Найдем интеграл, используя ряд, но не тот, что вы могли подумать! 

методом проб и ошибок :)

Учат.

Может быть не во всех, спрошу у внучки она в 11м классе

Это и не нужно школьникам. Не оценят

@@что-ф3п как минимум будет легче вникать в матан

такие моменты и тонкости и есть "профильные", требуют более длительных доказательств, больше знаний и навыков. Чем сложнее и длиннее видео, тем больше труда и меньше досматривают. Такие реалии

@@Hmath это не столь критично. Всё таки большинство пропускает некоторые непонятные этапы доказательств принимая их на слово. И всё же было бы неплохо иметь на что сослаться, например на другое видео. То есть например вынести такие аспекты в отдельные видео с пояснением часто используемых тонкостей, а дальше ссылаться на них. Получатся своеобразные видео-теоремы

И всё таки, жду видео с разбором переставления знаков интеграла и суммы)

для каждой конкретной функции нужно отдельно доказывать. вот есть примеры уже, где подробнее: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-CQZkqyNAq8o.html ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-e6Win3qu4l8.html

кроме того, нужно понимать, что все эти признаки достаточные, но не необходимые. Это означает, что если они выполняются, то точно при перестановке всё будет хорошо, но если они не выполняются, это не означает, что при перестановке обязательно всё будет плохо :) Реально можно привести кучу примеров, где при перестановке вообще получается расходящийся ряд :) но если его "правильно суммировать", то для интеграла получится верный ответ.

поэтому тут только взятие интеграла :)

Потому что по признаку Вейерштрасса, этот ряд меньше либо равен, чем, например, 1/t², а этот ряд по интегральному признаку сходится , а значит и первый ряд сходится равномерно

не всегда, но в большинстве случаев :) сложнее придумать пример, где не работает! Придумайте такой несобственный интеграл, который бы изначально сходился, в нем можно было бы разложить подынтегральную функцию в ряд и после интегрирования этого ряда почленно (и подстановки пределов интегрирования) получался бы тоже сходящийся ряд, но при этом ряд бы сходился совсем к другому числу, нежели сам интеграл.

площадь не может, а интеграл может: если значения функции отрицательные, то и интеграл отрицательный.