. Думаю, что вас отчество сбило, но тут интересная история случилась. Мать отца была из старообрядцев, родился отец по новому стилю 22 числа (как раз в день памяти святого Авраама), вот и назвали его Авраамом (среди старообрядцев это имя нередкое). Но когда отец получал паспорт после революции буква В пропечаталась не очень четко (чернил было мало в стране) и получилось что-то среднее между В и Б, поэтому когда записывали меня букву В восприняли плохо и я стал уже Михал Абраамычем.
Нудно було слухати цього доктора лженаукового комунізму. У нас ще у дитячому садку діти знають, що загальним розв'язком такого неоднорідного рівняння Коші у класі неперервних функцій є функція f(x)=ax+x^2/2. А, враховуючи умову f(1)=2, легко знаходять a=3/2.
Михаил Абрамович, что-то как-то не складно вы врёте... Какие бедные и обездоленные в СССР? Да за такие слова в былые времена вас не то, что из компартии выгнать, вас в Сибирь мало было бы отправить...
Я такого не говорил! Я лишь сказал, что некоторые несознательные граждане могли принять глупые западные финтифлюжки в духе прокладок с крылышками, или подгузников за доказательство превосходства капитализма!
@@Postupashki Доказательством крайней неэффективности капитализма является катастрофа в экономике, науке, образовании России, продолжающаяся 30 лет после сознательного уничтожения социализма.
@@user-yq9uh2gk8b Дык российский капитализм- это криминальный госкапитализм. Социализм в СССР- это ещё более криминальный госкапитализм (богатое государство- уравнительно бедное население, за исключением 10% номенклатуры с прихлебателями, вроде Михаила Абрамовича). Госкапитализм обречён. В Европе до последнего времени командные высоты в экономике занимали средние и мелкие собственники. Но если там монополизация продолжится такими же темпами, то я не знаю. 😀
@@user-yq9uh2gk8b А шо тут кукарекать? 😀 Голодный финал СССР известен (продовольственная гуманитарная помощь), чекистская Россия устремилась в этом же направлении (коммунист Путин ничего другого не умеет). Всё просто. Всё на поверхности. 😀
Задача для 6-го класса? Ладно корни в 6-ом, к этой фантазии автора мы давно привыкли. Но о плотности Q в R, которой он воспользовался, походу в детсаду рассказывают,да? про непрерывность функций всем известно с рождения про предельный переход и забивание болта на сходимость говорить не будем (6-ой класс же, да?) ну бред про скручивание лайков капиталистами сродни идеям плоскоземельщиков и свидетелей иеговы, и то, у нах как-то более обоснованные фантазии, чем у автора сего абсурда
